微分和积分

微分与积分思想

【摘要】微分与积分是微积分中极其重要的两个数学思想，它们是数学理论与现

实的连接桥梁，关系着社会的进步与科技发展，它在天文学、力学、化学、生

物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，

有越来越广泛的应用，微积分的发展更有助于这些应用的不断发展。因此，

研究微分与积分具有重要意义。

【关键词】微分、积分、思想

一、微分与积分的意义

微分和积分是数学中极其摘要的两个数学模块，它们在数学分析和应用中起主

要作用。微分是对一个函数的微分，以求函数的微小变化，积分是函数对因变量

在某个取值范围内积累，当变化范围是有限时，称为定积分，当变化范围是无限

时，称为不定积分。如果把函数当成一杯水，微分就是将这杯水蒸发，得到成个

的水分子，从而了解其本质；而积分就是把有限或者无限杯水集中求其总量，比

如，定积分就是将有限杯水集中得到其体积，质量，作用，从而了解了解其具体

功效。

二、微分与积分的思想解释

微积分的诞生与发展共经历了三个时期：牛顿与莱布尼的以无穷小为基础的时

期；柯西的动态极限概念为基础的时期；威尔拉斯以静态的量为概念的基础时期。

这三个时期是微积分思想碰撞很激烈的时期，也是微积分得到较大突破的时期，

是研究的量变产生质变的时期。

庄子的文章“天下篇”中有这么一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。其

中就包含了微积分思想。在微积分中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描

述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎

样改变的。比如设函数y=f(x)在x

0

的邻域内有定义，x

0

及x0+Δx在此

区间内。如果函数的增量Δy=f(x

0

+Δx)−f(x

0

)可表示为Δy=AΔx

+o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无

穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x

0

相应于

自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。函数的微分是函数增量

的主要部分，且是Ax的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性描述

（△X→0）。

例1求

（1）分析：这个函数是无法通过代数变形求出结果的，它只能通过微分的

定义进行剖析从中得到

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近

似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表

示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学

转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用

几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比

较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来

函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

在积分中，积分有两种，即定积分和不定积分。定积分是微分的逆运算，

即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用远不止如此，

它被大量应用于求和，例如求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积

分特殊的性质决定的。一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。

它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。一个函数的不定积

分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其

中：[F(x)+C]＇=f(x)。

定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求

微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分

要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起

来了。牛顿—布莱尼公式：设f（x）在[a，b]上连续，F（x）是f（x）的

一个原函数，即F(x)′=f(x),则有∫

a

bf（x）dx=F（a）-F(b)=F（x）∣

a

b通过公式可以知道，它们的通道为x的取值范围，当x的取值范围为闭区间

时，F(x)为定积分，当x的取值范围为开区间时，F（x）为不定积分。

不定积分的性质：1、两个函数的代数和的积分，等于这两个函数积分的代数

和，即

∫[f（x）±g（x）]=∫f（x）±∫g（x）。2、非零数常数因子可以提到积

分号外面来，即∫af（x）dx=a∫f（x）dx，其中a≠0.不定积分在积分过程

中有直接积分法和换元积分法。