局部保号性

1/24

微积分

第一章函数、连续、极限

一、函数：

1.函数的性态：

有界性——区间内连续函数必有界，反之不然。

同区间内导数有界则原函数有界。

区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。

方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。

单调性——单调函数一定有反函数且单调性相同。

单调函数的复合函数仍然是单调函数。

单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。

方法：利用导数符号分析。

周期性——f(x+T)=f(x)

以T为周期的可导函数，其导数以T为周期，但原函数不一定为周期函数。

以T为周期的连续函数：

方法：定义，利用常见函数判断（三角函数）。

奇偶性——前提：定义域关于原点对称。

奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶

奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数

奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。

求导后变换奇偶性。

f(x)为偶f`(x)为奇，f(x)为奇f`(x)为偶。

若f(x)定义域关于原点对称，则：

f(x)=

1

2

[f(x)-f(-x)]+

1

2

[f(x)+f(-x)]式中前者为奇，后者为偶。

方法：定义

2.相关：

反函数——单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x对称

求定义域——分式中分母不为0，

根式中负数不能开偶次方根，

对数中底数大于0不等于1，真数大于0，

arcsinx与arccosx中-1≤x≤1

tanx，cx中x≠kπ+

π

2

，cosx与cscx中x≠kπ

求表达式——换元法，分段函数分段求。

二、极限

1.数列的极限：

2/24

定义——给定数列｛X

n

｝及常数a，若对于任意给定的正数ε＞0，总存在正整数N，使

得当n>N时，有|X

n

－a|＜ε恒成立，则称常数a为数列｛X

n

｝的极限，或者称数列｛X

n

｝

收敛于a，极为。

性质——唯一性：数列收敛则极限唯一。

有界性：收敛数列一定有界。

保号性：如果，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，都

有Xn＞0（或Xn＜0）。如果，，且a＞b，那么存在正

整数N，当n＞N时，都有Xn＞Yn。

如果数列收敛于a，那么此数列的任意子数列都收敛于a。

求法——利用通向表达式转化为函数进行计算，若，则。

若数列通项是n项和或积时，可利用积分定义，设f(x)在[a,b]上连续，则：

2.函数的极限：

定义——

性质——唯一性：有极限则极限唯一。

局部有界性：X→X

0

时f(x)→A，则f(x)在X

0

的某去心邻域内有界。

局部保号性：X→X

0

时f(x)→A，A＞0（或A＜0），则在x

0

的某去心邻域内f(x

＞0（或f(x)＜0）。反之亦然。

求法——化简：无穷小量等量代换，分子分母同时除以最高次的项，根式有理化

洛必达法则

导数的定义

利用两个重要极限变形

幂指函数极限：

变量代换：题设x时，设往往可以简化计算

带皮亚诺余项的泰勒公式展开：

；

；

；

利用左右极限求极限：

分段函数：绝对值函数，取整函数[x]，最大最小，符号函数sgn(x)，且求分段点的

极限时，要从左右极限入手

当极限式中包含，，时，要从

，入手

含参变量的极限应考虑参变量的范围

求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等：

，

3/24

，

3.无穷小量与无穷大量

性质——，其中是此极限过程下的无穷小量。

有限个无穷小量的和、积均为无穷小量

无穷小量×有界量仍为无穷小量。

比较——同一变化中，≠0，则对于

若为0，则称是的高阶无穷小，记作＝o()

若为，则称是的低阶无穷小。

若为1，则等价。

若为常数C，则同阶。

若，则则称是的k阶无穷小

等价无穷小——

乘除因子项可直接替换等价无穷小，加减项不可。

无穷大量——当n时，按照趋向无穷的速度越来越大排列的函数：

，，，，

4.极限的运算

四则运算——若，，则：

&

&

若存在但不存在，则和可能存在也可能不存在。

重要结果——；；；

，a＞1；

，

，

5.两个重要极限：

或

设，则。

设f(x)，g(x)，则

（式）

4/24

或

6.极限存在准则：

单调有界准则——单调不增或不减，且有上界或下界的数列｛Xn｝必有极限。

夹逼准则——如果数列｛Xn｝｛Yn｝｛Zn｝满足

Yn≤Xn≤Zn（n=1，2…）；

，，则存在且等于

函数的极限存在准则类似。

7.洛必达法则：

定义——

注意——只有，的未定式才可使用。

尽量结合等价无穷小替换、变量替换简化运算。

非零因子项（乘或除项）的极限用四则运算法则先求出后再使用洛必达法则。

三、函数的连续与间断

1.连续的定义

x

0

点处——x

0

的某邻域，若，则f(x)在点x

0

处连续。左连续与右连续。

开区间连续——对于任意x

0

∈(a,b)，f(x)在x

0

连续，则称f(x)在(a,b)内连续

闭区间上连续——f(x)在(a,b)连续，且，

半开半闭区间上连续——

应用——判断抽象函数的连续性

2.连续的条件

同时满足f(x)在x

0

点有定义，存在，且

f(x)在x

0

点连续f(x)在x

0

点既左连续，又右连续。

3.间断点

定义——不满足连续三个条件的点

分类——

第一类间断点第二类间断点

可去间断点：左右极限存在且相等左右极限至少有一个不存在的点，分为无穷间

断点、震荡间断点等。

跳跃间断点：左右极限存在但不想等

判断——求出可能间断点的左右极限

4.连续函数的性质：

基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其有定义的区间内连续。

连续函数的和差积商以及复合仍为连续函数。

f(x)在[a,b]内连续，则

，在[a,b]上可导，对在[a,b]上可应用

最值、介值、零点定理。

设f(x)在x

0

处连续，若，则f(x

0

)=0，且f`(x

0

)=A

连续函数在闭区间上的性质——证明题构造F(x)后使用

有界性与最大最小值定理：闭区间内连续函数一定有界且一定能取到最大最小值。

介值定理：在[a,b]内f(a)=A，f(b)=B，C[A,B]，则(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C

闭区间上的连续函数可以取到其区间上的任意有限个函数值的平均值。

零点定理：f(x)在[a,b]内连续且f(a)·f(b)＜0，则(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=0

5/24

第二章一元函数微分

一、导数与微分

1.导数的概念

定义——设函数y=f(x)在点x

0

的某个邻域U(x

0

)内有定义，并设x

0

＋U(x

0

)。若极限

存在，则称y=f(x)在点x

0

处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x

0

处的

导数，记为f`(x

0

)，即f`(x

0

)=。也可记作y`=，或

。

左导数与右导数——或

导数与极限的联系——

f`(x

0

)=

若f`()存在，，则（在下列极限存在时）

，

，设存在。

，设存在。

设f(x)在x

0

处连续，则

，

，

，不存在

可导与连续的关系——可导函数一定连续，反之不然。

可导的充要条件——左右导数存在且相等

导数的几何意义——函数y=f(x)在点x

0

处的导数f`(x

0

)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x

0

，

f(x

0

))处的切线的斜率，即f`(x

0

)=，其中是切线的倾角。法线斜率=。

导数的经济意义——设函数f(x)可导，则导函数f`(x)称为边际函数，f`(x

0

)称为在x=x

0

点

的边际函数值，而称为f(x)的弹性函数

2.导数的计算

基本初等——

6/24

(

((

反函数的导数——反函数的导数等于直接函数的导数的倒数

复合函数的导数——

隐函数的导数——通过等式F(x，y)=0两边对x求导，y作为中间变量，按复合函数求导

变限积分的导数——设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上可导，且(

设f(x)连续，g(x)与h(x)都可导，则

对于，先提出a(x)，再命u=作积分变量变换，使得被积表

达式中不再含x（变化至上下限或提出积分号外），然后再对x求导。

设f(x)在[a,b]上可积，则在[a,b]上连续。

高阶导数——

莱布尼茨公式：

利用幂级数展开

常见函数的n阶导数：

·

，

，

，

其中为正整数

含绝对值函数的可导性——

设g(x)在x

0

连续，则函数f(x)=|x-x

0

|g(x)在x

0

处可导

设，存在，则|f(x)|在x

0

处可导

隐函数的导数——对于幂指函数可化为指数形式或者两边取对数，再两边对x求导，将

看作x的函数，用复合函数求导法则求导，整理得出y`

在导数的表达式中允许含有因变量y

隐函数求在具体一点x

0

处的导数时，先由原方程求出对应的y

0

值，再带入求导后的式

7/24

子中求出y`更为简便。

3.微分——，

二、导数的应用

1.函数的单调性与极值

单调性充分条件——f`(x)＞0，↑；f`(x)＜0，↓

极值——可能极值点就是导数为0或导数不存在的点。

极值第一充分条件——x

0

左右的f`(x)异号，则f(x

0

)处取极值。

极值第二充分条件——f(x)在x

0

处具有二阶导数且f`(x

0

)＝0，f``(x

0

)≠0，则

f``(x

0

)＜0时，f(x

0

)为极大；f``(x

0

)＞0时，f(x

0

)为极小。

最值——驻点，导数不存在的点，端点。

拐点与驻点的高阶判断：

，极小

，极大

，，是拐点

2.函数的凹凸性和拐点

凹凸性——凹弧：f``(x)＞0；凸弧：f``(x)＜0

拐点——凹弧与凸弧的分界点。拐点处f``(x)=0或f``(x)不存在

求法：f``(x)在x

0

两侧邻近符号相反，增减性改变，f``(x

0

)=0且f```(x

0

)≠0的点。

3.曲线的渐近线

水平渐近线——，则y=C为y=f(x)的水平渐近线

铅直渐近线——，则x=x

0

为y=f(x)的铅直渐近线

斜渐近线——，，则y=ax+b为曲线的斜渐近线

4.导数的经济应用

边际——求导

弹性——

三、中值定理及不等式的证明

1.微分中值定理

费马定理——设函数y=f(x)在点x

0

的某个邻域U(x

0

)内有定义，并在x

0

处可导，如果对

任意的x∈U(x

0

)，有f(x)≤f(x

0

)（或f(x)≥f(x

0

)），那么f`(x

0

)=0。

罗尔定理——如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，且f(a)=f(b)，那么

在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f`(ξ)=0。

拉格朗日中值定理——如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么

在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f(a)-f(b)=f`(ξ)(b-a)。

拉格朗日中值定理等价表达：存在θ（0＜θ＜1），使得f(a)-f(b)=f`[a+θ(b-a)](b-a)

柯西中值定理——如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，且对

任意x∈(a,b)，F`(x)≠0，那么在(a,b)内至少有一点ξ，使得

泰勒中值定理——f(x)=

2.证明P55-68

8/24

第三章一元函数积分学

一、不定积分

1.不定积分的概念

f(x)的原函数为F(x)+C

对于区间[a,b]上任一连续函数f(x)，有原函数

2.关于原函数的结论

若f(x)在[a,b]上不连续，则F(x)=即使存在，甚至可导，也不一定是f(x)在[a,b]

上的原函数。

若f(x)在[a,b]上有第一类间断点，由于导函数没有第一类间断点可知f(x)一定没有原函

数，即在[a,b]上不定积分不存在。

f(x)为奇函数↔f(x)的任意原函数F(x)为偶函数

f(x)为偶函数→f(x)的原函数中只有一个为奇函数，即。

f(x)的任意原函数F(x)为周期函数→f(x)为周期函数

f(x)是以T为周期的周期函数且

→f(x)的任意原函数是以T为周期的周期函数。

3.基本性质

或

或

4.积分公式

常用的变量代换——

三角带换：，可令，

9/24

，可令，

，可令，

根式代换：或，直接令此根式为t

包含，…，时，令此根式为（n为各根指数的最小公倍数）

倒代换：当被积函数分母的最高次幂高于分子的最高次幂时，可考虑令x=

5.第一换元法（凑微分法）

6.第二换元法

7.分段函数的积分

根据不同区间上的函数表达式分段分别积分，再利用原函数在分段点的连续性（可导一

定连续），粘合起来，即将各段上的任意常数C

i

统一成一个任意常数C。

二、定积分

1.存在条件

必要条件——存在的必要条件是f(x)在[a,b]上有界。

充分条件——存在的充分条件是f(x)在[a,b]上连续，或仅有有限个间断点且有

界。

2.几何意义

若f(x)≥0，定积分(a＜b)表示曲线y=f(x)，两条直线x=a，x=b与x轴所围成的

曲边梯形的面积。

一般地，定积分表示曲线y=f(x)，两条直线x=a，x=b所围图形面积的代数和（x

轴方面积为正，下方面积为负）

3.定积分性质

线性性——

可加性——

不等式——若f(x)0，，则；若f(x)不恒为零，则

若f(x)g(x)，，，则，不可反推

若，则

若，，则【估算】

若f(x)在[a,b]上最大值为M，最小值为m，g(x)≥0，f(x)g(x)不恒等于Mg(x)，mg(x)(x∈[a,b])，

则.

乘积的积分平方≤平方的乘积分

10/24

积分中值定理——若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ，使得

推广的积分中值定理——若f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号，则至少存在一点ξ

，使得

变上限积分的导数——

函数在区间内可积，其原函数在同区间内未必可导，但在同区间内一定连续。

牛顿-莱布尼茨定理——

要求：在区间内连续。若有间断点则分段积分。

推广的牛顿-莱布尼茨定理：设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在(a,b)内的一个原函数，

且极限F(a+0)，F(b-0)均存在，则。

5.定积分的计算

换元积分法——

分部积分法——

变限积分——见第二章第一节第2点

周期函数——见第一章第一节第1点

三角函数——

，

，

，

，

其中m，n为整数

常用公式——

，为正偶数

，为大于的正奇数

奇偶函数——若积分区间为对称区间，可拆分被积函数使其一部分具有奇偶性；

若被积函数具有奇偶性，可拆分将积分区间使其部分区间是对称的。

定积分的证明题——P95

三、反常积分

1.反常积分的计算——

加减项不能随便分开，例如

11/24

而不能写成

2.几个重要的反常积分——

若a＞0，则

，

，

，特别地

，

，

若a＞1，则

，

，

，特别地

，

，

，

，

，一般地，k收敛，k发散。

，

，

四、定积分的几何应用——微元法的应用

1.面积

直角坐标系——由曲线y=f(x)，y=g(x)[f(x)≤g(x)]，直线x=a，x=b所围图形的面积为

由曲线x=u(y)，x=v(y)[u(y)≤v(y)]，直线y=c，y=d所围图形的面积为

极坐标系——由曲线r=r()，及射线，所谓围平面图形的面积为

由曲线r=()，r=()[()()]及射线所围图形的面积为

2.体积

由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b所围成的曲边梯形

绕x轴旋转一周所得旋转体

绕y轴旋转一周所得旋转体，

由连续曲线x=u(y)，直线y=c，y=d所围成的平面图形

绕y轴旋转一周所得旋转体

绕x轴旋转一周所得旋转体，

12/24

3.函数的平均值

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的平均值为

五、定积分的经济应用

1.设边际需求为Q`(p)，则需求函数为Q(p)=

2.设边际需求为C`(Q)，则需求函数为C(Q)=

3.设边际需求为R`(Q)，则需求函数为R(Q)=

4.设总产量对时间t的变化率为，则从第a天到第b天的平均日产量为

第四章多元函数微积分学

一、多元函数微分学

1.多元函数的连续与极限

二元函数的极限（多元函数同样适用）——设二元函数z=f(x,y)在平面区域D有定义，点

(x

0

,y

0

)∈D或在D的边界上，如果动点P(x,y)以任何方式无限趋于点P

0

(x

0

,y

0

)时，f(x,y)总是无

限趋于一个常数A，则称当P(x,y)趋于点P

0

(x

0

,y

0

)时，f(x,y)以A为极限，记作

，或

，，

，或。

证明

，，

不存在的方法：当(x,y)沿不同路径趋于点(x

0

,y

0

)时，f(x,y)趋于

不同的值或不存在，或者取一条路径(x,y)(x

0

,y

0

)而limf(x,y)不存在，则

，，

不存在。

的语言表述——对，，当点满足

且时，有

，，

，其中

，，

二元函数的连续（多元函数同样适用）——若，则称二元函数

f(x,y)在点(x

0

,y

0

)处连续。如果f(x,y)在区域D上每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续。

有界闭区域上二元连续函数的性质（多元函数同样适用）——

最大值和最小值定理——在有界闭区域D上的二元连续函数，必取到最大值和最小

值。

介值定理——在有界闭区域D上的二元连续函数，必取到介于最大值和最小值之间

的任何数。

求法——

求简单二元函数的极限，判断二元函数的极限不存在

13/24

利用一元函数其极限的方法如四则运算、无穷小代换、重要极限、有界变量与无穷小量

的乘积为无穷小量，夹逼准则。作变量代换，化二元函数的极限为一元函数的极限。

一般地，若，则且，反之不然

2.偏导数与全微分

偏导数的定义——设二元函数z=f(x,y)在(x

0

,y

0

)的某邻域内有定义，若极限

存在，则称此极限值为z=f(x,y)在(x

0

,y

0

)处对x的偏导数，记为

或。对y的偏导数同理。

全微分——若函数z=f(x,y)在(x

0

,y

0

)处的全增量可表示为

，

其中A，B与，无关，，则称函数z=f(x,y)在点(x

0

,y

0

)处可微，称为

z=f(x,y)在点(x

0

,y

0

)处的全微分，记为，即。对自变量x与y约

定，，故全微分又可以写成dz=Adx+Bdy。

f(x,y)在(x

0

,y

0

)处可微的充要条件——

，，，其中

函数z=f(x,y)在点(x

0

,y

0

)处的几个概念的关系——

两个一阶偏导数在该点连续→函数在该点可微，反之不然。

→函数在该点连续，反之不然。

两个一阶偏导数在该点不连续，函数在该点也可能可微。

函数在该点可微→两个一阶偏导数存在，反之不然。

→函数在该点连续，反之不然。

函数在该点连续&两个一阶偏导数存在不能互相推出。

高阶偏导数——

求法——只需要求在一点处的偏导数时，可利用结果

，

，

，，

，

3.复合函数求导法则

基本原则：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导再乘以中间变量

对自变量的偏导数。

求二阶偏导时仍需要分别对中间变量求偏导。

中间变量为二元函数——设和在点(x,y)处偏导数存在，函数

z=f(u,v)在对应点(u.v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[]在点(x,y)处偏导数存在，

且，。

中间变量为一元函数——设z=f(u,v)有连续偏导数，一元函数和都可导，

则，这里称为对的全导数。

多维——设z=f(u,v,w)有连续偏导数，，，偏导数存在，

则，

14/24

多元函数为常数的条件——

设函数z=f(x,y)在区域D上满足，，则f(x,y)在区域D上为常数。

设函数z=f(x,y)定义在全平面上，若，则f(x,y)=；若，则f(x,y)=。

若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数，在区域D内连续，则在区域D内

抽象函数的偏导数与全微分——画出复合关系的链导图，若对某一变量求偏导数，要看

有几条路径从因变量到此变量，则求导后就有几项的和，每一条路径有几步，对应该条路径

的项就是几项的乘积。

运用合适的符号简化表达式的表示，如z=f(x+y，xy)，则，需注意的是，

，的复合关系仍同f一样。

4.隐函数的求导公式

由方程确定的隐函数——设函数F(x,y,z)在点P(x

0

,y

0

,z

0

)的某邻域内具有连续的偏导数，

且F(x

0

,y

0

,z

0

)＝0，=(x

0

,y

0

,z

0

)≠0，则方程F(x,y,z)＝0在点(x

0

,y

0

,z

0

)的某邻域内能唯一确定一

个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足z

0

=f(x

0

,y

0

)，并有，。

【当=(x

0

,y

0

,z

0

)≠0，=(x

0

,y

0

,z

0

)≠0时，可分别确定隐函数x=f(y,z)，y=f(x,z)】

由方程组确定的隐函数——设方程组确定了隐函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，

则通过等式两边对x求偏导，注意到u,v是x的函数，有，解此方

程组并设运算过程中出现的分母≠0，求出，即可。对y求偏导类似。

求法——若能够显化则显化，若不能显化则按照以下三个方法来求：

方程两边对某变量求偏导数；

方程两边求全微分，利用全微分形式不变性；

公式法：设F`

z

≠0，则由方程F(x,y,z)=0确定z是x,y可微函数，则，。

5.多元函数的极值与最值

极值的定义——若在(x

0

,y

0

)的某邻域内恒有f(x,y)≤f(x

0

,y

0

)(或≥f(x

0

,y

0

))，则称f(x,y)在点

(x

0

,y

0

)有极大值f(x

0

,y

0

)(或极小值f(x

0

,y

0

)。对于自变量的取值有附加条件的极值称为条件极值。

极值存在的必要条件——设z=f(x,y)在点(x

0

,y

0

)具有一阶偏导数，且在点(x

0

,y

0

)处有极值，

则必有f`x(x

0

,y

0

)=0，f`y(x

0

,y

0

)=0。

极值存在的充分条件(仅适用于二元函数)——设z=f(x,y)在点(x

0

,y

0

)的某邻域内具有一阶

及二阶偏导数，又f`

x

(x

0

,y

0

)=0，f`

y

(x

0

,y

0

)=0，令A=f``

xx

(x

0

,y

0

)，B=f``

xy

(x

0

,y

0

)，c=f``

yy

(x

0

,y

0

)，则

时，

(x

0

,y

0

)不是极值点；

时，

(x

0

,y

0

)是极值点，且当A＜0时，(x

0

,y

0

)是极大值点，A＞0时，(x

0

,y

0

)

是极小值点；

时，(x

0

,y

0

)不确定是否为极值点。

条件极值——拉格朗日乘数：求z=f(x,y)在条件下的可能极值点，先令

F(x,y)=f(x,y)+，

15/24

解方程组，得x,y及λ，则其中x,y就是可能极值点的坐标，

再根据问题的实际背景或比较可能极值点的函数值讨论确定，约束条件可能多于一个。

多元函数的最值及其应用——闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上

达到。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否去最值。(如可能极值点唯一，则极大(小)

值点即最大(小)值点。)

求法——

二元函数极值：

解方程组f`

x

(x

0

,y

0

)=0，f`

y

(x

0

,y

0

)=0得所有驻点；

对每一个驻点(x

0

,y

0

)，求A=f``

xx

(x

0

,y

0

)，B=f``

xy

(x

0

,y

0

)，c=f``

yy

(x

0

,y

0

)的值；

根据的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。

条件极值：拉格朗日乘数法

最值：闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部

所有驻点和偏导数不存在的点，比较这些点与边界上最值点的函数值，边界上的最值可利用

条件极值来求。实际问题根据实际背景来确定是否去最值。

6.变量替换下表达式的变形P123

7.多元函数微分学的反问题

由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参

数等。特别是已知偏导数或偏导数所满足的关系式(方程)求函数，主要有两种题型：

已知偏导数，通过不定积分求函数——

设f(x,y)具有连续偏导数，且f`

x

(x,y)=g(x,y)，f`

y

(x,y=h(x,y)，则有

已知多元函数的偏导数所满足的方程，通过变量代换，化为一元函数的导数所满足的方

程，即常微分方程，求解微分方程得到函数。

二、二重积分

1.二重积分的概念与性质

定义——设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，

…(也表示小闭区域的面积)，任取一点(，表示各小闭区域直径中的最

大值，若总存在(与的分法及(的取法均无关)，则称此极限值

为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作或，即

二重积分的几何意义——当z=f(x,y)≥0时，二重积分表示以D为底，曲面

z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则二重积分一定存在。

2.二重积分的性质

设f(x,y)，g(x,y)在有界区域D上可积，则有

(线性性)

(可加性)，其中，且D

1

与D

2

仅

16/24

在边上重叠，其他处不相互重叠。

(不等式)若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则；

；

若f(x,y)，g(x,y)在区域D上连续，f(x,y)≤g(x,y)，且f(x,y)不恒等于g(x,y)，则有严格不等式

f(x,y)≥0且推不出f(x,y)=0.但加上f(x,y)连续条件，则结论正确。

(中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点

()，使得

。

关于对称性的性质——

若D关于x轴对称，则

，当时

，当时

其中D

1

为D的上半平面部分；

若D关于y轴对称，则

，当时

，当时

其中D

2

为D的上半平面部分；

(轮换对称性)若xy互换，D保持不变时，即D关于直线x=y对称，则

只要看到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考察被积函数或其代数

和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算。

被积函数含有抽象函数时，一般可考虑用对称性分析，特别当具有轮换对称性时，往

往使用轮换对称性的公式。

3.二重积分的计算

利用直角坐标系计算——

若D：，，则

若D：，，则

根据区域D的不同形状，可先定x的变化范围，再定y的变化范围，即先对y积分再对

x积分；也可以反过来，有时候两种都可以。计算尽量简便的方法：先看被积区域的边界曲

线方程，哪个变量次幂高或哪个变量关系负载，先定哪个变量，即后对此变量积分；若被积

函数只有一个变量，一般先定此变量，即后对此变量积分。

利用极坐标计算二重积分——

令，，则，。

若积分区域为圆域或圆域的一部分，被积函数为形如，，等，可考

虑采用在极坐标系下进行计算，注意化为极坐标后，面积元素dxdy=rdrd。

极坐标下化二重积分为二次积分，一般选择的积分次序是先r后θ，定限时仍采用穿线

法，为确定θ的变化范围，令极轴沿逆时针方向转动，极轴与积分域开始接触时的θ角即为

θ的下限，离去时的θ角记为θ的上限。穿线是固定θ找r的变化范围，由于极径r≥0，故

穿线为从极点出发作射线穿过区域D，穿入时碰到的D的边界曲线r

1

(θ)为下限，穿出时离

开的D的边界曲线r

2

(θ)为上限。

17/24

由积分区域定限，大致为下述三种

若极点O在积分区域D的外部，D可以表示为，，则

，

若极点O在积分区域D的边界上，D可以表示为，，则

，

此情况中r不一定总是从0到，此时对r的积分限并不总是从0到。

若极点O在积分区域D的内部，如果D的边界方程为，则

，

4.分块函数的二重积分

形如、、、、

等的被积函数均应当做分块函数看待，利用积分的可加性分区域

积分。

5.交换积分次序及坐标系P143

两种情形——题目本身要求交换积分次序；

按原积分次序计算复杂或无法计算时，如含有，等，应后对x积分。

准确画出积分区域；

交换积分次序不能解决问题时考虑交换坐标系。

6.与二重积分相关的证明P147

第五章无穷级数

一、常数项级数

1.基本概念和基本性质

级数的定义——设有数列，表达式称为无穷级数。

令(级数的部分和数列)，若极限存在，则称级数收敛；若

不存在(包括为无穷大量)，则称发散。

对于级数，令表示其部分和数列，则——

若收敛，则，且

若，或该极限不存在，则发散。

收敛级数的和——若收敛，则其和定义为S=。

若级数收敛于S，此时称为级数的余项，

显然，如果级数收敛，则。

级数的性质——

若和都收敛，k

1

和k

2

是与n无关的常数，则也收敛，

且；

收敛级数任意添加括号后仍然收敛任意去掉(增加或改变)级数的有限项，不改变其敛散

性；

18/24

必要条件：若收敛，则

对于4个级数，，有如下结论：

两收则另外两个也收；一收一发则另外两个发散；两发则另外两个不确定；两绝收则另

外两个也绝收；一绝收一条收则另外两个条收；两条收则另外两个收敛(条收或绝收)

2.几何级数与p级数的敛散性

几何级数：，当时收敛，时发散；

p级数(或对数p级数)：

或，当时收敛，时发散。

3.正项级数(不变号)敛散性的判别法

收敛的充要条件——正项级数的部分和数列有界

若，则发散；否则进一步判断。

若，为正项级数，可考虑先利用等价无穷小(泰勒展开)化简u

n

为

v

n

，视其特点选择适当的判别法——

①比较判别法：若，，，，，为某个正整数，若

收敛，则收敛；若发散，则发散

②比较判别发的极限形式：当时，若，是同阶无穷小，则与

有相同的敛散性；若是的高阶无穷小，则由收敛可判定收敛；由

发散可判定发散。

③比值判别法：设，则

当时，收敛；

当时，发散；

当时，不确定敛散性，考虑其他方法。

设，当时，，且和都发散。即对于

任意项级数，若发散，且是由比值判别法判定的，则也发散。

④若以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性，而结合敛散的定义和性质，来考察

其敛散性。

若级数的一般项u

n

中含有参数，而级数的敛散性与参数有关时一定要讨论参数的取值。

对于正项级数：收敛与都收敛；

若收敛。则(p)一定收敛；

若收敛，则等均收敛。对一般级数不成立

4.任意项（变号）级数敛散性的判断

绝对收敛与条件收敛——

若收敛，则称绝对收敛；若发散，但收敛，则称

条件收敛。

若收敛，则一定收敛；若发散，则一定发散。

交错级数——

设u

n

＞0(n=1，2，···)，则称(或

)为交错级数。

莱布尼茨准则：u

n

单调不增，且，则

(或

)

收敛，反之不然。

绝对收敛收敛；

条件收敛→发散；

19/24

一个收敛一个发散→发散。

交错级数敛散性的判定——优先考虑莱布尼茨判别法，若不满足莱布尼茨判别法的条件，

考虑正项级数，若此级数收敛，则原交错级数绝对收敛。

任意项级数敛散性的判定——

考虑级数，用正项级数的判别法判断其敛散性：

若收敛，则绝对收敛；

若发散，则看是否是交错级数，若是，用莱布尼茨判别法判断是

否条件收敛；

若发散，也不是交错级数，或虽然是交错级数，但莱布尼茨判

别法失效，此时只能用级数的定义及性质来判定级数的敛散性。

5.数列极限敛散性的证明

由递推公式给出的数列，一般用单调有界数列必有极限来证明极限的存在

级数或收敛的充要条件是极限存在

利用比较判别法证明正项级数收敛(或发散)，根据已知所给出的u

n

具有的特性

或满足的关系式，对u

n

进行适当的放大(或缩小)，即或，而级数

由已知条件是收敛(或发散)的，也经常是p级数或几何级数。

利用级数收敛的定义证明级数的敛散性，求出部分和S

n

，并证明极限的存在性

比较判别法，比值判别法只能证明正项级数的敛散性；莱布尼茨判别法只能证明交错级

数的敛散性；而定义可以证明任意项级数的敛散性。

二、幂级数

1.定义

设为一数列，形如的级数称为的幂级数。当x

0

=0时，成为

，称为x的幂级数。

2.幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

(阿贝尔定理)若幂级数在x

1

(x

1

≠x

0

)处收敛，则对任何满足

的x，绝对收敛；若幂级数在x

1

(x

1

≠x

0

)

处发散，则对任何满足的x，发散。

(阿玛达公式)若

，则的收敛半径为

若，则收敛半径为

(当时，规定；当时，规定)

使幂级数收敛的x=x*称为该幂级数的收敛点。一个幂级数的收敛点的

集合称为该幂级数的收敛域。幂级数的收敛域一定是一个区间(可开，可闭或半开半闭)或仅

是x=x

0

一点；

幂级数的收敛区间是开区间。

若R＞0为它的收敛半径，则其收敛区间为，即(，)，再考虑

的收敛性，可求得收敛域。

3.幂级数的和函数及其在收敛区间内的基本性质

设的收敛半径为R＞0，和函数为S(x)，则在收敛区间，内

有：

连续并有任意阶导数；

(逐项微分)

20/24

逐项积分，特别地有

绝对收敛

4.函数展开称泰勒级数的充要条件

设f(x)在x

0

的某个邻域内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条

件是f(x)的泰勒公式中的余项

，是该邻域中的点，介于与之间。此时f(x)

可展开成泰勒级数：

5.几个常见函数的麦克劳林展开式(注意起始项与定义域)

，；

，；

，；

，；

，；

，)

，(该级数在

的收敛性取决于的值，需要单独判断)

6.求幂级数的和函数

求出收敛域；

通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为典型幂级数来求和；

通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质转化为关于和函数S(x)的微分方程

问题，解微分方程求出S(x)

部分和函数S(x)容易求时，也可用定义

7.求数项级数的和

幂级数法——套用现成的幂级数或构造适当的幂级数，转化为幂级数求和函数问题。对

于收敛级数，一般构造幂级数(显然要求它在x=b处收敛)，求出其和函

数S(x)，则有。而对于级数，相当于当b=1时的特殊情形。

利用收敛级数的定义及其性质——求部分和数列的极限，也经常将通项u

n

进行分解，，先求级数与的和，再根据级数的运算性质得到级

数的和。

8.函数展开称幂级数P172

21/24

间接展开法——通过适当的恒等变形、求导或积分，将函数转化为幂级数展开式已知的

函数。

求出展开式后，要写出展开式成立的区间，逐项求导或积分不改变收敛半径及收敛区间，

但是收敛区间端点处的敛散性可能会改变。

另外，利用函数幂级数展开式的唯一性，可求函数f(x)的n阶导数，特别是。

求出函数f(x)的幂级数展开式，又，根据函数幂级数展

开式的唯一性，得，即

9.经济中的应用

级数在经济中的应用主要是与复利有关。

分期复利计算公式，其中r为年利率；

连续复利计算公式；

现值公式。

第六章常微分方程与差分方程

一、常微分方程

1.基本概念

微分方程——含有未知函数、未知函数的导数的导函数与自变量之间的关系的方程，叫

做微分方程；未知函数导导函数的最高阶数称为该微分方程的阶；未知函数是一元函数的微

分方程称为常微分方程。

线性微分方程——如果一个微分方程中的未知函数及其导函数只以它们的线性组合的

形式出现(系数为已知函数)，则称该微分方程是线性的；否则称为非线性的。

n阶微分方程的一般形式为，，

，①

解出的形式为，，，。②

微分方程的解，通解——如果函数代入①或②，使之成为恒等式，即

，，，或，，，，则称函数

为微分方程①或②的解(有时还要求该函数具有直到n阶连续的导函数)；如果解

的表达式含有个数与方程阶数相等的独立常数，则称其为通解。

初始条件，特解——可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件。最常见的定解条件

是初始条件。n阶方程①或②的初始条件一般为

，，，

其中，，，···，是事先给定的。

满足初始条件的解称为特解。

微分方程的积分曲线——微分方程的解所表示的曲线称为该微分方程的积分

曲线。

2.一阶微分方程

可分离变量的方程齐次微分方程一阶线性微分方程

22/24

把自变量x的函数及

dx和因变量y的函数

和dy分离开来，分别

放在方程的两边，然后

再积分，可求得通解：

。

注意满足f(y)=0的常

值函数也是原

方程的解。

令，则，

，并经

过分离变量后，方程化

为

，

积分可得通解

注意满足f(u)=u的常数

u

0

所对应的y=u

0

x也是

方程的解。

通解公式：

3.二阶线性微分方程

设方程①

②

f(x)不恒为0时，①称为二阶非齐次线性微分方程；②称为与其对应的二阶齐次线性微

分方程。下表中，若序号成立，则对应序号成立。

通解对应④对应④

特解

，①

，②

③④

解对应①

对应②

③

，且常数④

对应③

(叠加原理)设

，分别是方程

与的特解，则是方

程的特解。

4.二阶常系数线性微分方程

形式：

解法：

先求出对应齐次方程的通解——

求特征方程：的根

1)若特征方程有相异实根，，则通解为

2)若特征方程有重根，则通解为

3)若特征方程有共轭复根，则通解为

共轭复根

根据非齐次项f(x)的形式再求一个特解，下表：

f(x)的类型特解

的形式

，

(1)0不是特征方程的根，，其中为待定的x的n次多项式；

23/24

其中为x

的n次多项式

(2)0是特征方程的单根，

(3)0是特征方程的重根，

(1)不是特征方程的根，

，其中为待定的x的n次多项式；

(2)是特征方程的单根，

(3)是特征方程的重根，

或

(1)i不是特征方程的根，

；

(1)i是特征方程的根，

，其中A，B为待定常数

方程的通解为

5.可化为微分方程求解的问题

题型——

以积分方程形式给出，经过变形、求导，去掉积分运算，转化为可解的微分方程。

以多元函数偏导数的等式给出，可利用多元函数微分学的方法，去掉偏导数符号，转化

为可解的微分方程。

解法——

对于含有变限积分的函数方程，一般先在等式两边对x求导，消去变限积分

由含有变限积分的函数方程转化为微分方程，一般隐含着初始条件，应在原方程中确定

初始条件。

由变限积分所构造的函数方程——

常见形式：，其中，为已知可导函数，，求

连续函数

一般先将原方程化为(①)，两边对x求导，得到关于f(x)的一阶线

性方程，再令x=a，代入原方程得到初始条件f(a)=h(a)，解此初值问题，即可求出f(x)。

需注意：在方程中含有两个变限积分与

，不能按照常规的思路通过一次求导，消去变限积分，一般要进行两次求导才能消

去变限积分，并转化为二阶微分方程问题。

6.微分方程的应用

题型——几何上的应用于经济上的应用，根据实际问题列出微分方程，然后求解。步骤：

根据实际要求确定要研究的量(几何量或经济量)；

找出这些量所满足的规律(几何的或经济的)；

运用这些规律列出方程；

列出初始条件，往往隐含在题目中。

二、差分方程

1.概念

给定函数，其自变量t取值为等间隔整数值，即，，，，，

则在t时刻一阶差分定义为，一阶差分的差分称为f(t)

的二阶差分，记为，即

一般地，f(t)的阶差分的差分称为f(t)在t时刻的k阶差分，即

，，，，其中

24/24

2.一阶常系数线性差分方程

形如，，，的方程，称为一阶常系数线性差分方程，其中

p为非零常数，f(t)为已知函数，

称为它对应的常系数一阶线性差分方程。

一阶常系数线性差分方程的通解为：，其中为特解。

若，则待定特解具有以下形式：

，其中当时，；当时，。

确定特解——

当时为常数，

，

，

当时，为常数，

，

，

当时为常数)，

，

，