二次函数最值公式

XX教育辅导教案

学生姓名性别年级—数学

授课教师上课时间年月曰

第（）次课

共（）次课

课时：课时

教学课题二次函数求最大值和最小值

教学目标利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值

教学重点与

难点

含有参数的二次函数最值求解。

课堂引入：

1）由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方法的重要性（初高

中衔接、高中必修一重点学习内容）。

2）当—2ExE2时，求函数y—x2—2x—3的最大值和最小值.

（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下而弓1出二次函数求最值方法总结做铺垫）

二次函数求最值方法总结：

一、设y—ax+bx+c（a=0）,当m^xWn时，求y的最大值与最小值。

1、当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y的最值：

।।，।2

1）当m=—-wn时，x--口寸，y取取小值：ymin-；y的取大值在x-m^x-nft

2a2a4a

取到。

2）若-'em,二次函数在mMxMn时的函数图像是递增的，则x=m时，y取最小值；则x=n

2a

时，y取最大值。

若_._b_>n,二次函数在mExwn时的函数图像是递减的，则x=n时，y取最小值；则x=m2a

时，y取最大值。

1）当mM-bMn时，x=-b时，y取最大值：ymax=

4ac"b;y的最小值在x=m或x=n处2a2a4a

取到。

2）若-~b-

x=m时，y取最大值。

若-2>门，二次函数在mWxWn时的函数图像是单调递增的，则x=m时，y取最小值；则2a

x=n时，y取最大值。

二、二次函数最值问题常见四种考察题型：

1）对称轴定、X取值范围定；

2）对称轴定、x取值范围动；

3）对称轴动、x取值范围定；

4）对称轴动、x取值范围动。

【例题解析】

例1.当2EXE4时，求函数y=x2-2x+1的最大值和最小值.

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值

及函数取到最值时相应自变量x的值.

解：作出函数的图象.当x=2时，ymin=1,当x=4时，ymax=9.

【变式训练】

变式1、当1ExE2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值.

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值

及函数取到最值时相应自变量x的值.

解：作出函数的图象.当x=1时，ymax=-1,当x=2时，ymin=-5.

【例题解析】

例2、当tEXMt+1时，求函数y=；x123—x—5的最小值(其中t为常数).

分析：由于X所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.

125

解：函数y=-x2-x--的对称轴为x=1.回出其草图.

22

⑴当对称轴在所给范围左侧.即51时：当x=t时，ymin=32-t-E；22

(2)当对称轴在所给范围之间.即tW1Wt+1=0WtW1时：

当X=1时，y

min=-x12-1--=-3；22

⑶当对称轴在所给范围右侧.即t+1<1=tM0时：

当x=t+1时，ymin=1(t+1)2-(t+1)_2=1t2-3.

222

1t2-3,t<0

2

-3,0

2t2-t-5,t>1

32

综上所述：y=

【变式训练】

1c5..............................

变式2、当twxwt十1时，求函数y=—1x2-X-5的最小值（其中t为常数）.

方法总结：

1、图像法求二次函数最值；

2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。

（对称轴、X取值范围、函数图像增减性）

作业：

1、当—1Ex£3时，求函数y=X2-4x+3的最大值和最小值.

2、当tExWt+2时，求函数y=x2-x-1的最大值（其中t为常数）.