连续函数介值定理

第1章函数的极限和连续函数

22

22

连续函数的主要性质

若函数()fx在开区间(,)ab内每一点

0

(,)xab都连续，即在每一点

0

(,)xab都有

0

0

lim()()

xx

fxfx





则称函数()fx在开区间(,)ab内是连续函数(图1-17)。而称函数()fx在闭区间[,]ab上是

连续函数，除了它在开区间(,)ab内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]:

()

lim()()

xa

xa

fxfa







(右连续)和

()

lim()()

xb

xb

fxfb







(左连续)

在定义域上连续的函数简称为连续函数。读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函

数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。从几何上说，区

间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。

根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。

定理1-5若函数()fx和()gx在点

0

x都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分

母在点

0

x等于0]在点

0

x也都是连续的。特别，常数与函数()fx的乘积()fx在点

0

x当

然也是连续的。

证证明是简单的。譬如，因为

0

0

0

0

0

0

lim()

()()

lim()0

()lim()()

xx

xx

xx

fx

fxfx

gx

gxgxgx









所以商

()

()

fx

gx

在点

0

x是连续的。

根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。

函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。例如，函数2xa[注意，

22()xxaa，不是22()xxaa]是由简单指数函数ua和幂函数2x复合而成的复合函数。再

如，

logsin

a

x

是由简单对数函数log

a

u、幂函数12uvv

和简单三角函数sinvx，

依次复合成的复合函数。

一般地，若函数()fu定义在区间,AB上，而函数()uux定义在区间,ab上，且

函数()ux的函数值在区间,AB上，则函数[()]fux就是定义在区间,ab上的函数。称它

xx

b

图1-18

y

x

Oa

()yfx

()fa

()fb

x

x

0

y

0

()fx

x

b

Oa

x

()yfx

图1-17

§1-4连续函数的主要性质

23

23

为由外函数()fu和内函数()ux复合成的复合函数。近代数学中把它记成()()fux，即

()()fux[()]fux[不是()()fuux！]

若内函数()ux在点

0

x连续，而外函数()fu在相应点

00

()uux也连续，则复合函数

[()]fux在点

0

x也连续。这是因为，当x无限接近

0

x时，函数值()ux无限接近

00

()uux，

从而函数值[()]fux就会无限接近

0

[()]fux。用极限式表示成

00

0



lim[()][lim()][()]

xxxx

fuxfuxfux【极限号

0

lim

xx

与函数记号f交换次序】

我们把这个结论叙述成下面的定理：

定理1-6若内函数()ux在点

0

x连续，而外函数()fu又在点

00

()uux连续，则复合

函数[()]fux在点

0

x也连续。

【注】根据这个定理，若外函数()fu是连续函数，而且有极限lim()

x

ux



[有限值]，则有

lim()[lim()]

xx

fuxfux



（极限记号与函数记号交换次序）

例如

limsin(cos)sinlimcossin(cos)

xcxc

xxc





；再如，

lim

1x

xxx

x





(分子分母同除x

)

13

13

11

lim1

1

lim

1lim1

x

x

x

xx

xx

xx





















(lim

x

与交换次序)

100

1

10







区间,ab上的连续函数是一元函数微积分研究的主要对象，因为区间上的连续函数具

有许多很好的性质。而这些性质是我们能够证明微积分中许多重要定理的基础。虽然从直观

上说，这些性质都是很明显的，可是要证明它们是不容易的(证明在第二篇中)。在这些性质

中，我们先给出下面几个定理。

定理1-7闭区间[,]ab上的连续函数是有界的(有界性定理)，而且有最大值和最小值

[最大(小)值定理]。(图1-19)

定理1-8若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()0fafb，则至少有一点

0

x，

使

0

()0fx(零点定理，图1-20)。

图1-19

()fb

()fa

2

x

1

xa

x1

()fxm

2

()fxM

b

y

O

第1章函数的极限和连续函数

24

24

例10证明：方程)0,0(sinbabxax至少有一个正根不超过ba。

证令()sinfxxaxb。显然，(0)0fb，而另有足够大的正数

c

使

()0fc。因此，必有点

0

x

(0,)c，使

0

()0fx，即正数

0

x是方程sinxaxb的根，

而且

00

0sinxaxbab

推论若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()fafb，则介于()fa与()fb之

间的任何数，都是函数()fx的函数值，即至少有一点

0

(,)xab，使

0

()fx。（介值

定理）

证不妨设()()fafb（图1-21）。

作辅助函数

()()gxfx

则函数()gx在闭区间[,]ab上连续，且

()0,()0gagb。

根据零点定理，至少有一点

00

()xaxb，

使

0

()0gx，即

0

()fx。

例11设函数)(xf在区间),(ba内连续，

),,2,1(),(nibax

i

。证明：至少有一

点),(bac，使

n

xfxfxf

cfn

)()()(

)(21







[算术平均值,均值定理]

证设

12

()

max(),(),,()

n

Mfxfxfx

最大者

，

12

()

min(),(),,()

n

mfxfxfx

最小者

则

12

()()()

n

fxfxfx

mM

n







根据介值定理，至少有一点),(bac，使

12

()()()

()n

fxfxfx

fc

n







在§0-5中说，增函数(或减函数)有反函数，而且反函数也是增函数(或减函数)。另一

图1-21

a

0

x

b



x

y

O

0

()fx

()fa

()fb

x

b

0

x

O

①

a

y

②

O

b

a

0

x

y

x

图1-20

()yfx

()yfx

§1-4连续函数的主要性质

25

25

方面，若()yfx是闭区间[,]ab上的连续增函数，根据介值定理，它的函数值能够充满整

个区间[(),()]fafb，而且它的反函数1()fy是

区间[(),()]fafb上的连续增函数(图1-22)。同理，

若()yfx是闭区间[,]ab上的连续减函数，则

它的反函数1()fy是区间[(),()]fbfa上的连续

减函数。

上述结论称为反函数连续性定理。请注意，在反函数连续性定理的表述中，说的是闭区

间[,]ab，而实际上，开区间

．．．

(,)ab内连续增

．．．．

(

．

减

．

)

．

函数的反函数也是连续增

．．．．．．．．．．．

(

．

减

．

)

．

函数

．．

。

简单三角函数

sin

22

xx











，cos0xx

，tan

22

xx











，cot0xx

和指数函数xa都是连续(增或减)函数，所以它们的反函数(arcsinx、

arccosx

、arctanx、

arccotx和log)

a

x也是连续函数。根据定理1-5、定理1-6和简单初等函数

(,,log,nx

a

xax简单三角函数和它们的反函数)

的连续性，则由简单初等函数经过所许可的有限次组合(加、减、乘、除或复合)得到的函数(称

为初等函数)，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。特别，一般幂函数

loglog

aa

xxxaa

作为复合函数是连续函数。因此，

求初等函数在定义域内某点处的极限时，极限值就是那一点的函数值。

上面说的初等函数是我们以后进行微分和积分运算的主要对象。

例12求极限

0

log(1)

lima

x

x

x



。

解1

00

log(1)

limlimlog1a

x

a

xx

x

x

x



（交换次序）1

0

loglim1logex

aa

x

x











【注意】因为

1

0

lim(1)ex

x

x



，所以点0是函数

1

(1)xx的可除间断点（在点0补充函数值e后，它就

连续了）。因此，

0

lim

x

与log

a

可以交换次序，因为对数函数是连续函数。

例13求极限

0

1

lim

x

x

a

x



。

解

0

1

lim

x

x

a

x

(1)

x

ya



令

0

lim

log(1)y

a

y

y0

1

lim

log(1)y

a

y

y







0

1

log(1)

lima

y

y

y





1

loge

a



【自然对数】以数

e

为底的对数记成ln(就像以10为底的对数记成lg一样)。假若用自

()fb

()fa

图1-22

a

b

O

y

x

()yfx

1()fyx

y

x

第1章函数的极限和连续函数

26

26

然对数，上面的演算就会简单得多，即

11

000

ln(1)

limlimln(1)lnlim(1)lne1xx

xxx

x

xx

x











0

e1

lim

x

xx



（令e1xy）

0

lim

ln(1)y

y

y



0

1

lim

ln(1)yy

y







0

11

1

ln(1)

1

lim

y

y

y





尤其在下一章的微分法中，用自然对数比用一般对数好得多。

因为ln(1)(0)xxx，e1(0)xxx，根据定理1-4，所以

ln(1)()(0)xxoxx(1-1)

e1()(0)xxoxx或e1()(0)xxoxx(1-2)

在下一章中将会用到式（1-1）和（1-2）。

习题

1.求下列极限（根据提示将题做到底）：

⑴

0

arcsin

lim

x

x

x

（令arcsinyx）

⑵

00

11

limlim

ln(12)

ln(12)2

2

xx

x

x

x

x









⑶

0

(1)1

lim

t

x

x

x



[令

(1)1tyx]

[注意，ln(1)ln(1)ytx]

⑷1

0

lim1x

x

x



(分0和0两种情形讨论)

⑸

1

limln(1)lnlimln1

n

nn

nnn

n









（把数列极限看成函数极限的特殊情形）

答案：⑴1；⑵

2

1

；⑶t；⑷

e



；⑸1

2.在下列各题中的空白处填上适当的函数值，使函数在指出点为连续：

⑴___)0(,

)1ln(

)(

2





f

x

x

xf（为什么？）

⑵

π

(),(π)___

lnlnπ

x

gxg

x







（为什么？）

⑶___)0(,

)1ln()cos1(

1

cossin3

)(

2







h

xx

x

xx

xh（为什么？）

答案：⑴0；⑵

π

；⑶

2

3

§1-4连续函数的主要性质

27

27

3.证明下列方程必有实根：

⑴

1

e2

2

xx[提示：令

1

()e2

2

xfxx]

⑵119

sin1

163

22

179





xx

x

4.设()fx在[0,2](0)aa上为连续函数,且(0)(2)ffa。证明:存在点[0,]ca，使

()()fcfca

5.设()fx在区间(,)内是连续函数。证明：若有lim()lim()

xx

fxAfxB



，

则对于任意(,)AB，必有(,)c，使()fc。

提示：方法一，令()(tan),,

2222

FtfttFAFB











方法二，因为lim()

x

fxA



，所以有0a使()fa；同理，

因为lim()

x

fxB



，所以有0b使()fb

6.证明：有连续函数)(xyy)(x满足凯普勒(Kepler)方程

)10(sinxyy

提示：考虑函数sin()xyyy。显然它是连续函数，再证它是增函数。

7.求极限

1

11

e(1e)1e

lim

1elim1e

n

n

nn

n

nn



















提示：

111

e1no

nn









。答案：e1