球的体积和表面积公式

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球的表面积和体积

1．球的表面积公式:S球面

＝4πR2(R为球半径）2．球的体积公式：V球

＝错误!πR3（R为球半径）

球的表面积和体积的计算

过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12πcm2，试求此球的表面积．

若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面

积为π，试求此球的表面积和体积．

球的表面积及体积的应用

一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，

这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少？

圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两

个小球，则容器的水面将下降多少？

有关球的切、接问题

求棱长为a的正四面体P-ABC的外接球,内切球的体积．

有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正

方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．

基础训练

1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）

A.错误!B．1C．2D．3

2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．

3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48πcm2，试求此球的表面积

和体积．

4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为(）

A．3∶πB．2∶πC．1∶2πD．1∶3π

5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5,且它的8个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是（）

A．25πB．50πC．125πD．都不对

4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(）

A．RB．2RC．3RD．4R

6．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(）

A．πa2B。错误!πa2C.错误!πa2D．5πa2

7．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，

2

水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm。

提高训练．

1.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小

球的半径是（)

A．3或8B．8或11C．5或8D．3或11

2.已知、、是球的球面上三点，三棱锥的高为，且=60º，=2，=4，则球的表面积为()

A．B。C.D。

3。一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长为1，则该几何体外接球的表面积

为(）

A．B．

C．D．

4.将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（)

A.B。2+C.4+D.

5。某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）

A.5πB。12πC.20πD。8π

6。【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的

正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切）,则这个几何体的全面积是（)

A．18B．36C．45D．54

7.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角

三角形,直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，

则该球的表面积为()

A。B.C。D.

9。【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长

为1的正方形,则此四面体的外接球的表面积为()

A。B。C。D。

10。【全国高考新课标（I）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器

口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为（)

A、错误!cm3B、错误!cm3C、错误!cm3D、错误!cm3

11。矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是()

A.B。C。D。

12。在半径为R的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r的最大值为()

A.(错误!－1）RB。（错误!－2)RC.错误!RD。错误!R

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13。一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4,则该球的体积是。

14。三棱锥的四个顶点均在同一球面上,其中是正三角形，平面,,则该球的体积是.

15。一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积

是

16.四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，,，则该球的体积为_．

17。过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．

19。【改编自浙江高考题】已知球的面上四点A、B、C、D，,，，求球的体积。

20。【改编自山东高考题】在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，求三棱锥的外接球的

体积。

21。一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积.

22。球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过3个点的小圆的周长为,求这个球的半径．