四元一次方程

11.当d=时，关于X的方程2*31+1=0是一元一次方程。

一元一次方程培优训练

基础篇

一、选择题

1•把方程丄-0・17-0・2兀=，中的分母化为整数，正确的是（0-70,03

A・丄一IZ二兰=1B.心」7-2.丫_

7373

2.与方程x+2=3-2x同解的方程是（

3•甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m,乙每秒跑6.5m,甲让乙先跑5m,设x秒后甲可追上乙，则下列四个方

程中不正确的是（）

4.适合|2心7|+|加-1卜8的整数a的值的个数是（

5•电视机售价连续两次降价10%,降价后每台电视机的售价为a元，则该电视机的原价为（

C.丄元D•旦元

1210.81

6.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他

做对了（）道题。

7•在高速公路上,一辆长4米，速度为nor米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，

则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（）

化1.6秒8B.4.32秒。C.5.76秒。D.345.6秒

8.—项工程，甲单独做需S天完成，乙单独做需y天完成，两人合作这项工程需天数为（）

D・—

—H

Xy

VI

9、若%=-2是关于X的方程2x+3=一一《的解，则代数式w--的值是（3

10.一个六位数左端的数字是1,如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为

（）

二、填空题

A・

2x+3=11

B.-

3x+2=l

C.—|x=l

D.I"”

DlOxI7-20X

A.7X=6.5X+5B.7x+5=6・5x

C.(7-6.5)x=5

D.6.5X=7X-5

A.5

B.4C.3

B.1.21a元A.0•Sla元

A.17

B.18

C.19D.20

A.C.—

XV

A、0C、

_2

"9

D、

A.142857B、157428C、124875

D、175248

I2•当ni=・肘,方程(m-3)x"+nr3=0是一元一次方程。

13•若代数式与-兀9〉卩"0是同类项，则a二

14•对于未知数为兀的方程av+l=2v＞当d满足_______

_____________时，方程无解。

15.关于S的方程：(p+1)s=p-l有解，则P的取值范围是

16•方程I2X-6I=4的解是________

17.已知Ix-y+4l+(y-3)-=0,则2x+y=

3141

3若方程严亍则代数式7曲-硕)的值是

20.方程|5x+6|=6x-5的解是

21.已知：卜卜X+2,那么19A--®"+3,V+27的值为

22•—只轮船在相距80千米的码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，则水流速度为_

23.甲水池有水31吨,乙水池有水11吨，甲池的水每小时流入乙池2吨，X小时后，乙池有水.

吨,甲池有水____________吨,____________小时后，甲池的水与乙池的水一样多-

24、关于x的方程k(x-k)=in(x-m)有唯一解，则厶巾应满足的条件是

25、已知方程5x-2in=nix-4-x的解在2与10之间(不包括2和10)♦则血的取值为.

三.综合练习题:

26•解下列方程:

(1)i9-|Aj=IOO-IO|x|

27.已知关和的方程和苧-护"有相同的解，求这个相同的解。

煦已知卜逍血+＞】?那么代数式⑹2+4塔•需1的值。

29.已知关于X的方程a(2x-i)=3x-2无解，试求a的值。

•时，方程有唯一解，而当d满足

18.如果2、2、5和S的平均数为5.而3、X和y的平均数也是5,那么X=

30•已知关于X的方程9x-ll=kx的解为整数，且k也为整数，求k的值。

3!•—运输队运输一批货物，每辆车装8吨.最后一辆车只装6吨,如果每辆车装7・0吨,则有3吨装不

完。运输队共有多少俩车？这批货物共有多少吨？

32.一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍,如果把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小

36.求原来的两位数.

33•一个三位数满足的条件:①三个数位上的数字和为20：②百位上的数字比十位上的数字大5;③个位上

的数字是十位上的数字的3倍.这个三位数是几？

34.某商店将彩电按成本价提高50%然后在广告上写“大酬宾，八折优惠S结果每台彩电仍获利270元,那么

毎台彩电成本价是多少？

35.某企业生产一种产品，每件成本400元■销售价为510元,本季度销售了m件,于是进一步扩大市场，

该企业决企在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售降低4%,销售量提高

10%.要使销售利润保持不变,该产品每件成本价应降低多少元？

36.一队学生去校外郊游，他们以毎小时5千米的速度行进，经过一段时间后，学校要将一紧急的通知传给

队长。通讯员骑自行车从学校出发，以每小时14千米的速度按原路追上去，用去10分钟追上学生队伍,求通

讯员出发前，学生队伍走了多长的时间。

41.-列车车身长200米，它经过一个隧道时，车速为每小时60千米，从车头进入隧道到车尾离开隧道共2

分钟，求隧逍长。

42.某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：

(A)记时制：2.8元/小时，⑻包月制：60元/月。

此外，每一种上网方式都加收通讯费1.2元/小时。

(I)某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？

(2)某用户有120元钱用于上网(1个月)，选用哪种上网方式比较合算?

(3)请你为用户设计一个方案，便用户能合理地选择上网方式。

43.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分

别为A种每台1500元,B种每台2100元C种每台2500元.

(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方

案.

(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视

机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多,你选择哪种方案？

44.某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门(两逍大小相同

的正门和一道侧门).安全检查中，对这3道门进行了测试:当同时开启一道正门和一道侧门时,2分钟内可以通

过400名学生,若一道正门平均毎分钟比一道侧门可多通过40名学生.

(1)求平均每分钟一道正门和一逍侧门各可以通过多少名学生？

(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定:在紧急情况下全大楼的学

生应在5分钟内通过这3逍门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这3道门

是否符合安全规定?为什么？

培优篇

讲解

知识点一：定义例1:若关于X的方程佃-Oz'+2=0是一元一次方程，求加的值，并求出方程的解。

*Vnr=1,.=1或“I=-1

一1H0

当w=l时，〃?一1=0,•••〃?=1不合题意,舍去.

•••当川=一1时，关于X的方程（加一1””''+2=0是一元一次方程，即一2i・+2=0,•••x=

同步训练:

时，方程（加一3）』”T+汝一3=0是一元一次方程，这个方程的解是

例2:下列变形正确的是（

B-如果(«+l)LV=«+1,那么x=

3、若x=2°'+l』=3+4J则用含兀的式子表示y=

知识点二：含绝对值的方程

绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程,解这类方程的基本思

路是:脱去绝对值符号,将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：

1、形如ar+q=de>0）的最简绝对值方程

这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程:ax+b=C或£a+h=-c

2、含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解。

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值

相关的知识、技能与方法Q例3：方程x-5+2x=-5的解是解，X—5=—2x—5•—5=—2x—5①或

x—5=2欠+5②由①得x=0;由②得x=-10,••此方程的解是x=0或x=-IO同步训练

1、若兀=9是方程-X-2=«的解，则0=

:又若当《=1时,则方

程

-X-2

33

=«的解是

解：由题意，得到〈

A•如果ax=b;v,那么a=h

C.如果x=y,那么x-5=5-y

D・如果（宀Z，那"齐

2、已知*=x+2,那么19x如+3X+27的值为°（“希望杯”邀请赛试题）

例4：方程X+5-3X-7=1的解有（

A.1个B.2个C.3个D.无数个

解:运用“零点分段法”进行分类讨论由|x+5|=0得，%=-5;又由|3%-7|=0得，x=-

3

77

所以原方程可分加"Tg尹订三种情况来讨论。

当%<-5时，方程可化为一（人・+5）+（3兀一7）=i,解得x=6・5

但6.5不满足%<-5，故当x<-5时,方程无解;

7337

当-5—笃时，方程可化为“5+G-7）九解得「，满足亠产亍

77

当时，方程可化为x+5—（3x—7）=l,解得x=5.5,满足x>|。

综上可知，原方程的解有2个，故选B。

例5：（“希望杯"邀请赛）求方程x+i+x-3=4的整数解。

利用绝对值的几何意义借且数轴求解。

根据绝对值的几何意义知：此式表示点P（x）到A点和B点的距离之和PA+PB=4.

又=点只能在线段AB匕即一1

知识点三：一元一次方程解的情况

元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确崔:

⑴若玄剂，则方程有唯一解"卫

a

（2）若a=0,且b=0,方程变为0-x=0,则方程有无数多个解;

（3）若尸0,且bHO,方程变为0・x=b,则方程无解

例6、解关于X的方程（ms—n）（m+n）=0・

分析这个方程中未知数是X,m,n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情

况.

例7.已知关于X的方程a(2s-l)=3x-2无解，试求a的值.

例8.k为何正数时，方程k■一k：=2ks-5k的解是正数?

分析当方程亦=1>有唯一解12=—时，此解的正负可由a,b的取值

a

(1)若bn时，方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零，则b=0成立.

(2)若ab>0时,则方程的解是正数：反之，若方程ax二b的解是正数，则&b>0成立.

(3)若abVO时，则方程的解是负数；反之,若方程ax二b的解是负数，则abVO成立.

2ax2bx2ex

-----+-------+------

ab+a+1be+b+1ca+c+l

【分析】像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.

例9.若abc=b解方程

例I。、若…’C是正数’解方士+严

cab

【分析】用两种方法求解该方程。注意观察，巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.

例11、设n为自然数，［x］表示不超过X的最大整数，解方程:

[x]+2[x]+3|/]+…+八卜]=

分析要解此方程，必须先去掉［］，由于n是自然数，所以n±j(n+1)

n［x］都是整数，所以X必是整数.

例12、已知关于X的方程:

且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值.

中必有_个是偶数，因此认;T)2

是整数.因为園是喊，2H，3［讣

C、0・4x+0.9X-5_0・Q2x丰0.03IJ~05~~0^~

1巧(1P)

3

4

2]3店7"X

2•解下列关于X的方程:

(l)a'(x_2)-3a=X-rl；

广.、43x+2ab1

⑵ax+b---------=-j

(3)4=2-字.

ab

3.玄为何值时，方程加a氓12）有无数多个解？无解?

326

<1|1

4、解关于入•的方程：一（兀+八）=一（/+加）

23

5、已知关于X的方程M_V+5）=3_V+1无解，试求&的值。

【强化练习】

1.解下列方程:

6、当k取何值时，关于X的方程3（X+1）=5-kx.分别有:

（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解.

7、已知I3x-Il=2.则兀=（

8、若IX1=rt,则lx-al=(

16、（“希望杯"竞赛题）适合I2d+7I+I211=8的整数的值的个数有（

17、（武汉市竞赛题）若a>Q.b<0则使x-a+x-b=a-h成立的的取值范帀是

(A)1（小或飞（D〉无解

CA)0或2"

(B)x-d

(C)d-x(D)0

9.（重庆市竞赛题）若12000%+20001=20x2000.则x等于（

⑷20或-21(B)-20或21(C)-19或21(D)19或-21

10、

（年四川省初中数学竞赛题）方程|x-5l+2x=-5的根是

（山东省初中数学竞赛题）己知关于X的方程nix+2=2（m-x）的解满足lx-丄I-1=0,则川的值

2

是（

(A)10或3

5

22

(B)10或一土(0-10或幺

55

2

(D)-10或一

一

12、（重庆市初中数学竞赛题）方程15»・+61=6工-5的解是

13、（“迎春杯"竞赛题）解方程Lv+3l-lx-ll=x+I

14、（“希望杯”竞赛题）若«<0.则2000«+llk/l等于（

(A)2007(/(6)-2007a(C)-1989«(D)1989a

15、（“江汉杯”竞赛题）方程Lv+ll+Lv+99l+lx+2l=I992共有（

）个解.

(A)4

(B)3

CO2(D)l

(B)4(C)3

(D)2

18、（“希望杯"竞赛题）适合关系式I3x-4I+I3x+2I=6的整数的值是（

19、（“祖冲之杯"竞赛题）解方程lx-ll+lx-5l=4

20、解下列关于的方程:

CX-h(c—X)=a(h-x)—h(a-x)(a+c工0)•

2I、已知关于兀的方程（3«+8/?>+7=0无解，则ob是（

A•正数B・非正数C,负数D.非负数

22、已知"是不为零的整数，并且关于X的方程心=加'-3/-5幺+4有整数解，则"的值共有（

23、（黑龙江竞赛）若关和的方程的解是非负数，则方的取值范圉杲24、（“华罗庚杯”）已知防一9卜2-

佃-3）x+6=0是以X为未知数的一元一次方程，如果问<网卜那

么a+m+a-m的值为

25、（“希望杯"）已知关于X的方程ax+h=c的解为x=2.^c-2（i-h-6

込（“迎春杯”训练）如果关和的方程芈旦+卜笛旦有无数个解，求R的值。

一一（兀-6）,问当"取何值时（1）方程无解：（2）方程有无穷多解。6

(A)0

(B)1

(C)2

（D）大于2的自然数

）（“希望杯"邀请赛试题）

（“希望杯”邀请赛试

题）

C.6个D.9个

27、已知关于X的方程-+«=

25、解下列方程

（1）X-3X+1=4（天津市竞赛题）（2）x+3-x-i=x+i（北京市“迎春杯”竞赛题）

26、已知关于X的方程x=av+l同时有一个正根和一个负根，求整数a的值0（“希望杯"邀请赛试题）

1_1

解J当x>0时，x=---->0,6/<1①：当X<0时，x=----<0,②Q由①②得

-a1+d

-!<«故整数d的值为0。

d=nx+l有一个负根，而没有正根，那么d的取值范帀是（）（全国初中数学联赛试

题）

A.不确定B.无数个C,2个D.3个

A.0B-2C.1D.3

A.!.X—1D.1—X适合关系式3欠一4+3x+2=6的整数X的值有（

A.0B.1C.2D■大于2的自然数

若关于X的方程2x-3+m=0无解，3x-4+n=0只有一个解，4x-5+k=0有两个解，则

ntjKk的大小关系是（

A.m>n>>k>mC.k>m>nD.m>k>n

27、已知方程

B.a>—

C•a>1D.a<1

28、方程x_5+x-5=0的解的个数为（

）（“祖冲之杯"邀请赛试题）

29、

若关于X的方程X-2-1

=d有三个整数解■则6/的值是（

30、

若有理数X满足方程1-x=l+x,那么化简

工一1的结果是（

31、

32、

34、求自然数叩2…5，使得12x加“…勺1=21乂1"]"2…％2。

35、若0

36、当"满足什么条件时，关于X的方程%-2-%-5=n有一解？有无数多个解?无解?

37、（“迎春杯”）已知有理数牙*,Z满足A>'<0,y2>0,并且A=3,y=Zz+l=2,求z+y+Z的值。

娥解方程ib总+嘉+……+丽禹=200639、如果.b沁值，关于X的方程竽=2+¥，无论仞可值，它的根的，求

a、b的值。

40、解关于X的方程口一—=K中aibHO。

baa

I3

-y+2—2y--

35

,方程3（x-l）=二+1的解是

个，它们的和是

33、方程=0的解是

41.已知—"+""7+—仁3,且丄+丄+丄工0,求的值。

Cabahc

42、若k为整数，则使得方程(k-1999)s=2001-20OOx的解也是整数的k值有几个?

43、已知P、q都是质数，则以X为未知数的一元一次方程Px+5q=97的解是1,求代数式pJj的值。

参考答案

基础篇

选择题

二、填空题

1—5：DBBBD6—1O:CCDBA

三、综合练习

⑶设上网时间为X小时，A种方式的费用为*=2.8x+1.2x=4x,B种方式的费

用为yb=l・2x+60,分ya>yb,ya=yb,ya

43、⑴分析:因为900004-50=1800元，且1800<2100,1800<

2500;

所以最多有同时购进A、B型号和A、C型号两种进货方案。

⑵略

44、(1)120,80

⑵因5分钟可以撤离的人数为(12O+12O+8O)x(l-2O%)x5=128O

12、

3；

13、

5—14;

15、pH—1；

16、x=5或1；

17、1

18.11,2；

19、9；

20、x=ll；

21、

5;

22、2km!h；

23、(ll+2x),(31-2x),5

24、

26、

(l)x=±9(2)x=

27、28、2000;

29、

30、^=±8,10,26；

31、10,

32、84;33.839;34、

1350；

35、10.4;

36、0,

3；

41、1.8

42、⑴选用A种方式;

⑵选用B种方式;

(I)设购进A、B型号电视机各有X,y台亠

1500x+2100y=90000

x+y=50

x=25

7=25

(II)设购进A、C型号电视机各有a,b台4

1500。+2500b=90000

=>

a+b=50

a=35

h=5

又因该栋教学楼共有学生人数:4x6x45=1080

且慢1080<1280符合

所以建造这三道门符合安全规定。

培优篇

同步训练

2、D；

知识点二——含绝对值的方程

同步训练

2、5

原方程化为：ricX+initx-mn-tr=0整理得：m(m+n)x=

n(m+n)

①m+nH0且mHO时,方程的唯一解为x=n/Di;

②当m+nHO,且DFO时，方程无解;

③当m+n=0时，方程的解为一切实数.

例9、解析：-.Swl

g亠sTy.、.2(tx2hx2hcx

•••原方程可化为:------------+----------+------------

ab+a+abcbe+h+cab+cb+b

nil2x2hx2bcx.

即：-------+----------+---------=1

/?+1+bebc+b+1I+cb+h

2x(1+“+尿)=]»显

知识点定义

知识点三

元次方程解的情况

2hx

b+i+be2

例10、解析原方程两边乘以abC,得至U方程：ab(x-a-

b)+bc(x—b—c)+ac(x-c—a)=3abc,移项.合并同类项得:a

bEX—(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x—(a+b+

c)]=0,因此有：[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0,因为a>0,b>0,

c>0,所以ab+bc+acHO,所以x-(a+b+c)=0,

即x=a+b+c为原方程的解例11、解析如下（原题目有误）

解析：由于“是自然数，所以“与3+1）中必有一个是偶数，因此心"+1）

2因

为卜]是整数，2卜],3卜],"卜]都是整数，所以戈必是整数。乂[x]

数,二X=[x]

所以原方程可化为：Z+3卄+•••+心呼解得：x=n(n+l)

是整数,

所以X=n(n+1)为原方程的解

•

当（a—1）=0,（a+1）（2a+1）HO时，原方程无解。

⑵略⑶略3.当a二2时，方程有无数个解,

当（心2时，方程无解。

解：原方程可变形为（3w-2）X=2"?-3mn所以当3ni-2工0时，方程的解为尸2用

-3肋3///一2

当3ni-2二0,2皿-3mnH0时，原方程无解；

当3旷2=0,2nr3nin=0时，原方程有无数个解。

5.«=-

2

6、(l)k>-3;(2)kv・3;(3)kM—1或k<-3

12、x=1113、通过零点分析：原方程的解为X|=-5/2=7忑

=3

14、D;15、C;16.B;17、h

例12、解得1420+10“

x=----------

9

乂•.•兀为自然

数

强化练习

Is(1)9(2)21(3)5

2、⑴当(a+l)(a-l)工0时,

2

X=------

〃一1

当(a+1)(a-1)=0,

（a+1）（2a+l）=0时,有无数个解;

1、C；8、A；9、D

10、X=-10;

11、原题有误,应是求m的值。A

18、C

19、解为l

21、B（a,b可以同时为了0）

22、原题有误，更正：已知"是不为零的整数，并且关于X的方程心=2/-3/-5"+4；

答案为C

解析：原方程两边同时除以a得

X=2（r-3a-5+—

a

乂因以/不为零的整数，所以加-3—5为整数所以一为

整数

a

所以a=±l>±2>±4

24、6；

25、6;

26、"I

25、解下列方程（以后各题题目序号有误）

（2）通过零点分析J原方程的解为X]=-5/2=-1丿3=3

27、B28.B

29、C

解析如下:a>0,由原方程得

=l±u=>x-2=±(l±u)^x=2±(l±u)

X—2—1=土cf

X—2

X=3+%X=3—",X=1+a,

X=1—"

又因原方程仅有三个解，所以有两个必然相等则：

3+d=3-d=>a=0,原方程仅有两解，不合题意。

3+0=1+an无解

3+d=l_dnd=—l,与0>0矛盾，舍去

3-m=l+G=>d=1,原方程有三个解，合题意

3-a=l-dn无解

l+u=l-t/^d=0,原方程仅有两解，不合题意。综上所述0=1

34、、_____

解：设恥2…勺=儿由题意得

12(2xl0"+i+10;v+l)=21(lxl0"+i+10兀+2)

1y—1

整理得:3X10T=90;v+30nx=-------

3

.•.当n=l时，x=3;当n=2[l寸，x=33

X=33…3

'_V~'

川个

35、7；21.

解：当兀<2时,2-K+—5=G=>d=—3[J£有无数解；当

2

2

2<上主？<53—3<已<3吋，有唯一解；

2

当无25时，X-2-无+5二a=3时，有无数解;

Aa<-3或a>3时无解。

30、D;31、C;

32.A

33、X3或—;%=±-

5257

36、

3、

37、一8或4。

38、6021.

0.

解析：原方程两边同时乘以abc,化简得t(ab+hc+ac)(x-a-b-c)=0

解：原方程变形得：(k-1999)x+2000x=200h

2001

X=-----

A+1

•••k为整数，X为整数，

2001的整数因数有：

1,3,23,29,69,87,667,2001,-1,-3,-23,-29,-69,-87,-667,-2001.

相应的k值共有16个.

解：把x=l代入方程px+5q=97可得：P+5q=97,故p打5q中必有一个为偶数,

乂TP与q都是质数

①若p=2,贝lj5q=95,q=19np2-g=-15;

②若5q为偶数，贝归只能为2,p=87,而87不是质数，与题意矛盾.

39、

解：将兀=1代入原方程得

(-b-4)k=-l-12+2d

又T无论R为何值，它的根都是1,

二无论£为何值上式都成立

'13

a——

2

b=—4

-b-4=0

40、

.解得

[-1-12+2d=0I

2

当GHZ?口寸，%=——

;当“=州比原方程无解。

3、

综上可得：p--q=-5