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初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)

一．选择题（共12小题）

1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头

发丝的半径是（）

A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米

2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则

下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）

A．红队2，黄队﹣2，蓝队0B．红队2，黄队﹣1，蓝队1

C．红队3，黄队﹣3，蓝队1D．红队3，黄队﹣2，蓝队0

3．要使为整数，a只需为（）

A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数

4．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8

名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”

表示刚好达标，这个小组的达标率是（）

﹣1+0.8

0

﹣

1.2

﹣

0.1

0

+0.5﹣

0.6

A．25%B．37.5%C．50%D．75%

5．有一列数a

1

，a

2

，a

3

，a

4

，…，a

n

，从第二个数开始，每一个数都等于1与它

前面那个数的倒数的差，若a

1

=2，则a

2008

值为（）

A．2B．﹣1C．D．2008

6．有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）

A．1B．±1C．﹣1D．0

7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F

共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

16进制

ABCDEF

10进制

1112131415

例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）

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A．16B．1CC．1AD．22

8．若ab＞0，且a+b＜0，那么（）

A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞0

9．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式

是（）

A．a

1

+a

2

+a

3

+a

7

+a

8

+a

9

=2（a

4

+a

5

+a

6

）

B．a

1

+a

4

+a

7

+a

3

+a

6

+a

9

=2（a

2

+a

5

+a

8

）

C．a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+a

6

+a

7

+a

8

+a

9

=9a

5

D．（a

3

+a

6

+a

9

）﹣（a

1

+a

4

+a

7

）=（a

2

+a

5

+a

8

）

10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方

由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z

依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序

号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明

文s对应密文c

字母

abcdefghijklm

序号

1112

字母

nopqrstuvwxyz

序号

8192

按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）

A．wkdrcB．wkhtcC．eqdjcD．eqhjc

11．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）

A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值

C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值

12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！

=4×3×2×1，…且公式，则C

12

5+C

12

6=（）

A．C

13

5B．C

13

6C．C

13

11D．C

12

7

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二．填空题（共10小题）

13．2.40万精确到位，有效数字有个．

14．如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，

并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，

若|a|+|b|=2，则原点是（填入M、N、P、R中的一个或几个）．

15．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则

3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即

1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．

16．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），

它们两者之间可以互相换算，如将（101）

2

，（1011）

2

换算成十进制数应为：

；

按此方式，将二进制（1101）

2

换算成十进制数的结果是．

17．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：

1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）

=﹣，…

你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．

18．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整

数，且满足1＜＜3，则x+y的值．

19．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…

（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…

利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=．

20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣

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b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．（只填序号，

答案格式如：“①②③④”）．

21．若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=．

22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示

的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积

的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数

时，+++…+=．

三．解答题（共18小题）

23．计算：++++…+．

24．请你仔细阅读下列材料：计算：

（﹣）÷（﹣+﹣）

解法1：按常规方法计算

原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣

解法2：简便计算，先求其倒数

原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=

﹣20+3﹣5+12=﹣10

故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣

再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（

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﹣+﹣）．

25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．

（1）求2※4的值；

（2）求（1※4）※（﹣2）的值；

（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比

较它们的运算结果：□※○和○※□；

（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．

26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．

27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，

a+b0，c﹣a0．

（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．

28．（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a

﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a

﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣

a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a

﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之

间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；

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②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x

为；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

④当x=时，|x+1|+|x﹣2|=5．

29．

请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：

（1）999×（﹣15）

（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．

30．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解

为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．

（3）如果|x﹣2|=5，则x=．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的

距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数

是．

（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，

直接写出最小值；如果没有，说明理由．

31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014

解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得

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2S=2+22+23+24+…+22014+22015②

将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1

请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）

32．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这

个问题．”

他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2

时，值最小为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围

是，最小值是．

（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答

过程．

33．（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a

﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a

﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣

a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a

﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之

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间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x

为；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

34．计算：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（

×）．

35．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千

米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家．

（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，

你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？

（2）小彬家距中心广场多远？

（3）小明一共跑了多少千米？

36．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题

（1）请直接写出a、b、c的值．a=，b=，c=

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点

P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|

（请写出化简过程）

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1

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个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5

个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为

BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变

化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．

解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：

2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1

请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．

38．计算：（1）；

（2）﹣24+3﹣16﹣5；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．

39．1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，

其中n是正整数．

现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？

观察下面三个特殊的等式

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1×2=（1×2×3﹣0×1×2）

2×3=（2×3×4﹣1×2×3）

3×4=（3×4×5﹣2×3×4）

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20

读完这段材料，请你思考后回答：

（1）直接写出下列各式的计算结果：

①1×2+2×3+3×4+…10×11=

②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=

（2）探究并计算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．

40．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左

移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，

请参照图并思考，完成下列各题．

（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的

数是，A、B两点间的距离是；

（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位

长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；

（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个

单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；

（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左

移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多

少？

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初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题

(含解析)

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．（2016春•碑林区校级期末）1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则

利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）

A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米

【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60000÷2）纳米，然后根据1纳

米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．

【解答】解：头发丝的半径是60000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．

故选D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的

形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．（2014秋•赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：

1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）

A．红队2，黄队﹣2，蓝队0B．红队2，黄队﹣1，蓝队1

C．红队3，黄队﹣3，蓝队1D．红队3，黄队﹣2，蓝队0

【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的

净胜球数．依此列出算式进行计算．

【解答】解：由题意知，红队共进4球，失2球，净胜球数为：4+（﹣2）=2，

黄队共进3球，失5球，净胜球数为3+（﹣5）=﹣2，

蓝队共进2球，失2球，净胜球数为2+（﹣2）=0．

故选A．

【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的

净胜球数．

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3．（2010春•佛山期末）要使为整数，a只需为（）

A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数

【分析】如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．

【解答】解：∵为整数，

∴（a﹣5）2为4的倍数，

∴a﹣5是偶数，

则a可取任意奇数．

故选A．

【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数，

任何一个偶数必定能够被2整除，偶数的平方能够被4整除．

4．（2013秋•郑州期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，

下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成

绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）

﹣1+0.8

0

﹣

1.2

﹣

0.1

0

+0.5﹣

0.6

A．25%B．37.5%C．50%D．75%

【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人

数除以总人数，可的达标率．

【解答】解：﹣1＜0，0=0，﹣1.2＜0，﹣0.1＜0，0=0，﹣0.6＜0，达标人数为6

人，

达标率为6÷8=75%，

故选：D．

【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数

的达标率．

5．（2014•新华区模拟）有一列数a

1

，a

2

，a

3

，a

4

，…，a

n

，从第二个数开始，每

一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a

1

=2，则a

2008

值为（）

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A．2B．﹣1C．D．2008

【分析】从所给出的资料中，可得到若a

1

=2，a

2

=，a

3

=﹣1，a

4

=2…则这列数的

周期为3，据此解题即可．

【解答】解：根据题意可知：若a

1

=2，则a

2

=1﹣=，a

3

=1﹣2=﹣1，a

4

=1﹣（﹣

1）=2，…，这列数的周期为3，

∵2008=3×669+1

∴a

2008

=2．

故选：A．

【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出

的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解．

6．（2016春•沭阳县期末）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则+

+=（）

A．1B．±1C．﹣1D．0

【分析】根据a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，可知a，b，c为两正一负或

两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可．

【解答】解解：∵a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，

∴a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，

①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；

②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；

综上，++的所有可能的值为±1．

故选（B）

【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意

分情况讨论字母的符号，不要漏解．

7．（2013•天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数

字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下

第14页（共39页）

表：

16进制

ABCDEF

10进制

1112131415

例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）

A．16B．1CC．1AD．22

【分析】首先把A+C利用十进制表示，然后化成16进制即可．

【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16．

故选A．

【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键．

8．（2012秋•祁阳县校级期中）若ab＞0，且a+b＜0，那么（）

A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞0

【分析】两数之积大于0，说明两数同号，两数之和小于0，说明两数都是负数．

【解答】解：∵ab＞0，

∴a，b同号；

又∵a+b＜0，

∴a，b同为负数．

故本题选C．

【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则

这两个数都为负数．

9．（2011秋•南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里

面九个数不满足的关系式是（）

A．a

1

+a

2

+a

3

+a

7

+a

8

+a

9

=2（a

4

+a

5

+a

6

）

B．a

1

+a

4

+a

7

+a

3

+a

6

+a

9

=2（a

2

+a

5

+a

8

）

C．a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+a

6

+a

7

+a

8

+a

9

=9a

5

第15页（共39页）

D．（a

3

+a

6

+a

9

）﹣（a

1

+a

4

+a

7

）=（a

2

+a

5

+a

8

）

【分析】从表格中可看出a

5

在中间，上下相邻的数为依次大7，左右相邻的数为

依次大1，所以可得到代数式．

【解答】解：A、a

1

+a

2

+a

3

+a

7

+a

8

+a

9

=（a

4

+a

5

+a

6

）﹣21+（a

4

+a

5

+a

6

）+21=2（a

4

+a

5

+a

6

），

正确，不符合题意；

B、a

1

+a

4

+a

7

+a

3

+a

6

+a

9

=a

1

+a

3

+a

4

+a

6

+a

7

+a

9

=2（a

2

+a

5

+a

8

），正确，不符合题意；

C、a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+a

6

+a

7

+a

8

+a

9

=9a

5

，正确，不符合题意

D、（a

3

+a

6

+a

9

）﹣（a

1

+a

4

+a

7

）=6，错误，符合题意．

故选D．

【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与a

5

的

关系，从而得出结果．

10．（2010•广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加

密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，

b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字

母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序

号，例如明文s对应密文c

字母

abcdefghijklm

序号

1112

字母

nopqrstuvwxyz

序号

8192

按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）

A．wkdrcB．wkhtcC．eqdjcD．eqhjc

【分析】m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应

的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应

的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应

的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．

【解答】解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加

10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．

第16页（共39页）

故选：A．

【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字

母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的

区分度．

11．（2009秋•和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的

是（）

A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值

C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值

【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．

【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；

当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；

当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；

故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；

故选D．

方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小

值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1，

故选D．

【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的

取值分情况讨论．

12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！

=4×3×2×1，…且公式，则C

12

5+C

12

6=（）

A．C

13

5B．C

13

6C．C

13

11D．C

12

7

【分析】根据题目信息，表示出C

12

5与C

12

6，然后通分整理计算即可．

【解答】解：根据题意，有C

12

5=，C

12

6=，

∴C

12

5+C

12

6=+，

=，

第17页（共39页）

=，

=C

13

6．

故选B．

【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．

二．填空题（共10小题）

13．（2009秋•绥中县期末）2.40万精确到百位，有效数字有3个．

【分析】根据24000确定精确度，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确

到的数位为止共有3个有效数字．

【解答】解：2.40万=24000，精确到百位，有效数字有3个，分别是2，4，0．

【点评】从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字

都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．

14．（2016秋•余杭区期末）如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的

点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数

b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是N或P（填入M、N、P、

R中的一个或几个）．

【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，且大于1，然后根据绝对值的

性质解答即可．

【解答】解：∵MN=NP=PR=1，

∴|MN|=|NP|=|PR|=1，

∴|MR|=3；

①当原点在N或P点时，1＜|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=2，所以原点可能在N

或P点；

②当原点在M或R点时，|a|+|b|＞2，所以原点不可能在M或R点；

综上所述，原点应是在N或P点．

故答案为：N或P．

第18页（共39页）

【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条

件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，

把式子化简后根据整点的特点求解．

15．（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则

3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即

1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是

．

【分析】根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可

得解．

【解答】解：设M=1+5+52+53+…+52015，

则5M=5+52+53+54…+52016，

两式相减得：4M=52016﹣1，

则M=．

故答案为．

【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题

的关键．

16．（2013•天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制

数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）

2

，（1011）

2

换算成十进制数应为：

；

按此方式，将二进制（1101）

2

换算成十进制数的结果是13．

【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．

第19页（共39页）

【解答】解：（1101）

2

=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．

故答案为：13．

【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的

转化方法是解题的关键．

17．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得

下列算式成立：

1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）

=﹣，…

你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．

【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即

可用a与b表示出新运算a⊕b．

【解答】解：根据题意可得：

1⊕2=2⊕1=3=+，

（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣=+，

（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣=+，

则a⊕b=+=．

故答案为：．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找

出一般性的规律是解本题得关键．

18．（2011•越秀区校级模拟）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10

﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值±15或±9．

【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数

即可确定x，y的值，从而求解．

【解答】解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3，

第20页（共39页）

则13＜xy＜15，

因为x、y是整数，则x=±1时，y=±14；

当x=±2时，y=±7，

当x=±3时，y的值不存在；

当x=±4，±5，±6，±8，±9，±10，±11，±12，±13时，y的值不存在；

当x=±14时，y=±1；

当x=±7时，y=±2．

则x+y=1+14=15，或x+y=﹣1﹣14=﹣15，或x+y=2+7=9，或x+y=﹣2﹣7=﹣9．

故x+y=±15或±9．

故答案是：±15或±9．

【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．

19．（2011春•宿迁校级期末）符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如

下：

（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…

（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…

利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=﹣2009．

【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前

面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，计算即可．

【解答】解：G（2010）﹣G（）﹣2010=2010×2﹣1﹣（2010﹣1）×2﹣

2010=﹣2009．

【点评】找到正确的规律是解答本题的关键．

20．（2006•连云港）a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4

个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①

②④．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．

【分析】首先能够根据数轴得到a，b之间的关系的正确信息，然后结合数的运

第21页（共39页）

算法则进行分析．

【解答】解：根据数轴得a＜﹣1＜b，|a|＞|b|．

①中，a﹣b＜0，故①正确；

②中，a+b＜0，故②正确；

③中，由于b的符号无法确定，所以ab＜0不一定成立，故③错误；

④中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）＜0，故④正确．

所以一定成立的有①②④．

故答案为：①②④．

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．

特别注意④中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式

的符号．

21．（2006•贺州）若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=±1．

【分析】根据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有2个，且互为相反数．

根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负．

【解答】解：∵|x|=2，|y|=3，

∴x=±2，y=±3．

又∵＜0，

∴x，y异号，

故x=2，y=﹣3；

或x=﹣2，y=3．

∴x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1．

故答案为：±1．

【点评】理解绝对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同．

同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．

22．（2004•乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设

计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色

第22页（共39页）

彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，

推断当n为整数时，+++…+=1﹣．

【分析】结合图形，知+=1﹣，++=1﹣，推而广之即可．

【解答】解：结合图形，得

+++…+=1﹣．

【点评】此题注意运用数形结合的思想进行分析．

三．解答题（共18小题）

23．计算：++++…+．

【分析】把++++…+变形为+++

+++++…++，再根据加法交换律和结合律计算即可求解．

【解答】解：++++…+

=++++++++…++

=+（+）+（+）+（+）+…+（+）+

=2×2014+

=4028+

=4028．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把+++

+…+变形为++++++++…++计算．

第23页（共39页）

24．（2016秋•湖北月考）请你仔细阅读下列材料：计算：

（﹣）÷（﹣+﹣）

解法1：按常规方法计算

原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣

解法2：简便计算，先求其倒数

原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=

﹣20+3﹣5+12=﹣10

故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣

再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（

﹣+﹣）．

【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；

观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒

数即可．

【解答】解：解法1，

（﹣）÷（﹣+﹣）

=﹣÷[+﹣（+）]

=﹣÷[﹣]

=﹣÷

=﹣；

解法2，原式的倒数为：

（﹣+﹣）÷（﹣）

=（﹣+﹣）×（﹣56）

第24页（共39页）

=﹣×56+×56﹣×56+×56

=﹣21+12﹣28+16

=﹣21，

故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二

种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．

25．（2016秋•东莞市期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足

x※y=xy+1．

（1）求2※4的值；

（2）求（1※4）※（﹣2）的值；

（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比

较它们的运算结果：□※○和○※□；

（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．

【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．

【解答】解：（1）2※4=2×4+1=9；

（2）（1※4）※（﹣2）=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；

（3）（﹣1）※5=﹣1×5+1=﹣4，

5※（﹣1）=5×（﹣1）+1=﹣4；

（4）∵a※（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．

∴a※（b+c）+1=a※b+a※c．

【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规

律．

26．（2014秋•朝阳区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求

+m2﹣3cd的值．

【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1可得a+b=0，

cd=1，代入可得出答案．

第25页（共39页）

【解答】解：由题意得：a+b=0，cd=1，m2=4，

原式=m2﹣3=4﹣3=1．

【点评】本题考查了倒数和相反数的知识，难度不大，注意细心运算．

27．（2016秋•东台市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，

a+b＜0，c﹣a＞0．

（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．

【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；

（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．

【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，

所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；

故答案为：＜，＜，＞；

（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|

=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）

=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a

=﹣2b．

【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c

的正负情况是解题的关键．

28．（2016秋•镜湖区校级期中）（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a

﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a

﹣b|；

第26页（共39页）

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣

a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a

﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之

间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那

么x为1或﹣3；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．

④当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．

【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；

②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；

③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么

x应在﹣1和3之间的线段上．

④分三种情况讨论即可求得．

【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4；

②|x﹣（﹣1）|=|x+1|，

如果AB=2，则x+1=±2，

解得x=1或﹣3；

③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，

所以﹣1≤x≤2．

④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，

若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，

第27页（共39页）

若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，

所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．

故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．

【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差

的绝对值．

29．（2016•河北）

请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：

（1）999×（﹣15）

（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．

【分析】（1）将式子变形为（1000﹣1）×（﹣15），再根据乘法分配律计算即可

求解；

（2）根据乘法分配律计算即可求解．

【解答】解：（1）999×（﹣15）

=（1000﹣1）×（﹣15）

=1000×（﹣15）+15

=﹣15000+15

=﹣14985；

（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18

=999×（118﹣﹣18）

=999×100

=99900

【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，

最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括

号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过

第28页（共39页）

程得到简化．

30．（2015秋•古田县校级期末）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差

的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请

你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|．

（3）如果|x﹣2|=5，则x=7或﹣3．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的

距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数

是﹣3、﹣2、﹣1、0、1．

（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，

直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【分析】（1）根据距离公式即可解答；

（2）利用距离公式求解即可；

（3）利用绝对值求解即可；

（4）利用绝对值及数轴求解即可；

（5）根据数轴及绝对值，即可解答．

【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，

故答案为：7；

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣

2|；

（3）∵|x﹣2|=5，

∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，

解得：x=7或x=﹣3，

故答案为：7或﹣3；

（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距

离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，

第29页（共39页）

∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，

故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；

（5）有最小值是3．

【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，

取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正

负性．

31．（2015•宣城模拟）阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014

解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得

2S=2+22+23+24+…+22014+22015②

将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1

请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）

【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式

相减，变形即可求出所求式子的值；

（2）同理即可得到所求式子的值．

【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，

将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+210+211，

将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，

则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；

（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，

两边同时乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，

②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），

则1+3+32+33+34+…+（3n+1﹣1）．

【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的技巧是解本题的关键．

32．（2013秋•延庆县期末）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的

问题：

“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2，最小

第30页（共39页）

值是3”．

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这

个问题．”

他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2

时，值最小为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是

4≤x≤6，最小值是8．

（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答

过程．

【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；

（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．

【解答】解：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x

的取值范围是4≤x≤6，最小值是8；

（2）当x≥﹣2，时y=﹣2x，当x=﹣2时，y最大=4；

当﹣4≤x≤﹣2时，y=6x+16，当x﹣2时，y最大=4；

当x≤﹣4，时y=2x，当x=﹣4时，y最大=﹣8，

所以x=﹣2时，y有最大值y=4．

【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨

论是解题关键．

33．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a

﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a

﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣

第31页（共39页）

a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a

﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之

间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那

么x为1或﹣3；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．

④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运

用绝对值即可求任意两点间的距离．

③根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的

取值范围．

④根据题意分三种情况：当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤2时，当x＞2时，分别求出

方程的解即可．

【解答】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；

数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；

数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，

那么x为1或﹣3．

③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，

∴x+1≥0，x﹣2≤0，

∴﹣1≤x≤2．

第32页（共39页）

④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；

当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；

当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．

故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，

体现了数形结合的优点．

34．（2015秋•南江县校级期中）计算：（×）×（×）×（×）×…

×（×）×（×）．

【分析】利用去掉括号找出算式的规律求解即可．

【解答】解：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（

×）

=××××××…××××

=×

=．

【点评】本题主要考查了有理数的乘法，找出算式的规律是解题的关键．

35．（2014秋•沧州期末）小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，

继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后

回到家．

（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，

你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？

（2）小彬家距中心广场多远？

第33页（共39页）

（3）小明一共跑了多少千米？

【分析】（1）根据题意画出即可；

（2）计算2+1即可求出答案；

（3）求出每个数的绝对值，相加即可求出答案．

【解答】（1）解：能，如图：

（2）解：2+|﹣1|=3，

答：小彬家距中心广场3千米．

（3）解：|2|+|1.5|+|4.5|+|1|=9，

答：小明一共跑了9千米．

【点评】本题考查了有理数的加减运算，正数和负数，绝对值等知识点的应用，

进而此题的关键是能根据题意列出算式，题目比较典型，难度适中，用的数学思

想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题，用数学知识来解决．

36．（2015秋•浠水县期末）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，

请回答问题

（1）请直接写出a、b、c的值．a=﹣1，b=1，c=5

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点

P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|

（请写出化简过程）

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1

第34页（共39页）

个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5

个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为

BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变

化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，

几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；

（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣1，x+5的符号，然后根据绝对值的意义即可

化简；

（3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，BC的变化情况，即可确定AB﹣BC

的值．

【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，

∴b=1．

根据题意得：，

∴a=﹣1，b=1，c=5；

（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，

则：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|

=x+1﹣（1﹣x）+2（x+5）

=x+1﹣1+x+2x+10

=4x+10；

当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0．

∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|=x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）

=x+1﹣x+1+2x+10

=2x+12；

（3）不变．

∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B每秒2个单位长度向右运动，

∴A，B每秒钟增加3个单位长度；

∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，

∴B，C每秒钟增加3个单位长度．

∴BC﹣AB=2，BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变．

第35页（共39页）

【点评】本题考查了数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键．

37．（2015•芜湖三模）阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．

解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：

2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1

请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．

【分析】设S=1+3+32+33+…+32014，则3S=3+32+33+…+32014+32015，先减即可求出答

案．

【解答】解：∵设S=1+3+32+33+…+32014，则3S=3+32+33+…+32014+32015，

∴2S=32015﹣1，

∴．

【点评】本题考查了有理数的乘方、整式的混合运算的应用，主要考查学生的计

算能力和理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．

38．计算：（1）；

（2）﹣24+3﹣16﹣5；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

第36页（共39页）

（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．

【分析】（1）（2）（5）（8）可直接按照有理数的混合运算进行；

（3）（7）（9）（10）（11）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加

减，有括号的先算括号里面的；

（4）（6）可利用分配律计算；

（12）可利用结合律进行运算，最后得出结果．

【解答】解：（1）原式=﹣+﹣=﹣=3﹣6=﹣3；

（2）原式=﹣21﹣16﹣5=﹣37﹣5=﹣42；

（3）原式=﹣8××=﹣8；

（4）原式=×8﹣×﹣×=6﹣1﹣=；

（5）原式=﹣×﹣8÷2=﹣2﹣4=﹣6；

（6）原式=×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）=﹣8+9﹣2=1﹣2=﹣1；

（7）原式=﹣9×﹣[25×（﹣）﹣240×（﹣）×﹣2]

=﹣3﹣（﹣15+15﹣2）=﹣3+2=﹣1；

（8）原式=×（﹣）﹣×（﹣）=﹣1+1=0；

（9）原式=﹣1﹣××（2﹣9）=﹣1﹣×（﹣7）=﹣1+=；

（10）原式=﹣9﹣125×﹣18÷9=﹣9﹣20﹣2=﹣31；

（11）原式=﹣1﹣（﹣）×﹣8=﹣1+2﹣8=﹣7；

（12）原式=（37.15﹣47.65）×2﹣10.5×7

=﹣10.5×﹣10.5×

=﹣10.5×（+）

=﹣10.5×10

=﹣105．

【点评】本题考查的是有理数的运算．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算

（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减

第37页（共39页）

法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；

有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．

39．（2014秋•沙坪坝区期中）1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结

论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数．

现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？

观察下面三个特殊的等式

1×2=（1×2×3﹣0×1×2）

2×3=（2×3×4﹣1×2×3）

3×4=（3×4×5﹣2×3×4）

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20

读完这段材料，请你思考后回答：

（1）直接写出下列各式的计算结果：

①1×2+2×3+3×4+…10×11=440

②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=n（n+1）（n+2）

（2）探究并计算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）

（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=4290．

【分析】（1）观察已知的三个等式，得出一般性的规律即可，

（2）由（1）总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果．

【解答】解：（1）直接写出下列各式的计算结果：

①1×2+2×3+3×4+…10×11=440，

②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=n（n+1）（n+2），

（2）探究并计算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）

第38页（共39页）

（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=4290．

故答案为：440，n（n+1）（n+2），n（n+1）（n+2）（n+3），4290．

【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律

是解本题的关键．

40．（2015秋•昌江县校级期中）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向

右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，

已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．

（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的

数是4，A、B两点间的距离是7；

（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位

长度，那么终点B表示的数是1，A、B两点间的距离为2；

（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个

单位长度，那么终点B表示的数是﹣13，A、B两点间的距离是9；

（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左

移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多

少？

【分析】根据数轴得出终点B表示的数，求出A与B的距离，归纳总结得到规

律，得出一般结果即可．

【解答】解：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终

点B表示的数是4，A、B两点间的距离是7；

（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位

长度，那么终点B表示的数是1，A、B两点间的距离为2；

（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个

单位长度，那么终点B表示的数是﹣13，A、B两点间的距离是9；

（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左

第39页（共39页）

移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示m+n﹣p，A、B两点间的距离为|n

﹣p|．

故答案为：（1）4，7；（2）1，2；（3）﹣13，9

【点评】此题考查了数轴，弄清题中的规律是解本题的关键．