球面方程

§3曲面及其方程练习参考解答

1.下面的方程表示怎样的曲面？

⑴222xya+=；⑵22yx=；⑶

22

22

1

xy

ab

+=；⑷

22

22

1

xz

ab

−+=。

解若柱面方程是二次的，则称该柱面为二次柱面。上述圆柱面、椭圆柱面、

抛物柱面及双曲柱面都是二次柱面。

2.做出222zxy=+与2262zxy=−−所围成的立体的图形。

解此立体图形由两个椭圆抛物面所围成，作图如下：

3.求过4点(0,0,0)，(2,0,0)，(1,1,0)和(1,0,-1)的球面方程。

提示球面方程的一般形式为。

解将以上各点坐标分别代入所设球面方程，得到方程组

所求球面方程为，即。

4.求zOx平面上的抛物线2xz=绕

z

轴旋转而成的旋转曲面的方程。

解在方程2xz=中，保持

z

不变，将x换作22xy±+，所以旋转曲面的

方程为22xyz+=。这一旋转曲面为旋转抛物面。

5.求

xOy

平面上的双曲线

22

1

49

xy

−=分别绕x轴、

y

轴旋转而形成的旋转曲面

方程。

解在方程

22

1

49

xy

−=中保持x不变，将y换作22yz+，就得曲线绕轴而成

的旋转曲面方程为

222

1

49

xyz+

−=.这曲面叫双叶旋转双曲面。

在方程

22

1

49

xy

−=中y保持不变，将x换作22xz+，就得曲线绕轴而成的

旋转曲面方程为

222

1

49

xzy+

−=.这曲面叫单叶旋转双曲面。

6.一直线

L

绕另一条与

L

相交的直线旋转一周所得的旋转面称为圆锥面。两

直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角()

2

π

αα<<叫做圆锥面的半顶角。

试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程。

解在

yOz

平面上取直线

L

，

L

与

z

轴正向夹角为α，过坐标原点，则直线

方程为cotzyα=。由于以

z

轴为旋转轴，所以在直线方程中保持

z

不变，将

y

换

作22xy±+，就得到圆锥面方程为22cotzxyα=±+.令cotaα=，并对上式两

边平方，则有2222()zaxy=+。这就是所求的圆锥面方程。

7.指出下列方程表示什么曲面，是旋转曲面的，指出它是什么曲线绕哪个坐

标轴旋转而成的。

⑴

222

22

1

xyz

ab

+

+=；⑵2222320xyz−+=。

解⑴旋转曲面。它由zOx平面内的椭圆

22

22

1

xz

ab

+=绕z轴旋转而成；或由

yOz平面内的椭圆

22

22

1

yz

ab

+=绕z轴旋转而成；

⑵圆锥面。中心轴是y轴.它由xOy平面内的直线

2

3

yx=绕y轴旋转而

成；或由yOz平面内的直线

2

3

yz=

绕y轴旋转而成。半顶角

2

cot

3

arcα=

。