毕克定理

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板块一正方形格点问题

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定

是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶

点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．

那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算

公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例

题的格点数．

我们能发现如下规律：

1

2

L

SN

．这个规律就是毕克定理．

毕克定理

若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，

则它的面积为

1

2

L

SN

．

例题精讲

格点型面积

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【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来

就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于

2平方厘米的三角形有多少个？

【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．

(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：

①②③

底为2，高为1底为2，高为1底为1，高为2

3×2=6(个)3×2=6(个)3×2=6(个)

④⑤⑥

底为1，高为2底为2，高为1底为1，高为2

3×2=6(个)2×2=4(个)2×2=4(个)

所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．

(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：

3×2=6(个)1×2=2(个)

所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．

【例2】如图，44的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．

【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．

11的正方形：9个；22的正方形：4个；33的正方形：1个；

以11正方形对角线为边长的正方形：4个；以12长方形对角线为边长的正方形：2个．

故可以组成9414220(个)正方形．

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【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？

⑴

⑵

⑶

⑷

【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．

【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．

⑶⑵⑴

⑹⑸⑷

【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．

方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416(面积单位)；

图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315(面积单位)；

图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210(面积单位)；

图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315(面积单位)；

图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212（）(面积单位)；

图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218（）(面积单位)．

【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4

倍．)

方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过

程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，

在下面的题目中我们还将使用这种方法！

如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积

的一半．

如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易

得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．

⑷⑶

【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．

III

II

I

(c)(b)(a)

【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只

能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，

如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是

所要求的三角形面积．矩形面积是6424；直角三角形Ⅰ的面积是：6226；直角三角形Ⅱ

的面积是：4224；直角三角形Ⅲ面积是4224；所求三角形的面积是

2464410（）(面积单位)．

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方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积

是：52252210(面积单位)．

【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．

F

E

D

CB

A

1cm

1cm

【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；

另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为

21.5cm

，22cm

，21.5cm

．所以，图中阴影部分的面积为：

331.5224（）

(2cm

)．

【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积．

⑴⑵

【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面

积单位．

【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的

格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！

在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第

二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．

【巩固】求下列各个格点多边形的面积．

⑵

⑴

⑷⑶

【解析】⑴∵12L；10N，∴

12

110115

22

L

SN

(面积单位)；

⑵∵10L；16N，∴

10

116120

22

L

SN

(面积单位)；

⑶∵6L；12N，∴

6

112114

22

L

SN

(面积单位)；

⑷∵10L；13N，∴

10

113117

22

L

SN

(面积单位)．

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例

题的格点数．

我们能发现如下规律：

1

2

L

SN

．这个规律就是毕克定理．

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【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？

【解析】图形内部格点数

9N

；图形边界上的格点数

20L

；根据毕克定理，则

118

2

L

SN

(单位

面积)．

【例9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．

H

G

F

E

D

C

B

A

【解析】箭形ABCDEFGH的面积812246（）（）(面积单位)．

【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？

【解析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．

所以图形的面积为：54192162.5(面积单位)．

【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+

L

2

-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，

L为图形周界上格点数．

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+

7

2

-1)×1=6．5(平方厘米)

毕克定理

若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，

则它的面积为

1

2

L

SN

．

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方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，

有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正

方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形

的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．

【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点

称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用

直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．

【解析】为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成

面积最大．最大面积为550.5323.5(平方厘米)．

【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21

日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？

【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都

可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数

字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．

7所占的面积为：215218.5；2所占的面积为：242111；1所占的面积为：

17217.5．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527．

【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现

将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm

，右下角的阴影部

分(线状)面积为27.4cm

，求大正方形的面积．

【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个

方格的面积是2

19

7.45.121714cm

25

（）（）（）

大正方形的面积为219cm

．

【例14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四

边形CEPQ的面积．

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A

B

C

D

E

F

Q

PP

Q

F

E

D

C

B

A

【解析】如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，

PEF面积3，CDE面积9，四边形ABQP面积11．上述三块面积之和为391123．因

此，阴影四边形CEPQ面积为542331．

板块二三角形格点问题

所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面

积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．

关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表

示图形周界上的格点数，那么有22SNL，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与

周界上格点数的和减去2．

【例15】如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算

三角形ABC的面积．

A

B

C

D

F

E

C

B

A

(b)

(a)

'

'

'

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

H

G

R

Ⅲ

Ⅱ

Ⅰ

(c)

(d)

A

B

C

E

F

D

C

B

A

【解析】方法一：如图(b)所示，在ABC内连接相邻的三个点成DEF，再连接DC、EA、FB后是ABC

可看成是由DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得

到

2

ACD

S

，

3

AEB

S

，

4

FBC

S

，所以

123410S

(面积单位)．

方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数

小正三角形的方法，求出ABC的面积为10．

方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而ABE的面积是

平行四边形ARBE面积的一半，即3

AEB

S，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而

ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即2

ACD

S．平行四边形FBGC中有8个

小正三角形，而FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：4

FBC

S．所以

123410S(面积单位)．

【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．

C

B

A

【解析】因为5N；3L：所以22253211SNL(面积单位)．

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【例16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．

⑴⑵

⑶

⑷

【解析】⑴∵7L；7N，∴22277219SNL(面积单位)；

⑵∵5L；8N，∴22285219SNL(面积单位)；

⑶∵6L；7N，∴22276218SNL(面积单位)；

⑷∵7L；8N，∴22287221SNL(面积单位)．

【例17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中

粗线所围成的三角形的面积．

【解析】图中有64(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642，

图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；

图形的面积为：2124226(面积单位)，进而得图形的面积为：26252．

【例18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格

点数，L为图形周界上格点数．

有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．

法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部

分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平

行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面

积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．

【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得

到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分

的面积是______平方分米．

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【解析】图1中阴影部分占整个三角形面积的

12

25

，图2中阴影部分占整个三角形面积的

16

49

，故图2中阴影

部分的面积为294÷

1216

2549

=200(平方分米)．

【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．

【解析】如右图所示．

【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？

【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三

角形．

而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大

正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．

【例22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中

点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？

SR

Q

A

B

CD

E

F

N

MPPM

N

F

E

DC

B

A

【解析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个

小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是

6240.25(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积

0.2592.25(平方厘米)．

【例23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是

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_____平方厘米．

【解析】

ABCABDBCDACD

SSSS





2122122966()平方厘米