秦九韶公式

海伦—秦九韶公式

如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记

，

2

cba

p





那么三角形的面积

))()((cpbpappS

①

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题

而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公

式.

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面

积的秦九韶公式

])

2

([

4

1

2

222

22

cba

baS





.②

下面我们对公式②进行变形：

=

2

222

2)

4

(

2

1cba

ab



）（

=

)

42

1

)(

42

1

(

222222cba

ab

cba

ab









=4

2

4

2222222cbaabcbaab

•



=4

)(

4

22

22bac

cba



•

）（

=2222

acbbcacbacba

•



•



•



=.))()((cpbpapp

这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶

公式.

证明过程

①海伦公式的证明

证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD=x，那么DC=a-x,

由于AD是△ABD、△ACD的公共边，

则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，

解出x得x=

222c-b+a

2a

，

于是h=

222

2

c-b+a

c-

2a

2（），

S△ABC的面积=

1

ah

2

=

1

2

a·

222

2

c-b+a

c-

2a

2（），

即S=

1

2

222

22

c+a-b

ca-

2

2（），

令p=

1

2

（a+b+c），

对被开方数分解因式，并整理得到

S=.))()((cpbpapp得证.

②由海伦公式推导秦九韶公式

秦九韶公式：

])

2

([

4

1

2

222

22

cba

baS





.

推导过程:

))()((cpbpapp

.

=

)22(2)22(22

16

1

cppbpap）（

=

))()((

16

1

cbacbabacbac）（

=

])][()([

16

1

2222cbabac

=

]

4

)()(2)(

4

4

[

4

1222222222ccbababa



=

])

2

([

4

1

2

222

22

cba

ba





.

故

))()((cpbpapp

=

])

2

([

4

1

2

222

22

cba

ba





.