三角形内角平分线定理

三角形内角平分线定理

三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边

之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则

BD/DC=AB/AC

应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例

三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这

个角的两边对应成比例.

三角形外角平分线的性质定理：

三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内

角的两边对应成比例，均可以用相似△证明.

角平分线性质定理

角平分线的性质：

1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成

的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

证明

●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条

邻边成比例．

即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底

边于D时，BD/CD=AB/AC.

证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC

分别引垂线DE,DF.则DE=DF.

S△ABD：S△ACD=BD：CD

又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×

DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC.

1.角平分线可以得到两个相等的角。

角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。

如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD

等于角BAD。

2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。

如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：

CD=BD

∵∠DCA=∠DBA

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△ABD

∴CD=BD

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内

心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和

三角形内心。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成

的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS平

分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，

求证：AB/BD=AC/CD：

作BE=BD交射线AS于E，如图1：

∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDE，

∴∠AEB=∠ADC

又∵∠BAE=∠CAD,

∴△AEB∽△ADC,

∴AB/BE=AC/CD,即AB/BD=AC/CD.

另外的情况，

如图2，直线BC交AS的反向延长线于D,如图3，直

线BC交AN的反向延长线于C;

此时，仍有AB/BD=AC/CD

证法与图1类似

【角平分线逆定理】

1.到角两边的距离相等的点在角平分线上。

2.平面内任意一小于180度的∠MAN如图，直线BC分

别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD则：

AS平分∠MAN

下面给出证明过程：

证明：过B作BH∥AC交AS于H

∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)

∴AC/CD=HB/BD

又AB/BD=AC/CD

∴AB=BH

∴∠BHA=∠BAH=∠HAC

∴AS平分∠MAN

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