感应电动势公式

目录

摘要...........................................................................................................................................1

关键词...........................................................................................................................................1

Abstract.......................................................................................................................................1

Keywords..................................................................................................................................1

引言................................................................................................................................................2

1．感应电动势的两种表达式........................................................................................2

1.1感应电动势的第一种表达式——通量法则..........................................................2

1.2感应电动势的另一种表达式.....................................................................................2

2．两种表达式的一致性...................................................................................................3

3．通量法则的例外情形...................................................................................................5

4．矛盾如何消除，矛盾能否消除..............................................................................6

5．两种表达式之间的关系.............................................................................................8

结束语.........................................................................................................................................10

参考文献...................................................................................................................................11

1

感应电动势的两种表达式及其关系

王军伟

指导老师：张献图职称：教授

摘要：本文分别对感应电动势的两种表示法进行分析、讨论，说明其一

致性，并用实例验证。通过举例可验证在一般情况下，感应电动势的两种表示法

是一致的。但也存在例外，即处在变化的磁场中并且不能够构成闭合回路时，就

会导致感应电动势的两种表示法不一致。

关键词：感应电动势；动生电动势和感生电动势；通量法则；回路构成法

Abstract：Thispaperwilldiscussandanalyzethetworeprentationsofinduction

ametime,thispaperwillproveitsconsistencythrough

ormalcircumstances,itcanbeprovedthrough

discussionandtakingexamplethatthetworeprentationsofinductionelectromotive

gcircuitonthetime,itwillleadtothetworeprentations

nottheconstantmagneticfield

andcannotconstituteaclodcircuittherewereexceptions.

Keywords：Inductionelectromotiveforce;Motionalelectromotiveforceand

inducedelectromotiveforce;Fluxprinciple;Returncircuitrule.

2

引言

感应电动有两种表达式。通常情况下用这两种表达式所求得的结果是一样

的，两种表达法之间很少出现什么矛盾。但有时用这两种方法所得的结果不一样，

这时通量法则就存在反例。这个问题曾在国内杂志上引起了激烈的争论，其中部

分文章见[1]—[8]。通过这场争论我们对电磁感应定律有了更好的认识，这对我

们深入理解电磁感应定律是十分有益的。

1．感应电动势的两种表达式

1.1感应电动势的第一种表达式——通量法则

1831年Faraday发现了电磁感应现象，并紧接着进行了深入的研究，提出感

应电动势的概念。但是Faraday并未给出定量描述电磁感应现象所遵循的数学表

达式。1845年德国物理学家Neumann运用Ampere电动力学导出了电磁感应定

律，从而第一次确立了后来以Faraday的名字命名的电磁感应定律，即闭合回路

的感应电动势为

s

dd

BdS

dtdt





（1）

式中的是通过闭合回路l为周界的曲面S的磁通量。Feynman把决定感应电动

势的（1）式称为通量法则，也就是感应电动势的第一种表达式。

1.2感应电动势的另一种表达式

感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。前者是导体相对磁场运动

（切割磁力线）引起的，产生动生电动势的非静电力是Lorenz力，后者是由于

磁场随时间变化引起的，产生感生电动势的非静电力是涡旋电场力。显然二者的

物理本质不同。一般情况下同时存在动生和感生两种电动势。感应电动势又可表

为

(

ll

EdlvBdl涡旋

）

（2）

式中的积分沿闭合回路l。（2）式右端第一项中的E涡旋是由于磁场变化而产生的

涡旋电场，由Maxwell方程

B

E

t





涡旋

3

再利用Stokes公式，（2）式右端第一项可改写为

ls

B

EdldS

t







涡旋

这是感应电动势的感生部分。（2）式右端第二项是由于导线相对磁场运动所引起

的动生电动势，其中v是导线的运动速度。利用上式，可将（2）式改写为如下

形式：

()

sl

B

dSvBdl

t









（3）

式中的S是以闭合回路l为周界的曲面。顺便指出，公式（2）同样适用于不构成

闭合回路的导线段，此时，有

()

ll

EdlvBdl涡旋

（4）

表达式（2）或（3）式是感应电动势的另一种表达式。

2．两种表达式的一致性

可以证明，对于闭合回路，感应电

动势



的两种表示法（1）式和（3）是

一致的或等效的。我们只需证明下式成

立即可：

()

dB

BdSdSvBdl

dtt









如图1所示、设从t到

()tt

的时间间图（1）

隔内，闭合线形回路从

1

l变到

2

l，两回路的绕行方向已在图1中标明，回路的变

化可以包括平动、转动、形变等。与此同时，空间的磁场分布从()()BtBtt变为

（为了简单起见，略去了B的坐标参量）。在t时刻，通过闭合线形回路

1

l所包

面积

1

S的磁通量为

1

1

()()

s

tBtdS

式中

1

S是以

1

l为周界的曲面，

1

dS的正方向与

1

l的绕行方向构成右手螺旋关系。

同样，在()tt的时刻，通过闭合线形回路

2

l所包面积

2

S的磁通量为

dl

3

dS

3

S

vdt

1

l

1

S

2

l

2

S

4

2

2

()()

s

ttBttdS

式中

2

S是以

2

l为周界的曲面，

2

dS的正方向也由

2

l的绕行方向用右手法则确定。

对于足够小的t，忽略

B

的展开式中的高阶小量，有

()

()()

Bt

BttBtt

t







代入前式，得

2

2

()

()[()]

S

Bt

ttBttdS

t









=

22

22

()

()

SS

Bt

BtdStdS

t









故有

0

()()

lim

t

dttt

dtt







221

221

0

()

()()

limSSS

t

Bt

BtdStdSBtdS

t

t













122

122

00

()

()()

limlimSSS

tt

Bt

BtdSBtdStdS

t

tt













（5）

先考虑（5）式右端第二项，当0t时，

21

SS，所以

2

1

2

1

0

()

()

limS

t

S

Bt

tdS

t

Bt

dS

tt

















此项决定了t时刻的感生电动势。再考虑（5）式右端第一项，当闭合回路从

1

l运

动到

2

l时，由

1

l围成的曲面

1

S和由

2

l围成的曲面

2

S，以及闭合回路运动在

ttt的时间内扫出的曲面

3

S(见图1)，三者构成一个封闭曲面。根据磁场

的Gauss定理，有

123

123

()()()()0

SSS

BtdSBtdSBtdSBtdS

5

上式右端第二项为负值的原因是，前已规定

2

dS的方向由

2

l的绕向用右手法则决

定，即指向封闭曲面的里面，而上述磁场Gauss定理中曲面的正法线方向均指向

封闭曲面的外面。故有

123

123

()()()

SSS

BtdSBtdSBtdS

代入（5）右端第一项，得

3

12

3

12

00

()

()()

limlimS

SS

tt

BtdS

BtdSBtdS

tt













对曲面

3

S来说，其面积元

3

dSvdtdl，其中dl是

1

l上的有向线元（见图1）当

0t

时，

21

ll，曲面

3

S缩成闭合回路

1

l，故

3

1

3

0

()

lim()()S

t

l

BtdS

Btvdl

t











利用矢量公式()()()abccabbac，有

()()[()]BtvdlvBtdl

故（5）式右端第一项可写成

11

()()[()]

ll

BtvdlvBtdl

最后（5）式可写成

()

Sl

ddB

BdSdSvBdl

dtdtt









由此可见，对于线形闭合回路，感应电动势



的两种表示式（1）和（3）是等效

的。

3．通量法则的例外情形

上面，就线形闭合回路情形证明了感应电动势的两种表示法（1）和（3）式

的等效性。但是，如果回路中包含了大块导体或者回路在运动过程中发生了“断

裂”，此时所选闭合回路具有不确定性，结果用通量法则［公式（1）］算出的



值

往往与实际不符。Feynman在《费曼物理学讲义》中把这些特殊情形称为通量法

则的例外。

6

下面通量法则例外情形的两个例子。

图（2）图（3）

［例1］如图2所示，铜盘可绕O轴转动，铜盘面与恒定磁场

B

垂直，铜盘

的轴上和边缘上各有一电刷，通过导线与电流计G相连，形成一通电回路。当铜

盘以一定的角速度旋转时，电流计指针发生偏转，表明回路中产生的感应电动势

引起了感应电流。按公式（3），虽然

0

B

t







，但因铜盘材料的

0v

，故感应电

动势

0

，与实际相符。但按公式（1），若在空间有电流通过的地方选定闭合

回路，则因磁场恒定，通过该闭和回路的磁通量应不变，既

0

d

dt





，故0。

于是（1）式与（3）式的结果不一致，出现了矛盾，这时（1）式不能解释实际

结果。

［例2］如图3所示，有一导体回路，B代表一块长圆柱磁体内的磁场，

G

为一灵敏电流计，

1

K，

2

K为开关，开始时

1

K接通，

2

K断开，在电流计与

1

K组

成的回路内0，然后将

1

K断开，同时将

2

K接通，此时电流计与在

2

K组成的

闭合回路内0并假设开关的动作是在竖直方向进行的（即与磁感应强度B平

行），按（1）式0d故0，按（2）式

0

B

t







且每部分导线无运动，即v=0，

在开关处v//B所以0vB整个回路的感应电动式0。两种表达式之间再次

出现了矛盾。

4．矛盾如何消除，矛盾能否消除

d

1

K

2

K

B

G

a

b

ce

f

A

A



B

电流计

G

O

铜盘

7

在一些特例中，如果要用通量法则正确计算感应电动势，选好闭合回路至关

重要。有人试图建立起一种“回路构成法”以便使感应电动势的两种计算法（1）

式和（2）式的结果一致，并认为感应电动势发生在导电材料中，因而当回路因

运动发生变化时，应当考虑材料本身或物质的运动，而不是几何上意义上的变化。

例如，在例１中，如果把铜盘的OA部分看作回路的一部分，经过一定时间

后段OA的物质转到了OA



位置，因而应把OA



段看作变化后的回路的一部分，A

端在变动过程中描出的轨迹AA



反映了回路的变化历程，所以变化后的回路应为

OAAGO



，而不是固定的OAGO。这样，随着铜盘的转动，通过不断变化的回路

OAAGO



的磁通量将发生相应的变化，用通量法则（1）式算出的感应电动势



与

（3）式一致。

又如例2，出现例外的原因与例1是完全相同的。

d

dt







成立要求磁通量

连续变化，不允许突然转换。例2中通量差d是两个不同回路（回路abcdefa

和abcda）不同时刻的通量差。显然这种求磁通量的方法是不正确的。正确的求

解方法为：t时刻选取

abcdefa

为闭合回路，在

()tdt

时刻仍选取

abcdefa

为闭合

回路。t时刻通过的磁通量为。由于在

1

K断开、

2

K闭合的过程中，回路中B不

随时间变化。所以()tdt时刻通过的磁通量仍为，所以

0

d

dt





。这样用两种

表达式（1）式和（2）式所得的感应电动势



均为0。两种表示法取得了一致。

看来上述回路构成法使得感应电动势的两种表示法取得了一致。即使得公式

（1）和（3）的结果相同。但是前面两个特例中，总能找到闭和的导线回路，而

且磁场恒定不变。如果是一根导体棒，它在变化的磁场中运动，怎样用通量法则

来求感应电动势呢？请看下面一个例子。

［例3］如图4所示，一根长为l的导体棒，以速度v垂直于由螺线管产生的

均匀磁场B运动，磁场又以

B

t





的变化率随时间变化，试求导体棒内的感应电动

势



。由公式（2），不难求出感应电动势



，其动生部分为

()

l

vBdlvBl

8

为了求感生电动势，需先求出E

涡旋

，E

涡旋

由

B

t





决定。由Maxwell方程

ls

B

EdldS

t







涡旋

根据轴对称性，在离轴距离为r的各点上E

涡旋

的大小相同，其方向沿着以r为半

径的圆周的切线方向，其方向由

B

t





的正负决定，若如图4磁场

B

的方向指向里

面且向里增加，即

B

t





为正，则E

涡旋

指向逆时针方向（见图4）。由上述积分式可

得出

22

B

rEr

t







涡旋

即

2

rB

E

t





涡旋

故在导体棒内的感生电动势为图（4）

22

22

cos

22

ll

B

ll

A

rBbblB

EdlEdxdx

trt











涡旋涡旋

动生电动势vBl与感生电动势

2

blB

t





之和就是导体棒内的总感应电动势



。

若按通量法则求



，就必须选定一个闭合回路。除导体棒作为回路的以部分

外，还需虚构辅助线以构成闭合回路。作这个虚构闭合回路的原则又该是怎样

呢？前面所谓回路构成法的前提是恒定磁场，并存在由导体实体构成的闭合回

路。对于例3前面所说的回路构成法就不再适用了。

由此可见，用回路构成法并不能消除所有矛盾。对于个别情况，矛盾是无法

用回路构成法来解决的。

5．两种表达式之间的关系

在大多数情况下用感应电动势的两种表达式所得的结果是一样的，只是在个

别情形下通量法则才存在例外。表达式（1）也既是通量法则中的变化原因既

包括磁场随时间的变化，又包括闭合回路本身的各类运动变化（平动、转动、形

变等），实际上已经涉及感生电动势和动生电动势两部分，是一种简明扼要的表





AB

B

br

v

E

涡旋



9

述。表达式（2）或（3）则把感生和动生两种电动势分开并具体化，物理图像明

确而清晰。

总之，感应电动势



的两种表示法可以在很宽的范围内相互一致，但在个别

情形下通量法则会遇到困难。Feynman指出，当通量法则遇到困难时，就必须回

到基本定律中去，正确的物理学总是由这两个基本定律给出：

()FqEvB

B

E

t



















(6)

(6)式的第一式是Lorenz力公式，第二式是Maxwell方程组之一。这两个公式分

别给出了产生感应电动势的两类非静电力，一类是由于导体运动产生的Lorenz

力，另一类是由磁场变化产生的涡旋电场力。赵凯华在文献［12］中认为，（6）

式应当成为电磁感应定律的近代版本，是对电磁感应定律在更高层次上的描述。

正如陈秉乾所说：Faraday首先发现了电磁感应现象，进行了深入的研究，

提出了感应电动势的概念，Neumann赋予电磁感应现象所遵循的规律以简洁的

数学描述（通量法则）。应当说，这是在那个时代的重大成就，它不仅揭示了电、

磁现象之间的密切联系，也为Maxwell建立电磁场理论提供了重要支柱。Maxwell

的工作实际上已对Faraday电磁感应定律作了推广和发展，Maxwell由此提出了

两个基本假设之一：变化的磁场可以在周围空间激发涡旋电场，具体的数学描述

就是（6）式的第二式（另一个基本假设是变化的电场可以在周围空间激发磁场，

即位移电流假设）。在感应电动势的表示式（2）或（3）中，不仅包含了Maxwell

的上述发展，还包含了Lorenz电子论的创新工作，即带电粒子在电磁场中的受

力公式［（6）式的第一式］。由此可见，感应电动势的两中表示法已不属于同一

层次上的理论。第二中表示法（2）或（3）式已超越了Faraday—Neumann的通

量法则（1）式，它以Maxwell—Lorenz电磁理论为依托对电磁感应规律在更高

层次上的理解和定量描述。因此把这两种属于不同层次的表示法强行统一是没有

必要的，我们可以设法使两种表示法尽可能在较大范围内取得一致，但没有必要

追求在所有问题上相互统一，毕竟两种表示法是物理理论的两个不同发展阶段的

产物。

10

结束语

对于闭合的线形回路，也就是通量法则不存在例外时，用感应电动势的哪种

表达式计算较为方便，我们就选择用哪种表达式。

当感应电动势的两种表达式之间出现矛盾时，都是利用通量法则计算的结果

与实际不符，而利用（2）式或（3）式所算的结果与实际都是相符的。所以，当

通量法则不能应用时，就利用（2）式或（3）式来计算。

11

参考文献

［1］谭天荣.为什么通量法则有例外［J］.大学物理，1983，08：21-22.

［2］谭天荣，周春生.通量法则诸反例的两个特点［J］.大学物理，1985，01：14-17.

［3］黄忠民.一道“通量法则”例外的问题的讨论［J］.大学物理，1984，06：16，30.

［4］沉建民.正确运用通量法则的关键［J］.上海师范大学学报（自然科学），2004，04：

94-97.

［5］沉大华.感生电动势和动生电动势［J］.江苏技术师范学院学报，2003，04：50-53，

68.

［6］丁同合，刘俊星.通量法则真的纯在例外吗［J］.雁北师范学院学报，2001，04：86-87.

［7］朱如曾对“通量法则诸反例的两个特点”一文的几点看法［J］.大学物理，1987，07，

8-10.

［8］郭冰莹.也谈电磁感应定律的表述与“通量法则”的反例问题［J］.广州师院学报(自

然科学版)，1996，02：31-35.

［9］陈秉乾.电磁学研究专题［M］.北京：高等教育出版社，2001：644-653.

［10］FeynmanRP.费曼物理学讲义(第二卷)［M］.上海：上海科技出版社，1981：

111-112.

［11］王红梅.回路构成法分析电磁感应佯谬现象［J］.宜春学院学报（自然科学），2006，

08：36-38.

［12］赵凯华.通量法则的反例问题［J］.大学物理，1987，07：10-14.

［13］梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学［M］.北京：高等教育出版社，2004：220-221，

224-227，232-234.

12

致谢

本论文是在张献图老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态

度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。张老师不

仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在

此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！

我还要感谢韩首瑛老师和李韶峰老师。正是由于他们的帮助和支持，我才能

克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完

成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的

谢意!我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!

最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心的感谢！