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第十七章多元函数微分学

一、证明题

1.证明函数



















0yx0,

0yx,

yx

yx

y)f(x,

22

22

22

2

在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.

2.证明函数





















0yx0,

0yx,

yx

1

)siny(x

y)f(x,

22

22

22

22

在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.

3.证明:若二元函数f在点p(x

0

,y

0

)的某邻域U(p)内的偏导函数f

x

与f

y

有界,则f在U(p)内

连续.

4.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有

xy1

yx

arctg





≈x+y.

5.试证:

(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;

(2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.

6.设Z=22yxf

y



,其中f为可微函数,验证

x

1

x

Z





+

y

1

y

Z





=

2y

Z

.

7.设Z=siny+f(sinx-siny),其中f为可微函数,证明:

x

Z





cx+

y

Z





cy=1.

8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换

x=ucosθ-vsinθ,y=usinθ+vcosθ

之下.2

x

f+2

y

f

是一个形式不变量,即若

g(u,v)=f(ucosθ-vsinθ,usinθ+vcosθ).

则必有2

x

f+2

y

f

=2

u

g+2

v

g.(其中旋转角θ是常数)

9.设f(u)是可微函数,

F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),

试求:F

x

(0,0)与F

g

(0,0)

10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式

F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0)

则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次

齐次函数的充要条件是:

z,y,xxF

x

+z,y,xyF

y

+z,y,xZF

x

=KF(x,y,z).

并证明:Z=xy

yx

xy

22

2





为二次齐次函数.

11..设f(x,y,z)具有性质fZt,yt,txmk=ftn(x,y,z)(t>0)

证明:

(1)f(x,y,z)=











mk

n

x

Z

,

x

y

,1fx;

(2)z,y,xxfx+z,y,xkyf

y

+z,y,xmzf

z

=nf(x,y,z).

12.设由行列式表示的函数

D(t)=





tatata

tatata

tatata

nnn21n

2n2221

1n1211









其中ta

ij

(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明



dt

tdD

=



n

1k





tatata

tatata

tatata

nnn21n

knk21k

1n1211















13.证明:

(1)grad(u+c)=gradu(c为常数);

(2)graqd(αu+βv)=αgradu+βgradv(α,β为常数);

(3)grsduv=ugradv+vgrsdu;

(4)gradf(u)=

f



(u)gradu.

14.设f(x,y)可微,L

1

与L

2

是R2上的一组线性无关向量,试证明;若0,yxf

i

(i=1,2)则f(x,y)

≡常数.

15.通过对F(x,y)=sinxcosy施用中值定理,证明对某(0,1),有

4

3

=

6

cos

3

cos

3



6

sin

3

sin

6



.

16.证明:函数

u=



ta4

bx

2

2

e

ta2

1





(a,b为常数)

满足热传导方程:

t

u





=

2

2

2

x

u

a





17.证明:函数u=22byaxln(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:

2

2

x

u





+

2

2

y

u





=0.

18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:

2

2

x

u





+

2

2

y

u





=0.则函数V=f(

22yx

x



,

22yx

y



)也满足此方程.

19.设函数u=yx,证明:







x

u

yx

u2





=





y

u

2

2

x

u





.

20.设f

x

,f

y

和f

yx

在点(x

0

,y

0

)的某领域内存在,f

yx

在点(x

0

,y

0

)连续,证明f

xy

(x

0

,y

0

)也存在,且

f

xy

(x

0

,y

0

)=f

yx

(x

0

,y

0

),

21.设f

x

,f

y

在点(x

0

,y

0

)的某邻域内存在且在点(x

0

,y

0

)可微,则有

f

xy

(x

0

,y

0

)=f

yx

(x

0

,y

0

)

二、计算题

1.求下列函数的偏导数:

(1)Z=x2y;(2)Z=ycosx;(3)Z=

22yx

1



;

(4)Z=ln(x+y2);(5)Z=exy;(6)Z=arctg

x

y

;

(7)Z=xyesin(xy);(8)u=

z

x

y

Z

x

y

;

(9)u=(xy)z;(10)u=zyx.

2.设f(x,y)=x+(y-1)arcsin

y

x

;求f

x

(x,1).

3.设



















0yx0,

0yx,

yx

1

ysin

y)f(x,

22

22

22

考察函数f在原点(0,0)的偏导数.

4.证明函数Z=22yx

在点(0,0)连续但偏导数不存在.

5.考察函数



















0yx0,

0yx,

yx

1

xysin

y)f(x,

22

22

22

在点(0,0)处的可微性.

6.求下列函数在给定点的全微分;

(1)Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1);

(2)Z=

22yx

x



在点(1,0),(0,1).

7.求下列函数的全微分;

(1)Z=ysin(x+y);

(2)u=xeyx+e-z+y

8.求曲面Z=arctg

x

y

在点











4

,1,1



处的切平面方程和法线方程.

9.求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.

10.在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程

和法线方程.

11.计算近似值:

(1)1.002×2.0032×3.0043;

(2)sin29°×tg46°.

12.设园台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm高h=40cm.若R,r,h分别增加

3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.

13.设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续

(1)若在intD内有f

x

≡0,试问f在D上有何特性?

(2)若在intD内有f

x

=f

y

≡0,f又怎样?

(3)在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?

14.求曲面Z=

4

yx22

与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.

15.测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误

差限为0.018,求由公式d=

v

w

算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.

16.求下列复合函数的偏导数或导数:

(1)设Z=arctg(xy),y=ex,求

x

dZ



;

(2)设Z=xy

yx

22

22

e

xy

yx

,求

x

Z





,

y

Z





;

(3)设Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求

dt

Z

;

(4)设Z=x2lny,x=

v

u

,y=3u-2v,求

u

Z





，

v

Z





；

(5)设u=f(x+y,xy),求

x

u





,

y

u





;

(6)设u=f

















Z

y

,

y

x

,求

x

u





,

y

u





,

Z

u





.

17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.

18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.

19.求函数u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,

3

z

)处的梯度以及它们的模.

20.设函数u=ln











r

1

,其中r=222cz0yax

求u的梯度;并指出在空间哪些

点上成立等式

gradu

=1.

21设函数u=

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z

,求它在点(a,b,c)的梯度.

22.设r=222zyr,试求:

(1)gradr;(2)grad

r

1

.

23.设u=x3+y3+z3－3xyz,试问在怎样的点集上gradu分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴

(3)恒为零向量.

24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有f

L

(x,y)0,试问此函数f有何特征?

25.求下列函数的高阶偏导数:

(1)Z=x4+y4－4x2y2,所有二阶偏导数;

(2)Z=ex(cosy+xsiny),所有二阶偏导数;

(3)Z=xln(xy),

yx

z

2

3





,

2

3

yx

z





;

(4)u=xyzex+y+z,

rqp

zqp

zyx

u





;

(5)Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数;

(6)u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数；

(7)Z=f(x+y,xy,

y

x

),z

x

,z

xx

,Z

xy

.

26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:

(1)f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止);

(2)f(x,y)=

y

x

在点(1,1)(到三阶为止);

(3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);

(4)f(x,y)=2x2―xy―y2―6x―36+5在点(1,－2).

27.求下列函数的极值点:

(1)Z=3axy―x3―y3(a>0);

(2)Z=x2+5y2―6x+10y+6;

(3)Z=e2x(x+y2+2y).

28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.

(1)Z=22yx,2xy,x+4y2；

(2)Z=22yxyx,1yxy,x;

(3)Z=sinx+sing－sin(x+y),2yx,0xy,xy,x

29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.

30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y－16=0的距离平方和最小.

31.已知平面上n个点的坐标分别是



111

y,xA,

222

y,xA,…

nnn

y,xA.

试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.

32.设u=

222zyx

zyx

111

求(1)u

x

+u

y

+u

z

;(2)xu

x

+yu

x

+zu

z

;(3)u

xx

+u

yy

+u

zz

.

33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、

三、考研复习题

1.设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明

f

x

+f

y

+f

z

=(x+y+z)2.

2.求函数





















0yx0,

0yx,

yx

yx

y)f(x,

22

22

22

33

在原点的偏导数f

x

(0,0)与f

y

(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微

性.

3.设

1n

n

1n

2

1n

1

2

n

2

2

2

1

n21

xxx

xxx

xxx

111

u















证明:(1)







n

1k

k

0;

x

u

(2)









n

1k

k

k

u

2

1)n(n

x

u

x.

4.设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f(a+ht,b+kt)的n阶导数

kt)bht,f(a

y

k

x

h

dt

g(t)dn

n

n





























.

5.设

2

2

x

求

xkzhyg

yfxezd

zcybxa

z)y,(x,

















.

6.设

(z)h(z)h(z)h

(y)g(y)g(y)g

(x)f(x)f(x)f

z)y,Φ(x,

321

321

321



求

zyx

Φ3





.

7.设函数u=f(x,y)在R2上有u

xy

=0,试求u关于x,y的函数式.

8.设f在点p

0

(x

0

,y

0

)可微,且在p

0

给定了n个向量L

i

(i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为

n

2π

，证明







n

1i

0Li

0)(pf.

9.设f(x,y)为n次齐次函数,证明

1)fm(n1)n(nf

y

y

x

x

m































.

10.对于函数f(x,y)=sin

x

y

,试证

m

y

y

x

x



























f=0.