圆的函数表达式

例1.（2008年•北京市）若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，

则这两圆的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外切D．外离

【解析】圆的位置关系比较圆心距与两圆半径的和与差的大小:大于半

径之和两圆外离,等于半径之和两圆外切,小于半径之差两圆内含,等于

半径之差两圆内切,大于半径之差且小于半径之和两圆相交.因为1+5=6

所以两圆外切。

【标准解答】C

变式训练.（2008年•浙江省温州市）已知⊙O

1

和⊙O

2

外切，它们的半

径分别为2cm和5cm，则O

1

O

2

的长是（）

A．2cmB．3cmC．5cmD．7cm

例1变式【解析】两圆外切时圆心距等于半径之和：O

1

O

2

=2cm+5cm=7cm

【标准解答】D

例2.（2008年•湖北省荆门市）如图，将圆沿AB折叠后，恰好弧AMB经

过圆心，则∠AOB等于（）

A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

【解析】过点O作AB的垂线交AB与C，交弧AB与D，连接AO、BO、OD、

AD、BD，则三角形AOD和三角形BOD是等边三角形（边长都等于半径），

所以∠AOB=120°

【标准解答】C

变式训练（2008年•福建省永春县）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠

后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为.

【解析】过点O作AB的垂线交AB与C，交弧AB与D，连接AO、BO、OD、

AD、BD，则三角形AOD和三角形BOD是等边三角形（边长都等于半径），

很容易就可以得到AC=cm，由垂径定理可得AB=2AC=

【标准解答】

例3.（2008年•杭州市）如图，大圆O的半径OC是小圆O

1

的直径，且有

OC垂直于⊙O的直径AB。⊙O

1

的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D。

已知⊙O

1

的半径为r，则AO

1

=________；DE_________

【解析】在直角三角形AOO

1

中OO

1

=r,AO=2r，勾股定理可得：，连

接O

1

D，则三角形EDO

1

与三角形EOA相似，设DE=x,EO

1

=y，则有，

即，解方程组得：。

【标准解答】，

例4.（2008年•山东省威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘

米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运

动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间

t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函

数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

A

B

N

M

【标准解答】

解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；

当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t-11．

（2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．

所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．

1.（2008年•福建省永春县）已知⊙O

1

和⊙O

2

的半径分别为5和2，O

1

O

2

＝

7，则⊙O

1

和⊙O

2

的位置关系是（）

A．外离；B．外切；C.相交；D．内含

1.【解析】圆的位置关系比较圆心距与两圆半径的和与差的大小:大于

半径之和两圆外离,等于半径之和两圆外切,小于半径之差两圆内含,等

于半径之差两圆内切,大于半径之差且小于半径之和两圆相交。因为

5+2=7所以两圆外切。

【标准解答】B

2.（2008年•山东省青岛市）已知⊙O

1

和⊙O

2

的半径分别为3cm和2cm，

圆心距O

1

O

2

=4cm，则两圆的位置关系是（）

A．相切B．内含C．外离D．相交

2.【解析】圆的位置关系比较圆心距与两圆半径的和与差的大小:大于

半径之和两圆外离,等于半径之和两圆外切,小于半径之差两圆内含,等

于半径之差两圆内切,大于半径之差且小于半径之和两圆相交。因为3—

2<4<3+2，所以两圆相交。

【标准解答】D

3.（2008年•宁波市）已知半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的

圆心距可能是（）

A．1cmB．3cmC．10cmD．15cm

3.【解析】两圆相交，圆心距大于半径之差且小于半径之和所以本题中

两圆的圆心距大于3cm小于13cm,只有C符合要求。

【标准解答】C

4.（2008年•武汉市）如图是一个五环图案，它由五个圆组成，下排的

两个圆的位置关系是（ ）．

A.内含 B．外切 C．相交 D．外离

4.【解析】注意看清楚题目，问的是下排的两个圆的位置关系

【标准解答】D

5.（2008年•赣州市）在平面直角坐标系中，⊙O

1

、⊙O

2

的半径分别为1

和2，两圆分别与x轴、y轴都相切，那么这两圆的圆心距O

1

O

2

可以是以

下五个数据中的．（填入正确答案的序号）

①；②；③；④；⑤3．（可能有若干个正确答案，填对全部正确答案

得满分；漏填一个或两个答案的依次扣分；但多填错误答案的则判零

分．）

5.【解析】由题意可以看出两圆可能的位置关系是：外离、相交，因此

圆心距O

1

O

2

满足的条件是：大于1且小于3或大于3。符合要求的数据

有②④⑤这三个。

【标准解答】②④⑤

6.（2008年•贵阳市）如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1

个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，

那么

⊙A由图示位置需向右平移个单位．

6.【解析】两圆的相切有内切和外切两种情况当⊙A向右平移的时候可

能会与⊙B依次出现的相切的情况是：外切（圆心距为3，向右平移2个

单位）、内切（圆心距为1，向右平移4个单位）、内切（圆心距为1，

向右平移6个单位）、外切（圆心距为3，向右平移8个单位）

【标准解答】2、4、6、8

7.（2008年•浙江省绍兴市）如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面

上）与地面的触点A，B间距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm，

16cm，则此两车轮的圆心相距cm．

A

B

7.【解析】连接两圆的圆心得到上底为8cm下底为68cm，高为80cm的直

角梯形，通过构造直角三角形很容易可以求出圆心距为100cm。

【标准解答】100

8.（2008年•浙江省绍兴市）如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，

圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为，，，

…，，则的值等于．

8.【解析】设每个圆的面积为1，各图形阴影的面积分别为、、……，

所以，，因此=19：7

【标准解答】

9.（2008年•甘肃省白银）右图是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图

(1)是它的横截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是8mm．

(1)矩形ABCD的长AB=mm；

（2）利用图(2)求矩形ABCD的宽AD．

（≈1.73，结果精确到0.1mm）

9.【标准解答】解：(1)56；

（2）如图，△O

1

O

2

O

3

是边长为8mm的正三角形，

作底边O

2

O

3

上的高O

1

D．

则O

1

D=O

1

O

3

·sin60°=4≈6.92．

∴AD=2(O

1

D+4)=2×10.92≈21.8（mm）．

说明：(1)用勾股定理求O

1

D，；

（2）在如图大正三角形中求高后再求AD。

10.（2008年•赣州市）如图，在直角坐标系xOy中，每个网格的边长都

是单位1，圆心为M（-4，0）的⊙M被y轴截得的弦长BC=6．

（1）求⊙M的半径长；

（2）把⊙M向下平移6个单位，再向右平移8个单位得到⊙N；请画出

⊙N，观察图形写出点N的坐标，并判断⊙M与⊙N的位置关系，说明理

由；

（3）画出一个“以点D（6，0）为位似中心，将⊙N缩小为原来的”的

⊙P．

10.【标准解答】解：（1）∵MO⊥BC于点O，

∴OC=BC=3，

∴；

（2）N（4，-6），

正确画出⊙N；⊙N与⊙M外切；

理由是：过点N作NE⊥x轴于E

∴ME=8，NE=6

∴=2R

∴⊙N与⊙M外切；

（3）正确画出⊙P

1

与⊙P

2

中任一个．（圆心在P

1

（7，3）或

P

2

（5，-3），

半径为2.5的圆．）

11.（2008年•绵阳市）如图，已知⊙O

1

与⊙O

2

外切于点O，以直线O

1

O

2

为

x轴、点O为坐标原点建立坐标系，直线AB切于点B，切⊙O

2

于点A，交y

轴于点C（0，2），交x轴于点M，BO的延长线交⊙O

2

于D，且

OB∶OD=1∶3．

（1）求⊙O

2

的半径的长；

（2）求直线AB的解析式；

（3）求直线上是否存在点P，使△MO

2

P与△MOB相似？若存在，求出

点P的坐标；若不存在，说明理由．

x

y

P

O

2

O

1

O

D

A

B

M

11.【标准解答】解：（1）连结BO

1

、DO

2

，则∠D=∠O

1

BD．

∴BO

1

//DO

2

，∴O

1

O∶OO

2

=BO∶DO=1∶3．

∵CB=CO=AC，C（0，2），∴CO=2，AB=4．

x

y

P

H

O

2

O

1

O

D

A

B

N

M

作O

1

N⊥O

2

A于N，设BO

1

=r，则AO

2

=3r，16r2=4r2+16．

∴12r2=16．∴r=，则3r=．

∴⊙O

2

的半径的长为．

（2）Rt△O

1

NO

2

中，NO

2

=O

1

O

2

，∴∠NO

1

O

2

=30º．

∵O

1

N//AB，∴∠CMO=30º．

在Rt△COM中，tan30º=，

∴OM==．∴点M的坐标为（-，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b，则根据题意，得

∴∴y=．

（3）∠BO

1

M=60º，O

1

B=O

1

O，∴∠BOM=30º，

∴△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120º．

假设满足条件的点P存在，则只需∠MO

2

P=30º或∠MO

2

P=120º．

①当∠MO

2

P=30º时，O

2

P是AO

2

O的平分线．

∵O

2

C是∠AO

2

O的平分线．

∴点P与点C重合，即当∠MO

2

P=30º时，其点P就是点C，从而点P的

坐标为（0，2）．

②∠MO

2

P=120º时，作PH垂直于x轴于H，则∠PO

2

H=60º．

∵点P在直线y=上，设点P坐标为（a，），

则PH=，O

2

H=．

在Rt△PO

2

H中，tan∠PO

2

H=，

∴，解得a=，∴P点的坐标为（，6）．

因此在直线AB上存在点P，使△MO

2

P与△MOB相似，P的坐标为（0，

2）或（，6）．

（2008年•福建省莆田市）已知两圆的半径分别为3cm,和5cm,圆心距是8cm,则两圆的位置关系

（）

A．相离B．外切C．相交D．内切

【解析】圆的位置关系比较圆心距与两圆半径的和与差的大小:大于半径之和两圆外离,等于半

径之和两圆外切,小于半径之差两圆内含,等于半径之差两圆内切,大于半径之差且小于半径之和

两圆相交。因为3+5=8所以两圆外切。

【标准解答】B

（2008年•江苏省徐州巿）⊙O

1

和⊙O

2

的半径分别为5和2，O

1

O

2

＝3，则⊙O

1

和⊙O

2

的位置关系是

A.内含 B. 内切 C.相交 D.外切

【解析】圆的位置关系比较圆心距与两圆半径的和与差的大小:大于半径之和两圆外离,等于半

径之和两圆外切,小于半径之差两圆内含,等于半径之差两圆内切,大于半径之差且小于半径之和

两圆相交。因为5—2=3，所以两圆内切。

【标准解答】B

⊙O

1

和⊙O

2

（2008年•浙江省衢州）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是(

)

A、内切B、相交C、外切D、外离

【解析】圆的位置关系比较圆心距与两圆半径的和与差的大小:大于半径之和两圆外离,等于半

径之和两圆外切,小于半径之差两圆内含,等于半径之差两圆内切,大于半径之差且小于半径之和

两圆相交。因为3+4＜8，所以两圆外离。

【标准解答】D

（2008年•山东省枣庄市）右图是北京奥运会自行车比赛项目标志，图中两车轮所在圆

的位置关系是（）

A．内含B．相交C．相切D．外离

【解析】由图形很容易的可以看出两圆的位置关系是外离。

【标准解答】D

（2008年•浙江省嘉兴市）如图，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆

心，为半径的圆弧外切，则的值为（）

A．B．C．D．

【解析】设正方形边长为a，EC=x，则AE=a+x,BE=a—x,由勾股定理可得：，解得：，所以===。

【标准解答】D

（2008年•金华市）相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为

cm。

【解析】两圆相交圆心距大于半径之差，小于半径之和。

【标准解答】答案不唯一,符合要求即可.圆心距在2cm和14cm之间.

【标准解答】解：(1)56；

（2）如图，△O

1

O

2

O

3

是边长为8mm的正三角形，

作底边O

2

O

3

上的高O

1

D．

则O

1

D=O

1

O

3

·sin60°=4≈6.92．

∴AD=2(O

1

D+4)=2×10.92≈21.8（mm）．

说明：(1)用勾股定理求O

1

D，；

（2）在如图大正三角形中求高后再求AD。

（2008年•四川省成都市）如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优

弧AB上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若

AB=2.

(1)求∠C的度数；

（2）求DE的长；

（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0

【标准解答】27．解：方法一：

C

E

B

M

A

D

O

（1）连结．则在中，

，，．

，．

．

连结．则．

．

方法二：延长与⊙O相交于点，连结．

则有，且．

在中，，．

又，．

，．

（2）方法一：在和中，

，，．．

连结．则．

在中，，．．

．即．．

方法二点在弧AB上移动，恒为，长始终不变．当点移动到延长线与⊙O交点处时，可求得

（3）方法一：连结．是⊙M的直径，．

由，可得，．

在中，，，

；

．

又由（2），知．．

在中，=，

．

方法二：由（2），知，．

又由（2），知，，．

连结．在中，由勾股定理，得

．

又，即．

而

==（0