离散值

混合离散变量的优化设计方法

机械设计中，存在着连续设计变量、整

型设计变量和离散设计变量。

齿轮传动中：齿数、模数、齿宽、变位系数；

桥式起重机主梁：板厚123

,,ttt

及主梁高度H

和宽度B

第一节数学模型的一般形式及基本概念

混合离散变量的优化设计数学模型的一般

形式





min

..01,2,,

u

f

stgum

x

x



12

T

DDCC

n

xxxxRxRx

nDCRRR

（1）其中12

T

D

p

xxx







x称为

p

个离

散变量，

DR离散空间，取值范围：

11121

21222

12

l

l

pppl

qqq

qqq

Q

qqq

















,

pl

阶矩阵

第i个离散变量i

x

，



,1,1

1,2,,;1,2,,

ijijij

qqqipjl





正增量,1iijij

qq





，

负增量,1iijij

qq





（2）其中12

T

C

ppn

xxx









x

；称

为

np

个连续型设计变量；

（3）可行域

0,1,2,,n

u

DgumRxx

设计空间nR中，

离散单位邻域：

Nx是指某点x的下述点

的集合



,,1,2,,

,,1,2,,

iiiii

iiiii

xxxip

Nx

xxxippn

















x

离散坐标邻域；Cx是指离散单位邻域

Nx

与坐标轴的交点的集合

1,2,,

i

CNeipxx





3,,,,,,,,

21,,,,

pNABCDEFGH

pCBGDE





xx

xx

故

Nx

的点数3p；

Cx的点数

21p

显然：

若*xD，且对一切

xNx

，恒有

*fxfx

，则称x*为离散局部最优解；

若*xD

，且对一切

xCx

，恒有

*fxfx

，则称*x为伪离散局部最优解。

显然：*x是

NDx

中目标函数值为最小

者。

只有当可行域为凸集时，目标函数为凸函

数时，局部最优解为全域最优解；

目前，解决混合设计变量问题的最常用的

方法，是先把所有变量转变成连续变量，在

求得连续最优解后，再把它的各个分量舍入

到与其接近的离散值或整数值上，即凑整解

法。

拟离散法：

不是简单的圆整而是将*x圆整到最接近

的离散点上，然后再在*x点的坐标邻域

*Cx

内按一定次序找出它的更好的解。

这两种方法都是假定离散最优解在连续最

优解的附近。

第二节自适应随机搜索法

一、随机搜索法的基本原理

以(0)x为中心，在规定的范围内，按某种

概率密度函数对连续变量和离散进行随机

抽样产生新点x。

若

0fxfx，则保留x，重复以上步骤。

1.对连续变量：

021K

i

ii

d

R

xxr

R



式中：i

R

－搜索区域半径，d

R

－区域半

径缩减系数，K－分布系数，正奇数，使21r

可正可负。

2.对均匀离散变量：

1

BAA

Rr

，

intR

，

,

AB



－上、下界值

3.对于离散变量：

21K

i

di

R

Rr

KD

，i

D

－离散变量的间隔值

0int,1,2,,

iii

RRxxRDip

二、步骤

1.取随机数

r

；

2.计算出每

1,2,,

i

xin

；

3.检验i

x

可行域

0

i

gx

，若不满足，

转2；

4.计算

fx

，若

0fxfx

，转2；

5.若

0fxfx

，用

x

代替(0)x

；

6.计算收敛条件：

0fxfx

或





0

0

fxfx

fx





，否则转1，

正常

,

d

KK

先取1，然后

2,3,4;3,5,7

d

KK

第三节离散变量的组合形法

以复合形法为基础发展起来的离散搜

索法。若复合形顶点全是离散点，那么从概

率统计的观点看得到离散最优解的概率比

凑整法大得多。

一、初始离散变量组合形的产生

第1个顶点

0

1

1,2,,

ii

Vxin

第2～(n+1)个顶点

0

1,

1,2,,;

Kii

VxiniK







1,

1,2,,l

KKK

VxKn





第(n+2)～(2n+1)个顶点

0

1,

1,2,,;

Knii

VxiniK







1,

1,2,,u

KnKK

VxKn





,lu

KK

xx

分别为第K个变量的下、上界值

二、一维离散搜索

找出最坏点：

,1,2,,H

i

xVHiin

几何中心：

21

1

1

,,

2

n

c

i

j

jH

xVciVji

n









搜索方向：

,,1,2,,SiVciVHiin

取其点

b

i

x

，（一般取

c

i

x

，每个坐标搜索）

1,2,,b

iii

xxkSin



maxi

Si

S

Si







（均匀达到离散值上），k－

步长因子，依目标函数值而定。

当迭代次数超过预先值，或小于有效最小

步长h

min

，则结果



min

min1,2,,

ii

hDSin

三、约束条件的处理

定义一个有效目标函数

EFx

为



fxxD

EF

MSUMxD

















x

M很大，SUM与违反约束量的总和成正比。

四、离散变量组合形的调整

1.用次坏点与几何中心连线作为搜索方

向；

2.若1不行，则全部向好点方向收缩1/3

再构成新的组合形进行迭代。

五、离散变量组合形算法的收敛准则

连续型时：

1.顶点与中心的均方根差小于



，

2

1

1

21

n

jic

i

n









xx；

2.边长足够小。

取max

iji

aV

，

min

iji

bV

，第i

个坐标上的长度iii

dab

；

若i

d

值与相应坐标的离散增量值进行比

较，若小于离散增量值分量的总数小于预先

给定的个数（在1～n之间），则认为已经收

敛。

,1jijii

VVd





六、步骤

1.选取(0)x

，确定上、下界值，拟离散增

量i



，和收敛准则中的分量数

1NNn；

2.构造2n+1个顶点，计算顶点的函数值，

并排序；

3.计算几何中心()cx

及(0)[]fx

；

4.搜索方向

S

，若找到好点则进行下步，

否则转6；

5.计算组合形坐标上的检验长度，检验收

敛条件，若满足转7，否则用新点代替坏

点，转3；

6.调用离散变量组合形的搜索策略，转3；

7.计算结束，输出最优点及最小值。

第四节离散性惩罚函数法

一、基本原理

当离散变量不在离散点取值时，建立惩罚

项，使其转向最优点

0

0

DD

D

DD

xR

Qx

xR















则离散性惩罚函数

1212

min,,kkkk

D

u

rrfrGgrQ





xxxx

采用内点法时



1

1m

u

u

u

Gg

g









x

x

离散性惩罚项



0

41K

D

ii

iR

Qqq









x

,1

,1

iij

iijiij

ijij

xx

qxxx

xx









显然



1

Kr

是递减序列，



2

Kr

是递增序列，

使

12

min,,minKKrrfxx，max5~10K，一

般开始时1

r

选取的大些，2

r

选小些。

二、关于惩罚因子和离散性惩罚函数指

数的选择

一般取







0

0

1

1

0.1~1.0

1m

u

u

fx

r

g







x

，1

11

KKrCr

，0.025~0.5C

离散性惩罚项的权因子：

1

22

4.5KKrr；

离散性惩罚项函数指数：





11.2

K

K







；

三、伪最优和校正程序

伪最优：设计停留点，不一定刚好在设计变

量的离散点上；

克服方法：采取减小



1

Kr

、加大



2

Kr

，使x

离开伪最优点。

四、算法

1.

100

12

,,xrr

和

0

精度



；

2.计算离散性惩罚函数值；

3.调用无约束极小优化方法，求

12

,,KKrrx

的极值；得最优点*

12

,KKxrr；

若

*x

收敛到离散值上，则

1KK

，

0

*

12

,KKxxrr

，返回2；

否则为离开伪最优点，执行校正程序，

2

2

1122

;KKKKrrrr

，转4；

4.调用校正程序，使设计点收敛到离散

最优点上，否则转2。

第六节应用举例

为了说明离散优化设计的应用情况，现以

第五章中的箱形盖板优化设计为例。如图

8-19所示，按连续设计变量的最优解

*0.636624.9685Tx

，

*101.3605fx

。若

取设计变量的离散值为





1

2

0.00.10.20.3

15.025.040.060.0

D

r

D

xtcm

xhcm





则该问题为全离散问题，其数学模型为求

0

12

T

DDxx







x，使















12

11

22

32

412

3

512

2

612

min120

0

0

0.2510

7

10

45

7

10

45

1

10

321

DDD

DD

DD

DD

DDD

DDD

DDD

fxx

gx

gx

gx

gxx

gxx

gxx















x

x

x

x

x

x

x

分别用离散随机搜索法、离散复合（组合）

形法和离散惩罚函数法进行计算，并取得相

同的离散最优解

12

0.7,25.0,109.00DDDxxfx

。

表8-2列出了计算的有关数据。

由上表可以看出，虽然三种方法都能取得

相同的计算结果，但其计算效率却显著不

同。最后还应该说明，目前现有的离散优化

方法还不能说是十分完善的，因为它们的解

题能力与计算效率都与数学模型的性态有

很大关系。因此，进一步研究通用性强、可

靠和高效的约束非线性离散优化设计方法，

是当前工程优化设计发展中的主要课题之

一，它不仅具有重要的理论价值，而且也具

有非常重要的工程实际意义。