ln是什么函数

3.2.2对数函数(二)

学习目标1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合

函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．

知识点一y＝log

a

f(x)型函数的单调区间

思考我们知道y＝2f

(

x

)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log

2

f(x)的单调区间与y＝f(x)

的单调区间相同吗？

梳理形如函数f(x)＝log

a

g(x)的单调区间的求法(1)先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义

域)．

(2)当底数a大于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限

制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．

(3)当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反．

知识点二对数不等式的解法

思考log

2

x＜log

2

3等价于x＜3吗？

梳理对数不等式的常见类型

当a＞1时，loga

f(x)＞log

a

g(x)⇔









fx＞0可省略，

gx＞0，

fx＞gx；

当0＜a＜1时，loga

f(x)＞log

a

g(x)⇔









fx＞0，

gx＞0可省略，

fx＜gx.

知识点三不同底的对数函数图象的相对位置

思考y＝log

2

x与y＝log

3

x同为(0，＋∞)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同

一坐标系内的相对位置？

梳理一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于

底数0

类型一对数型复合函数的单调性

命题角度1求单调区间

例1求函数y＝

1

2

log(－x2＋2x＋1)的值域和单调区间．

反思与感悟求复合函数的单调性要抓住两个要点

(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．

(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为单调增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为单调减

函数，简称“同增异减”．

跟踪训练1已知函数f(x)＝

1

2

log(－x2＋2x)．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)求f(x)的单调性．

命题角度2已知复合函数单调性求参数范围

例2已知函数y＝

1

2

log(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围．

反思与感悟若a>1，则y＝log

a

f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0

a

f(x)

的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．

跟踪训练2若函数f(x)＝log

a

(6－ax)在[0,2]上为单调减函数，则a的取值范围是________．

类型二对数型复合函数的奇偶性

例3判断函数f(x)＝ln

2－x

2＋x

的奇偶性．

引申探究

若已知f(x)＝ln

a－x

b＋x

为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？

反思与感悟(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成

奇函数(或偶函数)．

(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．

跟踪训练3判断函数f(x)＝lg(1＋x2－x)的奇偶性．

类型三对数不等式

例4已知函数f(x)＝log

a

(1－ax)(a＞0，且a≠1)．解关于x的不等式：log

a

(1－ax)＞f(1)．

反思与感悟对数不等式解法要点

(1)化为同底log

a

f(x)＞log

a

g(x)．

(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．

(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.

跟踪训练4已知A＝{x|log

2

x<2}，B＝{x|

1

3

<3x<3}，则A∩B等于________．

1.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝log

a

x的图象，已知a取3，

4

3

，

3

5

，

1

10

，则对应于C

1

，C

2

，

C

3

，C

4

的a值依次为________．

2．如果

1

2

log<

1

2

logy<0，那么x，y,1的大小关系为____________．

3．函数f(x)＝lnx2的单调减区间为____________．

4．给出下列函数：

①f(x)＝lg(2x＋

1

2x

)；②f(x)＝|lgx|；③f(x)＝lg|x|.其中是偶函数的是________．(填序号)

5．若函数f(x)＝

1

3

log(mx＋6)在(1,3)上是单调增函数，则实数m的取值范围是________．

1．判断函数奇偶性的三个步骤：

(1)一看：定义域是否关于原点对称；

(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0，

或者f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0.

(3)三判断：判断是奇函数还是偶函数．

2．判断函数是否具有单调性的方法步骤

(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初

等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性．

(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．

特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域．

答案精析

问题导学

知识点一

思考y＝log

2

f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log

2

f(x)的定义域与y＝f(x)的定义

域不一定相同．

知识点二

思考不等价．log

2

x＜log

2

3成立的前提是log

2

x有意义，即x＞0，

∴log

2

x＜log

2

3⇔0＜x＜3.

知识点三

思考可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．

题型探究

例1解设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.

∵y＝

1

2

logt为单调减函数，且0

又y＝

1

2

log2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．

再由函数

1

2

log(－x2＋2x＋1)的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图象知1－2

2，

∴t＝－x2＋2x＋1在(1－2，1)上单调递增，而在(1,1＋2)上单调递减，而y＝

1

2

logt为单调

减函数，

∴函数y＝

1

2

log(－x2＋2x＋1)的单调增区间为(1,1＋2)，单调减区间为(1－2，1)．

跟踪训练1解(1)由题意得－x2＋2x>0，

由二次函数的图象知0

当0

∴

1

2

log(－x2＋2x)≥

1

2

log1＝0.

∴函数y＝

1

2

log(－x2＋2x)的值域为[0，＋∞)．

(2)设u＝－x2＋2x(0

1

2

logu，

∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，v＝

1

2

logu是单调减函

数，

∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝

1

2

log(－x2＋2x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单

调增函数．

例2解令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在









－∞，

a

2

上是单调减函数，∵0<

1

2

<1，∴y＝

1

2

logg(x)

是单调减函数，而已知复合函数y＝

1

2

log(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是单调增函数，

∴只要g(x)在(－∞，2)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，2)上恒成立，

即











2≤

a

2

，

g2＝22－2a＋a≥0，

∴22≤a≤2(2＋1)，

故所求a的取值范围是[22，2(2＋1)]．

跟踪训练2(1,3)

解析函数由y＝log

a

u，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是单调减函数，那么

函数y＝loga

u就是单调增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6

－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1

例3解由

2－x

2＋x

>0可得－2

所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．

方法一f(－x)＝ln

2＋x

2－x

＝ln(

2－x

2＋x

)－

1＝－ln

2－x

2＋x

＝－f(x)，

即f(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝ln

2－x

2＋x

是奇函数．

方法二f(x)＋f(－x)

＝ln

2－x

2＋x

＋ln

2＋x

2－x

＝ln(

2－x

2＋x

·

2＋x

2－x

)＝ln1＝0，

即f(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝ln

2－x

2＋x

是奇函数．

引申探究

解由

a－x

b＋x

>0，得－b

∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，

即a＝b.

当a＝b时，f(x)＝ln

a－x

a＋x

.

f(－x)＋f(x)＝ln

a＋x

a－x

＋ln

a－x

a＋x

＝ln











a＋x

a－x

·

a－x

a＋x

＝ln1＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

故f(x)为奇函数时，a＝b.

跟踪训练3解方法一由1＋x2－x>0可得x∈R，

所以函数的定义域为R且关于原点对称，

又f(－x)＝lg(1＋x2＋x)

＝lg

1＋x2＋x1＋x2－x

1＋x2－x

＝lg

1

1＋x2－x

＝－lg(1＋x2－x)＝－f(x)，

即f(－x)＝－f(x)．

所以函数f(x)＝lg(1＋x2－x)是奇函数．

方法二由1＋x2－x>0可得x∈R，

f(x)＋f(－x)

＝lg(1＋x2－x)＋lg(1＋x2＋x)

＝lg[(1＋x2－x)(1＋x2＋x)]

＝lg(1＋x2－x2)＝0.

所以f(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝lg(1＋x2－x)是奇函数．

例4解∵f(x)＝log

a

(1－ax)，

∴f(1)＝log

a

(1－a)．

∴1－a＞0.∴0＜a＜1.

∴不等式可化为log

a

(1－ax)＞log

a

(1－a)．

∴









1－ax＞0，

1－ax＜1－a，

即









ax＜1，

ax＞a，

∴0＜x＜1.

∴不等式的解集为(0,1)．

跟踪训练4(0，

1

2

)

解析log

2

x<2，即log

2

x

2

4，等价于









x>0，

x<4，

∴A＝(0,4)．

1

3

<3x<3，即3－

1<3x<3

1

2

，

∴－1

1

2

，B＝(－1，

1

2

)，

∴A∩B＝(0，

1

2

)．

当堂训练

1.3，

4

3

，

3

5

，

1

10

2．1

4．①③5.[－2,0)