极值的定义

函数的极值和最值

【考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值

4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数)(xf在点

0

xx及其附近有定义，

（1）若对于

0

x附近的所有点，都有)()(

0

xfxf，则)(

0

xf是函数)(xf的一个极大值，

记作

)(

0

xfy

极大值

；

（2）若对

0

x附近的所有点，都有)()(

0

xfxf，则)(

0

xf是函数)(xf的一个极小值，记

作)(

0

xfy

极小值

.

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

要点诠释：

求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数)(xf

；

③求方程0)(



xf的根；

④检查

'()fx

在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大

值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数()yfx在闭区间],[ba上连续，则)(xf在],[ba上必有最大值和最小值；在开区

间),(ba内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值.如

1

()(0)fxx

x



.

要点诠释：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：

若函数

()yfx

在闭区间],[ba有定义，在开区间

(,)ab

内有导数，则求函数

()yfx

在

],[ba上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数)(xf在),(ba内的导数)(xf

；

（2）求方程0)(



xf在),(ba内的根；

（3）求在),(ba内使0)(



xf的所有点的函数值和)(xf在闭区间端点处的函数值)(af，

)(bf；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数

()yfx

在闭区间],[ba上的最大值，最小

者为函数

()yfx

在闭区间],[ba上的最小值.

【典型例题】

类型一：利用导数解决函数的极值等问题

例1.已知函数.,33)(23Rmxxmxxf若函数1)(xxf在处取得极值，试求m的

值，并求)(xf在点))1(,1(fM处的切线方程；

【解析】2'()363,.fxmxxmR

因为1)(xxf在处取得极值

所以

'(1)3630fm

所以

3m

。

又

(1)3,'(1)12ff

所以

)(xf

在点

))1(,1(fM

处的切线方程

312(1)yx

即

1290xy

.

举一反三：

【变式1】设a为实数，函数22,xfxexaxR．

(1)求fx的单调区间与极值；

(2)求证：当

ln21a

且

0x

时，221xexax．

【解析】（1）由()22,xfxexaxR知()2,xfxex



R．

令()0fx



，得ln2x．于是当x变化时，(),()fxfx



的变化情况如下表：

x

(,ln2)

ln2

(ln2,)

()fx



－0+

()fx

单调递减

2(1ln2)a

单调递增

故

()fx

的单调递减区间是

(,ln2)

，单调递增区间是

(ln2,)

，

()ln2fxx在处取得极小值，极小值为ln2(ln2)2ln222(1ln2).feaa

(2)证明：设2()21xgxexax，

xR

于是()22xgxexa



，xR

由(1)知当

ln21a

时，

()gx



最小值为

(ln2)2(1ln2)





于是对任意

xR

，都有

()0gx





，所以

()gx

在R内单调递增．

于是当ln21a时，对任意(0,)x，都有()(0)gxg．

而

(0)0g

，从而对任意

(0,),()0xgx

．

即2210xexax，故221xexax．

【变式2】函数()fx的定义域为区间（a，b），导函数'()fx在（a，b）内的图如图所

示，则函数()fx在（a，b）内的极小值有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】由极小值的定义，只有点B是函数

()fx

的极小值点，故选A。

类型二：利用导数解决函数的最值问题

【高清课堂：函数的极值和最值394579典型例题三】

例2.已知函数2()(),xfxxmxme其中

mR

。

（1）若函数

()fx

存在零点，求实数m的取值范围；

（2）当0m时，求函数()fx的单调区间；并确定此时()fx是否存在最小值，如果

存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】（1）因为函数

()fx

存在零点，则20xmxm有实根，

240mm，即04mm或

（2）当0m时，函数定义域为R

2

2

()(2)()

(2)

(2)

xx

x

x

fxxmexmxme

xxmxe

xxme









由()0fx



，则02xxm或

由

()0fx





，则02xxm或

由

()0fx





，则20mx

列表如下：

x

(,2)m

2m

(2,0)m

0

(0,)

'()fx

+0-0+

()fx

增极大值减极小值增

所以

()fx

在

(,2)m

，

(0,)

上单调增，在

(2,0)m

上单调减。

又知当2xm且时，()0fx；0x且时，()0fx；

而

(0)0fm

，所以

()fx

存在最小值

(0)fm

.

举一反三：

【变式】已知函数2()1fxax(

0a

),3()gxxbx.

(1)若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求,ab的值;

(2)当24ab时,求函数()()fxgx的单调区间,并求其在区间(,1]上的最大值.

【解析】(1)由

1c，

为公共切点可得:2()1(0)fxaxa,

则()2fxax



,

1

2ka,

3()gxxbx,则2()=3gxxb



,

2

3kb,



23ab①

又(1)1fa,(1)1gb,



11ab,即ab,

代入①式可得:

3

3

a

b











.

(2)Q24ab,

设322

1

()()()1

4

hxfxgxxaxax

则22

1

()32

4

hxxaxa





,令

()0hx





,

解得:

12

a

x

,

26

a

x

;

Q

0a,

26

aa

,

原函数在

2

a









，单调递增,在

26

aa









，单调递减,在

6

a









，上单调递增

①若

1

2

a

≤

,即02a≤时,最大值为2

(1)

4

a

ha;

②若

1

26

aa



,即26a时,最大值为1

2

a

h









③若

1

6

a

≥

时,即6a≥时,最大值为1

2

a

h









.

综上所述:当02a，时,最大值为

2

(1)

4

a

ha;当2,a时,最大值为1

2

a

h









.

例3.设32

11

()2

32

fxxxax

．

（Ⅰ）若

()fx

在

(,







）

上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（Ⅱ）当

02a

时，

()fx

在[1，4]上的最小值为

16

3



，求

()fx

在该区间上的最大值．

【解析】（Ⅰ）由

2

2

11

()22

24

fxxxaxa











．

当

2

,

3

x











时，

()fx



的最大值为

22

2

39

fa











；

令

2

20

9

a

，得

1

9

a

，

所以，当

1

9

a

时，

()fx

在

2

,

3









上存在单调递增区间．

（Ⅱ）令()0fx



，得两根

1

118

2

a

x



，

2

118

2

a

x



．

所以()fx在

1

(,)x，

2

(,)x上单调递减，在

12

(,)xx上单调递增．

当

02a

时，有

12

14xx，

所以()fx在[1，4]上的最大值为

2

()fx．

又

27

(4)(1)60

2

ffa，即(4)(1)ff，

所以()fx在[1，4]上的最小值为

4016

(4)8

33

fa

，

得

1a

，

2

2x，从而

()fx

在[1，4]上的最大值为

10

(2)

3

f

．

举一反三：

【变式1】设函数

22

()log(1)log(1)(01),fxxxxxx求)(xf的最小值;

【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）

22

'()(log)'[(1)log(1)]'fxxxxx

2222

11

loglog(1)loglog(1)

ln2ln2

xxxx

令

1

'()0

2

fxx得

当

1

0

2

x

时，

'()0fx

,∴

()fx

在区间

1

(0,)

2

是减函数；

当

1

1

2

x

时，

'()0fx

,∴

()fx

在区间

1

(,1)

2

是增函数.

∴()fx在

1

2

x时取得最小值且最小值为

1

()1

2

f.

【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－

2

3

与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。

【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b

由f?（

2

3

－

）＝

124

ab0

93

－＋＝，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝

1

2

－

，b＝－2

f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），

函数f（x）的单调区间如下表：

x

（－?，－

2

3

）－

2

3

（－

2

3

，1）

1（1，＋?）

f?

（x）

＋0－0＋

f（x）?

极大

值

?

极小

值

?

所以函数f（x）的递增区间是（－?，－

2

3

）与（1，＋?），递减区间是（－

2

3

，1）

（2）f（x）＝x3－

1

2

x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，

当x＝－

2

3

时，f（x）＝

22

27

＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大

值。

要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，

解得c?－1或c?2。

类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用

例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆

柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80

3



立方米，且2lr．假设该容

器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部

分每平方米建造费用为

(3)cc

千元．设该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r．

【解析】(1)设容器的容积为V，

由题意知23

4

3

Vrlr

，又

80

3

V





，

故

3

222

4

804420

3

333

Vr

lrr

rrr















．

由于

2lr

，因此

02r

．

所以建造费用22

2

420

234234

3

yrlrcrrrc

r











，

因此2

160

4(2)ycr

r





，

02r

．

(2)由(1)得3

22

1608(2)20

8(2)

2

c

ycrr

rrc



















，02r．

由于3c，所以20c，

当3

20

0

2

r

c





时，3

20

2

r

c





．

令3

20

2

m

c





，则m＞0，

所以22

2

8(2)

()()

c

yrmrrmm

r







．

①当02m即

9

2

c

时，

当rm时，

0y





；

当

(0,)rm

时，

0y





；

当

(,2)rm

时，

0y





，

所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当

2m

即

9

3

2

c

时，当

(0,2)r

时，

0y





函数单调递减，

所以r=2是函数y的最小值点，

综上所述，当

9

3

2

c时，建造费用最小时2r，

当

9

2

c时，建造费用最小时3

20

2

r

c





．