力矩方向

力矩·典型题剖析

例1一根长l=1m的直杆，可绕通过其一端的轴O转动，在如图1-71的四

种情况下，加在A端的力均为F=20N，试求它对转轴O的力矩．已知α=30°．

分析先找出各情况下的力臂，代入力矩公式即得．

解答四种情况下力F对转轴O的力臂L和力矩M依次如下：

La=0，M

a

=0；

Lb=l=1m，Mb=FLb=20N·m；（逆时针方向）

Lc=lsinα=0.5m，Mc=FLc=10N·m；（逆时针方向）

Ld=lsinα=0.m，Md=FLd=10N·m．（顺时针方向）

说明为了计算（c）、（d）两情况的力矩，可根据合力矩与分力矩的关

系，对力F作正交分解：其中一个分力F1垂直于棒，另一个分力F2沿着棒，如

图1-72所示．由于F2对转轴O的力矩为零，所以力F对转轴O的力矩完全由

F1决定，即

其结果完全相同．

例2如图1-73所示，直杆OA可绕O点转动，在杆端A点依次向不同方向

加上四个力F1、F2、F3、F4，力的作用线与OA杆在同一竖直面内，四个力的大

小关系如图所示（图中虚线平行于直杆），它们对O点的力矩大小分别为M1、

M2、M3、M4，则

[]

A．M1=M2＞M3=M4．

B．M2＞M1=M3＞M4．

C．M1＞M2＞M3＞M4．

D．M2＞M1＞M4＞M3．

分析将四个力F1、F2、F3和F4分别沿杆OA方向和垂直于杆OA方向分解，

然后比较垂直于杆OA方向的四个分力的大小．

答B．

说明本题中由于各个力的实际大小及其与OA杆的夹角不明确，开始常会

感到有些棘手．采用了合力与其分力之间的力矩关系后，可简捷作出判断．

例3一根不均匀的长木料AB平卧在水平地面上，缓缓提起它的A端时所

需拉力F1=240N，提起另一端B时所需拉力F2=180N，这根木料的重力G等于多

大？

分析取木料为研究对象，它的一端被提起时，可看成绕另一端为轴的转

动．作用在木料上使它转动的力有拉力F1（F2）和重力．缓缓提起的过程，可以

认为木料处于平衡状态，由拉力和重力对转动轴的力矩平衡即得．

解答设木料长l，重心位置C离B端为l1，提起A端和B端时木料与水

平面间夹角分别为α和β，如图1-74和图1-75所示．由平衡条件得

F1lcosα=Gl1cosα，①

F2lcosβ=G（l-l1）cosβ，②

即F11=Gl1，F2l=G（l-l1）．

两式相加，即得木料重为

G=F1+F2=（240+180）N=420N．

说明（1）所谓固定转动轴，在实际问题中有两种含义：一是确实有转轴

存在（如课本中的力矩盘）；二是无明显的转轴，但在运动过程中物体总是绕着

某一确定的点（或通过某一确定点垂直平面的轴）转动（如本例），它们都属于

有固定转动轴的问题．（2）建立力矩平衡方程时，需注意力臂的物理意义．本

例的①、②两式虽两边都有cosα（或cosβ），但不能立即省去．（3）本例提

供了一种测量较长的物体重力的方法，读者可通过实验验证．

讨论

1．力矩的正负

力矩是有方向的，在同一位置上加以同样大小的力矩，可以使物体向不同方向转动．因

此在计算力矩时，必须同时指出它对物体的转动方向．习惯上，使物体逆时针方向转动的力

矩规定为正，使物体顺时针方向转动的力矩规定为负．

规定了力矩的正、负后，有固定转动轴物体的平衡条件可表述为：作用于有固定转动

轴的物体上的所有力矩的代数和等于零，即

M逆-M顺=0，

或∑M=0．

2．课本例题作为固定转动轴平衡条件的应用．若设横梁OB重G0，重心位于

中点C，重物G挂在离O点x处（OD=x），如图1-76所示．根据对转轴O的力

矩平衡条件可知：

得绳中拉力

这是形如y=a+bx的一次函数，表示绳中拉力随悬点D离转轴O的距离x线性

变化．当x=0和x=l时，对应的拉力有最小值和最大值，其值分别为

画出的T-x图像如图1-77所示．

例1把一个均质立方体绕过角顶O的棱为轴翻转90°，如图1-56所示，

也即使图中α角由0°变为90°，立方体所受重力对转轴的力矩大小随α角变化

的图像如图1-57中哪一幅所示？[]

分析设该立方体边长为a，翻动到某位置时，重力作用线与对角线方向

OC间夹角为（45°-α），如图1-58所示．此时重力G对转轴O的力臂大小为

因此，重力对转轴O的力矩大小为

所以它随α角的变化图线应如图1-57（C）所示．

答C．

说明本题可采用排除法迅速得出结果．由于在对角线OC方向取竖直位置

的左、右两方，重力对轴O的力矩方向不同，由此可以先排除B、D两选项，再

根据重力对轴O的力臂与α角的非线性关系，又可排除掉A．这样，即使不写出

力矩表达式也可作出正确的选择．

根据定性比较，运用排除法，也不失为一个巧妙的方法，有利于迅速求解，请加以体

会．

例2如图1-59所示，小球夹在竖直墙和装有铰链的薄板OA之间，若不计

摩擦，则在薄板和墙之间的夹角α逐渐增大至90°的过程中

[]

A．小球施于薄板的压力增大

B．小球施于墙的压力减小

C．小球施于薄板的压力对转轴O的力矩增大

D．小球施于薄板的压力对转轴O的力矩减小

分析考虑小球对板和墙压力的变化情况时，需以小球作研究对象，它受

到三个力作用：重力G、大小与方向均恒定；竖直墙的弹力N1，方向保持水平向

右不变；板的弹力N2，方向垂直板面，小球的受力情况如图1-60（a）所示．

随着板与竖直方向间夹角α的变化，N2在空间的方向也发生变化，但N1的方向

线不变，G的大小，方向一定，这三个力构成的力三角形如图1-60（b）所示．可

见，随着α角的增大，N1、N2均减小，即小球对墙与板的压力均减小．

考虑小球施于板的压力对轴O的力矩变化时，应取薄板为研究对象．设压力N＇

的施力点为B，其力臂L=OB，由几何关系知

式中R为小球半径（图1-61）．

力N＇（=N）也减小，所以压力对轴O的力矩也减小．

答B、D．

力矩·能力测试

A卷

1．轻杆BC的C端铰接于墙，B点用绳子拉紧，在BC中点O挂重物G（图1-78）．当以

C为转轴时，绳子拉力的力臂是[]

A．OB．B．BC．

C．AC．D．CE．

E．AB．

2．一重为G的均匀等边直角尺ACO，O端与墙铰接（图1-79）．在A点加上大小均为

F、方向不同的外力，能对转轴O产生最大力矩的外力方向是[]

A．垂直AC．B．沿着AC．C．垂直AO．D．沿着AO．

3．如图1-80所示，用水平力F把重为G的均质杆绕O轴

缓缓抬起的过程中，重力对O轴力臂的变化______和力矩的变化

______，水平拉力F的大小变化______．（填变大、变小或不变）．

4．如图1-81所示，直杆AB可绕铰接于墙的轴B转动，今

在A端分别加上水平向左、垂直于杆、竖直向上的三个力F1、

F2、F3，使它们对转轴B产生的力矩相等，则三个力的大小之比

F1∶F2∶F3=______．

5．如图1-82所示，将一个放倒的油桶推上高h的台阶，油桶半径为R（R

＞h），水平推力F1作用在桶的最高点，竖直向上的推力F2作用在桶的最左边

一点．对于通过O点的转动轴，推力F1的力矩M1______，推力F1的力矩M2=______．

B卷

1．某同学用一不等臂天平称量物体A的质量．他先把A放在天平的右盘，平衡时，左盘

中砝码质量为m1．再把A放在天平的左盘，平衡时，右盘中砝码质量为m2．则这个被称物

体A的质量为______．

2．一根均匀木尺AB，放在水平桌面上，其右端B伸出桌面外，在

尺的左端A处放一个重为木尺重力一半的小砝码C，如图1-83所示，尺

刚好不翻转时，木尺伸出桌面部分的长度是尺全长的_______．

参考答案与提示

A卷

1．D．

2．C．

3．变大、变大，变大．

B卷