圆心距

初中数学圆的知识点

初中数学圆的知识点1

①直线和圆无公共点，称相离。AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，

d

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一

的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方

法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1.x2，

并且规定x1

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;

初中数学圆的知识点2

圆的知识：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：

(1)如定义(1)中，该定点为圆心

(2)如定义(2)中，绕的那一端的端点为圆心。

(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d

表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表

示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对

称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循

环小数(无理数)，用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距

也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，

所对的弦心距也相等。

初中数学圆的知识点3

一.圆的相关概念

1.圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A

随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2.直线圆的与置位关系

1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切

2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角

4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心

5.垂于直径半直线必为圆的的切线

6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线

7.垂于直径半直线是圆的的切线

8.圆切线垂的直过切于点半径

3.圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二.垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

三.弦、弧等与圆关于的定义

1.弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)

2.直径

经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)

直径等于半径的2倍。

3.半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4.弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的'弧叫做劣弧(多用两个

字母表示)

四.圆的对称性

1.圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2.圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1.圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2.弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦

心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦

心距中有一组量相等，那它们所对应的其余各组量都分别相等。

六.圆周角定理及其推论

1.圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2.圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的

弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那这个三角形是直角三角

形。

七.点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d

d=r点P在⊙O上;

d>r点P在⊙O外。

八.过三点的圆

1.过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2.三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3.三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角

形的外心。

4.圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)

圆内接四边形对角互补。

九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设

不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的

割线，公共点叫做交点;

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的

切线，

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那：

直线l与⊙O相交d

直线l与⊙O相切d=r;

直线l与⊙O相离d>r;

十一.切线的判定和性质

1.切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2.切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二.切线长定理

1.切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的`线段的长叫做这点到圆的

切线长。

2.切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两

条切线的夹角。

十三.圆和圆的位置关系

1.圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那就说这两个圆相交。

2.圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3.圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那

两圆外离d>R+r

两圆外切d=R+r

两圆相交R-r

两圆内切d=R-r(R>r)

两圆内含dr)

4.两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的

连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

十四.三角形的内切圆

1.三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2.三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内

心。

十五.与正多边形关于的概念

1.正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2.正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3.正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4.中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十六.正多边形和圆

1.正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆

就是这个正多边形的外接圆。

十七.正多边形的对称性

1.正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过

正n边形的中心。

2.正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3.正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八.弧长和扇形面积

1.弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2.扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3.圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

初中数学圆解题技巧

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。