log计算

1

对数与对数运算

教学目标

1、理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；

2、掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.

知识梳理

一、对数的定义

一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的

对数，记作

bN

a

log，

a

叫做对数的底数，N叫做真数。

特别提醒：

1、对数记号log

a

N只有在01aa且，0N时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。

2、记忆两个关系式：①log10

a

；②log1

a

a。

3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数N

10

log，

简记作：lgN。例如：

10

log5简记作lg5;5.3log

10

简记作lg3.5。

4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为

了简便，N的自然对数

N

e

log，简记作：lnN。如：3log

e

简记作ln3；

10log

e

简记作ln10。

二、对数运算性质：

如果0,1,0,0,aaMNnR有：

log()loglog

aaa

MNMNlogloglog

aaa

M

MN

N



loglog()n

aa

MnMnR

特别提醒：

1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成

立。如

2

log(3)(5)是存在的，但

222

log(3)(5)log(3)log(5)是不成立的。

2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg2lg101；

三、对数的换底公式及推论：

对数换底公式：

log

log0,1,0,1,0

log

m

a

m

N

NaammN

a



两个常用的推论:

（1）

1loglogab

ba

（2）

1logloglogacb

cba

2

四、两个常用的恒等式：

NaN

alog，loglog

m

n

a

a

n

bb

m

0,1,0,0aabN

类型一指数式与对数式的相互转化

例1：将下列指数式与对数式进行互化．

(1)3x＝

1

27

；(2)











1

4

x＝64；

(3)5－

1

2

＝

1

5

；(4)log24＝4；

(5)lg0.001＝－3;(6)

21

log(21)



＝－1.

练习1：将下列指数式与对数式进行互化．

(1)e0＝1；

(2)(2＋3)－1＝2－3；

(3)log327＝3；

(4)log0.10.001＝3.

练习2：将下列对数式与指数式进行互化．

(1)2－4＝

1

16

；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.

类型二对数基本性质的应用

例2：求下列各式中x的值．

(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；

练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．

3

练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x

＝______.

类型三对数的运算法则

例3：计算(1)loga2＋loga

1

2

(a>0且a≠1)；

(2)log318－log32；

(3)2log510＋log50.25；

练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算log535＋2log22－

log5

1

50

－log514的值．

练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25的值为

________．

类型四带有附加条件的对数式的运算

例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lg

18

25

.

练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg45.

练习2：若lgx－lgy＝a，则lg(

x

2

)3－lg(

y

2

)3等于()

A．

a

2

B．aC．

3a

2

D．3a

类型五应用换底公式求值

例5:计算：lg

1

2

－lg

5

8

＋lg12.5－log89·log278.

练习1:计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．

4

练习2:log89·log32的值为()

A．

2

3

B．1C．

3

2

D．2

类型六应用换底公式化简

例6:已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.

练习1:(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知log23＝a，log37＝b，则

log1456＝()

A．

ab＋3

ab＋1

B．

ab＋

ab＋1

C．

b＋3

ab＋1

D．

ab－3

ab＋1

练习2:已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为()

A．pqB．

q

p＋q

C．

1＋pq

p＋q

D．

pq

1＋pq

当堂检测

1、使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()

A．0＜a＜

1

2

且a≠1B．0＜a＜

1

2

C．a＞0且a≠1D．a＜

1

2

2、(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x、y为正实数，则下列各式正

确的是()

A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy

C．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy

3、(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a，lg3＝b，则

lg12

lg15

等于()

A．

2a＋b

1－a＋b

B．

2a＋b

1＋a＋b

C．

a＋2b

1－a＋b

D．

a＋2b

1＋a＋b

4、．log

5

2·log

4

25等于()

A．－1B．

1

2

C．1D．2

5、化简log

1

a

b－log

a

1

b

的值为()

A．0B．1C．2log

a

bD．－2log

a

b

5

对数与对数运算作业

基础巩固

1．已知log

7

[log

3

(log

2

x)]＝0，那么x－

1

2

等于()

A．

1

3

B．

1

23

C．

1

22

D．

1

33

2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为()

A．log

3

10B．lg3C．103D．310

3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()

A．x＝a＋3b－cB．x＝

3ab

5c

C．x＝

ab3

c5D．x＝a＋b3－c3

4．方程2log

3

x＝

1

4

的解是()

A．

3

3

B．3C．

1

9

D．9

5．eln3－e－ln2等于()

A．1B．2C．

5

2

D．3

能力提升

6．若log

(1－x)

(1＋x)2＝1，则x＝________.

7．若log

x

(2＋3)＝－1，则x＝________.

8．已知log

3

2＝a，则2log

3

6＋log

3

0.5＝________.

9.(1)设log

a

2＝m，log

a

3＝n，求a2m＋n的值；

(2)设x＝log

2

3，求

22x＋2－2x＋2

2x＋2－x

的值．

10.已知log

a

x＋3log

x

a－log

x

y＝3(a＞1)．

(1)若设x＝at，试用a、t表示y；

(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．