logx

3-5-1、2对数函数的概念

对数函数y＝log2x的图像和性质

基础巩固

一、选择题

1．下列函数中是对数函数的是()

[答案]A

[解析]形如y＝log

a

x(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有

A是对数函数，故选A.

2．(2011·广东文)函数f(x)＝

1

1－x

＋lg(1＋x)的定义域是()

A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)

[答案]C

[解析]本题主要考查函数的基本性质，利用代数式有意义的限

制条件．

要使函数有意义，则有





1－x≠0

1＋x>0

，即









x≠1

x>－1

，所以函数的定

义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．

3．函数y＝log

3

x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()

A．(0，＋∞)B．R

C．(－∞，0)D．(0,1)

[答案]A

[解析]反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．

4．函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，

则()

A．f(x)＝lgxB．f(x)＝log

2

x

C．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe

[答案]C

[解析]易知y＝f(x)是y＝ex的反函数．

∴f(x)＝lnx.故选C.

5．设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义

域为N，则M∩N为()

A．[0,1)B．(0,1)

C．[0,1]D．(－1,0]

[答案]A

[解析]由题得M＝{x|0≤x≤1}，

N＝{x|－1

∴M∩N＝[0,1)，故选A.

6．函数y＝|log

2

x|的图像是图中的()

[答案]A

[解析]有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像

变换是翻折变换，可知这个函数是由y＝log2

x经上折而得到的．

二、填空题

7．若函数f(x)＝log

a

(x＋x2＋2a2)是奇函数，则a＝________.

[答案]

2

2

[解析]由f(0)＝0，解得a＝

2

2

.

8．函数y＝f(x)的图像与函数y＝log

3

x(x>0)的图像关于直线y＝x

对称，则f(x)＝________.

[答案]3x(x∈R)

[解析]由题意知y＝f(x)与函数y＝log

3

x(x>0)互为反函数，所以

f(x)＝3x(x∈R)．

三、解答题

9．(2012·长沙高一检测)已知函数f(x)＝log

2

x－1的定义域为

A，函数g(x)＝(

1

2

)x(－1≤x≤0)的值域为B.

(1)求A∩B；

(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B⊆C，求a的取值范围．

[解析](1)由题意知：





x－1>0

log

2

x－1≥0

⇒x≥2.

∴A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}．∴A∩B＝{2}．

(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，

若要使B⊆C，则有a－1≥2，∴a≥3.

能力提升

一、选择题

1．(2010·山东文)函数f(x)＝log

2

(3x＋1)的值域为()

A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)

[答案]A

[解析]本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问

题．

3x>0⇒3x＋1>1⇒log2

(3

x

＋1)>log

2

1＝0，选A.

2．(2011·北京文3改编)如果－log

2

x<－log

2

y<0，那么()

A．y

C．1

[答案]D

[解析]∵－log

2

x<－log

2

y<0，

∴log2

x>log

2

y>0，

又因为y＝log2

x在(0，＋∞)为增函数，且log

2

1＝0，所以x>y>1.

故选D.

二、填空题

3．若指数函数f(x)＝ax(x∈R)的部分对应值如下表：

x02

f(x)14

g(x)是f(x)的反函数，则不等式g(x)<0的解集为________．

[答案]{x|0

[解析]由a2＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝2x，

∴g(x)＝log2

x<0的解集为{x|0

4．(1)函数f(x)＝log

2

[log

2

(log

2

x)]的定义域为________；

(2)已知y＝log

2

(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的取值

是________．

[答案](1){x|x>2}(2)a＝－1

[解析]根据对数函数的定义域列出关于x的不等式．(1)由f(x)

＝log2

[log

2

(log

2

x)]知log

2

(log

2

x)>0，即log

2

x>1，∴x>2；(2)∵f(x)的定义

域为(－∞，1)，∴ax＋1>0的解集为(－∞，1)．∴x＝1是方程ax＋1

＝0的根，∴a＋1＝0，即a＝－1.

三、解答题

5．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝

lg4－x

x－3

；

(2)y＝log

(x－2)

(5－x)．

[分析](1)题是分式形式；(2)题底数与真数都有自变量，可根据

底数、真数满足的条件列出不等式组．

[解析](1)由





4－x>0

x－3≠0

得x<4且x≠3，

∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．

(2)∵









5－x>0

x－2>0

x－2≠1

，∴









x<5

x>2

x≠3

，

∴2

∴所求定义域为(2,3)∪(3,5)．

6．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．

[解析]∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3

(y＋4)，

∴y＝log3

(x＋4)，

又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)．

∴函数的反函数为y＝log3

(x＋4)(x≥5)．

7．已知f(x)＝log

a

1＋x

1－x

(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)若f(

1

2

)＝1，求a的值．

[解析](1)∵f(x)＝log

a

1＋x

1－x

，需有

1＋x

1－x

>0，

即(1＋x)(1－x)>0，(x＋1)(x－1)<0，∴－1

∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．

(2)∵f(－x)＝log

a

1－x

1＋x

＝loga

(

1＋x

1－x

)－1

＝－loga

1＋x

1－x

＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(3)∵f(

1

2

)＝log

a

1＋

1

2

1－

1

2

＝loga

3.

∴loga

3＝1，故a＝3.