球体体积公式的推导
湖北仙桃二中刘四云
1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V,用垂直于半径OA的平
面将半球分成n个圆柱体,则每个圆柱体的高是
n
R
，半径分别为r
1
、r
2
、r
3
、…r
n
由相交弦定理得
r
1
2=
n
R
·(2R—
n
R
)=R2(
n
2
-
2
1
n
),
r
2
2=
n
R2
·（2R—
n
R2
)=R2(
n
22
—
2
22
n
),,
r
3
2=
n
R3
·(2R-
n
R3
）=R2(
n
32
—
2
22
n
)，
…………………
r
n
2=
n
nR
·（2R-
n
nR
）=R2·（
n
n2
—
2
2
n
n
）
∴V半球
=兀·
n
R3
(
n
2
—
2
1
n
）+兀·
n
R3
(
n
22
—
2
22
n
）+兀·
n
R3
(
n
32
—
2
23
n
)……
+兀·
n
R3
（
n
n2
—
2
2
n
n
）
=兀·
n
R3
（
n
2
+
n
22
+
n
32
+……+
n
n2
—
2
1
n
—
2
22
n
—
2
22
n
—……—
2
2
n
n
）
=兀·
n
R3
（2×
n
n321
—
2
2222321
n
n
）
=兀·
n
R3
〔n+1—
6
1
·
2
112
n
nnn
〕
=兀R3〔
n
n1
—
6
1
·
2
112
n
nn
〕
=兀R3·
2
2
6
134
n
nn
=兀R3·（
3
2
+
26
1
2
1
n
n
）
当n趋近于∞时,
n2
1
=0，
26
1
n
=0，
所以V半球
=兀R3（
3
2
+0+0)
=
3
2
兀R3
V球体体积=
3
4
兀R3。
本文发布于:2022-11-17 00:26:19，感谢您对本站的认可！
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