正五边形内角度数

一、选择题

1

．如图，//ABCD，40C，60A，则F的度数为（）

A

．

10°B

．

20°C

．

30°D

．

40°B

解析：

B

【分析】

利用平行线和三角形外角的性质即可求解．

【详解】

∵//ABCD，

∴60DEFA．

∵DEFCF，

∴604020FDEFC．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关

键．

2

．内角和为

720°

的多边形是（）．

A

．三角形

B

．四边形

C

．五边形

D

．六边形D

解析：

D

【分析】

根据多边形内角和的计算方法（

n-2

）

•180°

，即可求出边数．

【详解】

解：依题意有（

n-2

）

•180°=720°

，

解得

n=6

．

该多边形为六边形，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．

3

．如图，在ABC中，BC，D为BC边上的一点，点E在AC边上，

ADEAED，若10CDE，则BAD的度数为（）

A

．

20°B

．

15°C

．

10°D

．

30°A

解析：

A

【分析】

先根据三角形外角的性质得出

∠ADC=∠B+∠BAD

，

∠AED=∠C+∠EDC

，再根据

∠B=∠C

，

∠ADE=∠AED

即可得出结论．

【详解】

解：

∵∠ADC

是

△ABD

的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD

，

∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE

∵∠AED

是

△CDE

的外角，

∴∠AED=∠C+∠EDC

，

∵∠ADE=∠AED

，

∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC

，

∵∠B=∠C

，

∴∠BAD=2∠EDC

，

∵10CDE

∴∠BAD=20°

；

故选：

A

【点睛】

本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解

答此题的关键．

4

．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和

4

倍的新多边形，则原多边

形的边数为（）

A

．

9B

．

10C

．

11D

．以上均有可能D

解析：

D

【分析】

将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少

1

，不变，多

1

，利用内

角和公式求出内角的和与外角关系即可求出．

【详解】

如图将一个多边形纸片剪去一个内角

∠BCF

后，

多边形的边数和原多边形边数相同为

n

，

21804360n

，

n=10

，

如图将一个多边形纸片剪去一个内角

∠BCF

后，

多边形的边数比原多边形边数少

1

为

n-1

，

121804360n

，

n=11

，

如图将一个多边形纸片剪去一个内角

∠GCF

后，

多边形的边数比原多边形边数多

1

为

n+1

，

+121804360n

，

n=9

，

原多边形的边数为

9,10,11

．

故选择：

D

．

【点睛】

本题考查多边形剪去一个角问题，掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关

键．

5

．以下列各组线段为边，能组成三角形的是

()

A

．

1

，

2

，

3B

．

1

，

3

，

5C

．

2

，

3

，

4D

．

2

，

6

，

10C

解析：

C

【分析】

根据三角形三边关系逐一进行判断即可．

【详解】

A

、

1+2=3

，不能构成三角形，故不符合题意；

B

、

1+3=4

＜

5

，不能构成三角形，故不符合题意；

C

、

2+3=5>4

，可以构成三角形，故符合题意；

D

、

2+6=8

＜

10

，不能构成三角形，故不符合题意，

故选：

C

．

【点睛】

本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．

6

．下列长度（单位：

cm

）的三条线段能组成三角形的是（）

A

．

13

，

11

，

12B

．

3

，

2

，

1C

．

5

，

12

，

7D

．

5

，

13

，

5A

解析：

A

【分析】

根据三角形的三边关系

“

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

”

进行分析．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，

A

、

11+12

＞

13

，能组成三角形，符合题意；

B

、

1+2=3

，不能组成三角形，不符合题意；

C

、

5+7=12

，不能组成三角形，不符合题意；

D

、

5+5

＜

13

，不能组成三角形，不符合题意；

故选

A

．

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是

否大于第三个数．

7

．如图，线段BE是ABC的高的是

()

A

．

B

．

C

．

D

．D

解析：

D

【分析】

根据高的画法知，过点

B

作

AC

边上的高，垂足为

E

，其中线段

BE

是

△ABC

的高，再结合

图形进行判断．

【详解】

A

选项中，

BE⊥BC

，

BE

与

AC

不垂直，此选项错误；

B

选项中，

BE⊥AB

，

BE

与

AC

不垂直，此选项错误；

C

选项中，

BE⊥AB

，

BE

与

AC

不垂直，此选项错误；

D

选项中，

BE⊥AC

，

∴

线段

BE

是

△ABC

的高，此选项正确．

故选：

D

．

【点睛】

本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶

点与垂足之间的线段．

8

．如图，直线

//,65,30ABCDAE

，则

C

等于（）

A

．

30°B

．

35°C

．

40°D

．

45°B

解析：

B

【分析】

根据平行线和三角形外角的性质即可求出

C

的大小．

【详解】

如图，设

AE

和

CD

交于点

F

，

∵//ABCD，

∴65ADFE（两直线平行同位角相等），

∵DFE是

CEF△

的外角，

∴653035CDFEE．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查平行线和三角形外角的性质．熟练利用两个性质证明和求解是解答本题的关键．

9

．如图所示，ABC的边AC上的高是（）

A

．线段AEB

．线段BAC

．线段BDD

．线段DA

C

解析：

C

【分析】

根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角

形的高．

【详解】

A.

线段AE是

△ABC

的边

BC

上的高，故不符合题意；

B.

线段BA不是任何边上的高，故不符合题意；

C.

线段BD是

△ABC

的边

AC

边上的高，故符合题意；

D.

线段DA是

△ABD

的边

BD

上的高，故不符合题意；

故选

C

．

【点睛】

本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．

10

．如图，在ABC中，70B，

D

为BC上的一点，若ADCx，则

x

的度数可

能为（）

A

．

30°B

．

60°C

．

70°D

．

80°D

解析：

D

【分析】

根据三角形的外角的性质得到

∠ADC=∠B+∠BAD

，得到

x

＞

70°

，根据平角的概念得到

x

＜

180°

，计算后进行判断得到答案．

【详解】

解：

∵∠ADC=∠B+∠BAD

，

∴x

＞

70°

，

又

x

＜

180°

，

∴x

的度数可能为

80°

，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和是解题的关键．

二、填空题

11

．已知ABC的三边长分别为

a

，b，

c

，则

abcbcacab______

．【分析】三角形三边满足的条件是：两

边和大于第三边两边的差小于第三边根据此条件来确定绝对值内的式子的正负

从而化简计算即可【详解】解：

∵△ABC

的三边长分别是

abc∴

必须满足两边之

和大于第三边两边的差小

解析：3cba

【分析】

三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定

绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．

【详解】

解：

∵△ABC

的三边长分别是

a

、

b

、

c

，

∴

必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，

∴

0,0,0abcbcacab

，

∴abcbcacab

=

()()()abcbcacab

=++++abcbcacab

=3cba

故答案为：3cba．

【点睛】

此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子

的正负．

12

．在

△ABC

中，

∠A

是钝角，

∠B=30°

，设

∠C

的度数是

α

，则

α

的取值范围是

___________【分析】依据三角形的内角和定理表示

∠A

根据它是钝角列出不等

式组求解即可【详解】解：

∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-30°-α=150°-α∵∠A

是钝角

∴

即故答案为：【点睛】本题考查解不

解析：

3060

【分析】

依据三角形的内角和定理表示

∠A

，根据它是钝角列出不等式组，求解即可．

【详解】

解：

∵∠A+∠B+∠C=180°

，

∴∠A=180°-30°-α=150°-α

．

∵∠A

是钝角，

∴90150180，即3060，

故答案为：3060．

【点睛】

本题考查解不等式组，三角形内角和定理．能正确表示

∠A

及利用它的大小关系列出不等

式是解题关键．

13

．设三角形三内角的度数分别为,,xyz，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的

2

倍、那我们称数对

(,)()yzyz

是

x

的和谐数对，当150x时，对应的和谐数对有一

个，它为

(10,20)

；当66x时，对应的和谐数对有二个，它们是

__________

．当对应的

和谐数对

(,)yz

有三个时，请写出此时

x

的范围

_______

．（

3876

）（

3381

）【分析】

根据和谐数对的定义求出当

x=66

时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨

论从而得出结论【详解】解：当时

180-66=114

则

114÷3=3838×2=76

此时和谐数

对

解析：（

38

，

76

），（

33

，

81

）060x

【分析】

根据

“

和谐数对

”

的定义求出当

x=66

时的两组数对；再分当

060x

时，当

60120x

时，当

120180x

时，三种情况讨论，从而得出结论．

【详解】

解：当66x时，

180-66=114

，

则

114÷3=38

，

38×2=76

，此时和谐数对为（

38

，

76

），

或

66÷2=33

，

114-33=81

，此时和谐数对为（

33

，

81

），

若对应的和谐数对

(,)yz

有三个，

当

060x

时，它的和谐数对有

(1803,2)xx

，

3

(,180)

22

xx



，

180

(

3

x

，

2(180)

)

3

x

；

当

60120x

时，它的和谐数对有

3

(,180)

22

xx



，

180

(

3

x

，

2(180)

)

3

x

，

当

120180x

时，它的和谐数对有

180

(

3

x

，

2(180)

)

3

x

，



对应的和谐数对

(,)yz

有三个时，此时

x

的范围是

060x

，

故答案为：（

38

，

76

），（

33

，

81

）；

060x

．

【点睛】

本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分

类讨论的数学思想解答问题．

14

．若

,,abc

是

△ABC

的三边长

,

试化简

abcacb=__________

．2b

【分

析】先根据三角形三边关系确定

>0<0

再去绝对值化简即可【详解】

∵

是

△ABC

的三边长

∴>0<0=+=2b

故答案填：

2b

【点睛】本题主要考查三角形三边关系绝

对值的性质和化简问题根据三角形三边关系

解析：

2b

【分析】

先根据三角形三边关系，确定abc>0

，

()abc

<0

，再去绝对值化简即可．

【详解】

∵

,,abc

是

△ABC

的三边长

∴abc>0

，

()abc

<0

，

abcacb

=abc+bca

=2b

，

故答案填：

2b

．

【点睛】

本题主要考查三角形三边关系、绝对值的性质和化简问题，根据三角形三边关系定理正确

去绝对值是解决本题的关键．

15

．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147，

220，那么3__________

．

35°

【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角

度数再根据三角形的外角和为

360°

即可求解【详解】

∵

等边三角形的内角度数

是

60°

正方形的度数是

90°

正五边形的度数是

∴∠3=360°-60°-90°

解析：

35°

【分析】

先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为

360°

，即可

求解．

【详解】

∵

等边三角形的内角度数是

60°

，正方形的度数是

90°

，正五边形的度数是

(52)180

108

5





，

∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°

，

故答案是：

35°

【点睛】

本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题

的关键．

16

．如图，点

P

是三角形三条角平分线的交点，若

∠BPC=100，则

∠BAC=_________

．

【分析】先根据三角形的内角和求出

∠PBC+∠PCB=

故可

得到

∠ABC+∠ACB=

即可得出答案【详解】在

△BPC

中

∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P

是三角形三条角平分线的交点

∴∠ABC=2∠PBC∠

解析：

20

【分析】

先根据三角形的内角和求出

∠PBC+∠PCB=80，故可得到

∠ABC+∠ACB=160，即可得出

答案．

【详解】

在

△BPC

中，

∠BPC=100，

∴∠PBC+∠PCB=80，

∵P

是三角形三条角平分线的交点，

∴∠ABC=2∠PBC

，

∠ACB=2∠PCB

，

∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160，

∴∠BAC=

180()20ABCACB

，

故答案为：20．

【点睛】

此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关

键．

17

．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有

m

块正三角形，

n

块正

六边形，则

m+n

＝

______

．4

或

5

【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小

然后列出关于

mn

的二元一次方程然后确定

mn

的值最后求

m+n

即可【详解】

解：

∵

正三边形和正六边形内角分别为

60°120°∴60°m+120°n=360°

解析：

4

或

5

【分析】

先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于

m

、

n

的二元一次方程，然后确定

m

、

n

的值，最后求

m+n

即可．

【详解】

解：

∵

正三边形和正六边形内角分别为

60°

、

120°

∴60°m+120°n=360°

，即

m+2n=6

∴

当

n=1

时，

m=4

；当

n=2

时，

m=2

；

∴m+n=5

或

m+n=4

．

故答案为：

4

或

5

．

【点睛】

本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否

为

360°

成为解答本题的关键．

18

．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散

步，已知图中的

∠1=95，王老师沿公园边由

A

点经

B→C→D→E

，一直到

F

时，他在行程

中共转过了

_____

度．

275

【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的

外角和减去

∠1

的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每

次转过的角度之和为该五边形的外角和减去

∠1

的外角度数

∵

多边形的外角和

为

360°∴

解析：

275

【分析】

王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去

∠1

的外角度数，由多边形的外角和

即可求解．

【详解】

解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去

∠1

的外角度数，

∵

多边形的外角和为

360°

，

∴

他在行程中共转过了36018095275

，

故答案为：

275

．

【点睛】

本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去

∠1

的外角度数是解题的关键．

19

．已知//ABCD，点P是平面内一点，若

30,20BPDPBA

，则

CDP___________

度．

10

或

50

【分析】分点

P

在

AB

的上方点

P

在

AB

与

CD

的中间点

P

在

CD

的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质

求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（

1

）如图点

P

在

AB

的上方；

（

2

）如图

解析：

10

或

50

【分析】

分点

P

在

AB

的上方、点

P

在

AB

与

CD

的中间、点

P

在

CD

的下方三种情况，再分别根据

平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．

【详解】

由题意，分以下三种情况：

（

1

）如图，点

P

在

AB

的上方，

30,20BPDPBA

，

150BPDPBA，

//ABCD，

150CDP；

（

2

）如图，点

P

在

AB

与

CD

的中间，

延长

BP

，交

CD

于点

E

，

//,20ABCDPBA

，

20BEDPBA，

30BPD，

10CDPBPDBED；

（

3

）如图，点

P

在

CD

的下方，

//,20ABCDPBA

，

120PBA，

30BPD，

13030CDPBPDCDP与120不符，

即点

P

不可能在

CD

的下方；

综上，10CDP或50CDP，

故答案为：

10

或

50

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关

键．

20

．如图，若//ABCD，

BF

平分ABE，

DF

平分CDE，90BED，则

BFD______

．

45°

【分析】如图作射线

BF

与射线

BE

根据平行线的性质和

三角形的外角性质可得

∠ABE+∠EDC

＝

90°

然后根据角平分线的定义和三角形的

外角性质即可求出答案【详解】解：如图作射线

BF

与射线

BE∵AB∥

解析：

45°

【分析】

如图，作射线

BF

与射线

BE

，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得

∠ABE+∠EDC

＝

90°

，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案．

【详解】

解：如图，作射线

BF

与射线

BE

，

∵AB∥CD

，

∴∠ABE

＝

∠4

，

∠1

＝

∠2

，

∵∠BED

＝

90°

，

∠BED

＝

∠4+∠EDC

，

∴∠ABE+∠EDC

＝

90°

，

∵BF

平分

∠ABE

，

DF

平分

∠CDE

，

∴∠1+∠3

＝

1

2

∠ABE+

1

2

∠EDC

＝

45°

，

∵∠5

＝

∠2+∠3

，

∴∠5

＝

∠1+∠3

＝

45°

，即

∠BFD

＝

45°

，

故答案为：

45°

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌

握上述知识是解题的关键．

三、解答题

21

．阅读下面内容，并解答问题

在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同

旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．

已知：如图

1

，//ABCD，直线EF分别交AB，CD于点

E

，

F

，BEF的平分线与

DFE的平分线交于点

G

．

（

1

）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：

“__________”

，并写出证明过程；

（

2

）请从下列

A

、

B

两题中任选一题作答，我选择

__________

题，并写出解答过程．

A

．在图

1

的基础上，分别作BEG的平分线与DFG的平分线交于点

M

，得到图

2

，

求EMF的度数．

B

．如图

3

，//ABCD，直线EF分别交AB，CD于点

E

，

F

．点

O

在直线AB，CD之

间，且在直线EF

右侧，BEO的平分线与DFO的平分线交于点

P

，请猜想EOF与

EPF满足的数量关系，并证明它．

解析：（

1

）

EG⊥FG

，证明见解析；（

2

）

A

．

45

；

B.2EOFEPF（在

A

、

B

两题中

任选一题即可）

【分析】

（

1

）由

AB∥CD

，可知

∠BEF

与

∠DFE

互补，由角平分线的定义可得

90GEFGFE，由三角形内角和定理可得

∠G

＝90，则EGFG；

（

2

）

A

．由（

1

）可知90BEGDFG，根据角平分线的定义可得

45MEGMFG,

故135MEFMFE，根据三角形的内角和即可求出

EMF=45；

B

．设OEF，

OFE

，故EOF=

180

，再得到

180BEODFO

，根据角平分线的定义可得

1

90

1

22

PEOPFO，则

11

90

22

PEFPFE，再求出

EPF，即可比较得到结论．

【详解】

解：（

1

）由题意可得，求证：

“EG⊥FG”

，证明过程如下

∵//ABCD

∴∠BEF

＋

∠EFD=180°

EG平分BEF，FG平分DFE，

1

2

GEFBEF

，

1

2

GFEDFE

，

1111

()18090

2222

GEFGFEBEFDFEBEFDFE

．

在EFG中，180GEFGFEG，

180()1809090GGEFGFE

，

EGFG．

（

2

）

A

．由（

1

）可知=90BEGDFGGEFGFE，

∵BEG的平分线与DFG的平分线交于点M

∴∠MEG=

1

2

∠BEG

，

∠MFG=

1

2

∠DFG

∴1111

9045

2222

MEGMFGBEGDFGBEGDFG

则4591350MEFMFE，

∴EMF=180135=45

故答案为：

A

，

45

；

B.

设OEF，

OFE

，

∴EOF=

180

，

∵//ABCD

∴∠BEF

＋

∠EFD=180°

则

180BEODFO

∵BEO的平分线与DFO的平分线交于点P

∴

1

90

1

22

PEOPFO,

∴

1111

9090

2222

PEFPFE，

∴EPF=

11

18090

22











=

1

2

1

90

2



，

∵EOF=

11

180290

22











，

故2EOFEPF

故答案为：

B

，2EOFEPF．（在

A

、

B

两题中任选一题即可）

【点睛】

本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质

和角平分线的定义是解题的关键．

22

．如图，在ABC中，

D

是

AB

上一点，且ADAC，连结

CD

．请在下面空格中用

“>”

，

“<”

或

“=”

填空．

（

1

）

AB________ACBC；

（

2

）

2AD________CD

；

（

3

）BDC∠________A．

解析：（

1

）

<

；（

2

）

>

；（

3

）

>

【分析】

（

1

）根据三角形的三边关系解答；

（

2

）根据三角形的三边关系解答；

（

3

）根据三角形的外角性质解答．

【详解】

（

1

）在

△ABC

中，

AB

，

故答案为：

<

；

（

2

）在

△ACD

中，

AD+AC>CD,

∵ADAC,

∴2AD>CD

，

故答案为：

>

；

（

3

）

∵∠BDC

是

△ACD

的外角，

∴∠BDC>∠A

，

故答案为：

>

．

【点睛】

此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的外角性质三角形的外角大于

每一个与它不相邻的内角．

23

．如图

1

，

△ABC

中，

AD

是

∠BAC

的角平分线，

AE⊥BC

于点

E

．

（

1

）若

∠C=80°

，

∠B=40°

，求

∠DAE

的度数；

（

2

）若

∠C

＞

∠B

，试说明

∠DAE=

1

2

(∠C-∠B)

；

（

3

）如图

2

，若将点

A

在

AD

上移动到

A′

处，

A′E⊥BC

于点

E

．此时

∠DAE

变成

∠DA′E

，请

直接回答：（

2

）中的结论还正确吗？

解析：（

1

）

∠DAE=15°

；（

2

）见解析；（

3

）正确．

【分析】

（

1

）先根据三角形内角和定理求出

∠BAC

的度数，再根据角平分线的定义求得

∠BAD

的度

数，在

△ABE

中，利用直角三角形的性质求出

∠BAE

的度数，从而可得

∠DAE

的度数．

（

2

）结合第（

1

）小题的计算过程进行证明即可．

（

3

）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用

∠B

和

∠C

表示出

∠A′DE

，再

根据三角形的内角和定理可证明

∠DA′E=

1

2

(∠C-∠B)

．

【详解】

（

1

）

∵∠C=80°

，

∠B=40°

，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°

，

∵AD

是

∠BAC

的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=30°

，

∵AE⊥BC

，

∴∠AEC=90°

，

∴∠BAE=50°

，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=20°

；

（

2

）理由：

∵AD

是

∠BAC

的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

(180°-∠B-∠C)=90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C

，

∵AE⊥BC

，

∴∠AEC=90°

，

∴∠BAE=90°-∠B

，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD

=(90°-∠B)-(90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C)

=

1

2

∠C-

1

2

∠B

=

1

2

(∠C-∠B)

；

（

3

）（

2

）中的结论仍正确．

∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+

1

2

∠BAC=∠B+

1

2

(180°-∠B-∠C)=90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C

；

在

△DA′E

中，

∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE

=180°-90°-(90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C)

=

1

2

(∠C-∠B)

．

【点睛】

本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注

意综合运用三角形的有关概念是解题关键．

24

．1

若

n

边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数

n

．

2

已知

a

，b，

c

为三角形三边的长，化简：

abcbca

．

解析：1

8

；2

2c

．

【分析】

（

1

）根据多边形的内角和与外角和公式列出方程即可求解；

（

2

）根据三角形的三边关系可得acb，bca，再根据化简绝对值的方法即可求

解．

【详解】

解：1

由题意得：18023603n

，

解得：

8n

．

2∵

a

，b，

c

为三角形三边的长，

∴acb，bca，

∴

abcbca2abcbcabcaacbc

．

【点睛】

此题主要考查多边形的内角和与外角和、三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知多

边形的性质及去绝对值的方法．

25

．如图，已知

BP

是

△ABC

的外角

∠ABD

的平分线，延长

CA

交

BP

于点

P

．射线

CE

平分

∠ACB

交

BP

于点

E

．

（

1

）若

∠BAC=80°

，求

∠PEC

的度数；

（

2

）若

∠P=20°

，分析

∠BAC

与

∠ACB

的度数之差是否为定值？

（

3

）过点

C

作

CF⊥CE

交直线

BP

于点

F

．设

∠BAC=α

，求

∠BFC

的度数（用含

α

的式子表

示）．

解析：（

1

）

140°

；（

2

）是定值；（

3

）

∠BFC=90°

1

2

α

【分析】

（

1

）首先证明

∠CEB

1

2



∠CAB

，求出

∠CEB

即可解决问题．

（

2

）利用三角形的外角的性质解决问题即可．

（

3

）利用是菱形内角和定理以及（

1

）中结论解决问题即可．

【详解】

由题意，可以假设

∠ACE=∠ECB=x

，

∠ABP=∠PBD=y

．

（

1

）由三角形的外角的性质可知：

2yBAC2x

yCEBx











，

可得

∠CEB

1

2



∠CAB=40°

，

∴∠PEC=180°-40°=140°

；

（

2

）由三角形的外角的性质可知，

∠BAC=∠P+y

，

y=∠P+2x

，

∴∠BAC=2∠P+2x

，

∴∠BAC-∠ACB=∠BAC-2x=2∠P=40°

，

∴∠BAC-∠ACB=40°

，是定值；

（

3

）

∵CF⊥CE

，

∴∠ECF=90°

，

由（

1

）得：

∠CEB

1

2



∠CAB

，

∴∠BFC=90°-∠CEB=90°

1

2

∠CAB=90°

1

2

α

．

【点评】

本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会利用参数构

建方程组解决问题，属于中考常考题型．

26

．如图

BC

平分

∠ABE

，

DC

平分

∠ADE

，求证：

∠E+∠A=2∠C

解析：证明见解析．

【分析】

如图（见解析），先根据角平分线的定义可得

12,34

，再根据三角形的外角

性质可得

13,42ACEC

，然后两式相加化简即可得．

【详解】

如图，

BC

平分ABE，

DC

平分ADE，

12,34

，

由三角形的外角性质得：

153

462

AC

EC











，

即

13

42

AC

EC











，

两式相加得：14223AEC，

14214AEC，

2EAC．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是

解题关键．

27

．如图，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，

60BAC

，70C．求EAD和BOE的度数．

解析：10EAD，55BOE

【分析】

根据三角形内角和定理求出

∠BAC=180°-60°-70°=50°

，再由

AE

是角平分线，求出

∠EAC=

1

2

∠BAC=30°

，由

AD

是高，求出

∠CAD=90°-∠C=20°

，最后即可求出

∠EAD=∠EAC-

∠CAD=10°

；根据角平分线的性质，得

∠OAB=

1

2

∠BAC

，

∠OBA=

1

2

∠ABC

，所以

∠BOE=∠OAB+∠OBA=

1

2

（

∠BAC+∠ABC

）

=

1

2

（

180°-∠C

）

=

1

2

×

（

180°-70°

）

=55°

．

【详解】

解：

∠BAC=60°

，

∠C=70°

∴∠ABC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°-70°=50°

，

∵AE

是角平分线，

∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°

，

∵AD

是高，

∴∠ADC=90°

，

∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°

，

∴∠DAE=∠EAC−∠CAD=30°−20°=10°

；

∵AE

，

BF

是角平分线，

∴∠OAB=

1

2

∠BAC,∠OBA=

1

2

∠ABC

，

∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=

1

2

(∠BAC+∠ABC)=

1

2

(180°−∠C)=12×(180°−70°)=55°

．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件．

28

．如果一个多边形的内角和是外角和的

3

倍还多

180°

，那么这个多边形的边数是多少．

解析：这个多边形的边数是

9

【分析】

多边形的内角和比外角和的

3

倍多

180°

，而多边形的外角和是

360°

，则内角和是

1260

度．

n

边形的内角和可以表示成（

n−2

）

•180°

，设这个多边形的边数是

n

，就得到方程，从

而求出边数．

【详解】

设这个多边形的边数为

n

，

根据题意，得（

n−2

）

•180

＝

360×3

＋

180

，

解得：

n

＝

9

．

则这个多边形的边数是

9

．

【点睛】

此题考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程

即可求解．