反函数性质

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y=arcsinx.

函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.

习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式

请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反

函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函

数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。

理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点

必须牢记

性质

根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1，1]，值域[－π/2，π/2]，

是单调递增函数

图像关于原点对称，是奇函数

所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈[-1，1]

导函数：

，导函数不能取|x|=1

，

反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x)arcsin（sinx)=x，x属于[0，π/2]

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arccosx

反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下

图。

就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a)=b，则arccos(b)=a；

它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1，1】。

由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0，π】，记作y=arccosx，我们称它叫

做反三角函数中的反余弦函数的主值，

arctanx

反三角函数中的反正切。意思为：tan(a)=b;等价于arctan(b)=a

定义域:{x∣x∈R},值域：y∈（-π/2,π/2)

计算性质：

tan(arctana)=a

arctan(-x)=-arctanx

arctanA+arctanB=arctan(A+B)/(1-AB)

arctanA-arctanB=arctan(A-B)/(1+AB)

反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x→0时，arctanx~x

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