球的表面积和体积公式

球的表面积与体积

第三课时球的表面积与体积

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.

（2）培养学生空间想象能力和思维能力.

2．过程与方法

通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.

3．情感、态度与价值

让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.

（二）教学重点、难点

重点：球的表面积与体积的计算

难点：简单组合体的体积计算

（三）教学方法

讲练结合

教学过程教学内容师生互动设计意图

新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同

复习，教师点出点题（板书）复习巩固

探索新知1．球的体积：

2．球的表面积：

师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两

个公式，思考它们都有什么特点？

生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中

球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.

师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学

习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力

典例分析例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：

（1）球的体积等于圆柱体积的；

（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.

因为，

，

所以，.

（2）因为，

，

所以，S球=S圆柱侧.

例2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面

积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）

A．6:13B．5:14

C．3:4D．7:15

【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切

于梯形ABCD.

设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知

识知，圆台的高为2R，母线长为r1+r2.

∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切点)，

∴R2=OE2=AE•BE=r1•r2.

由已知S球∶S圆台侧=4R2∶(r1+r2)2=3∶4

(r1+r2)2=

V球∶V圆台=

=故选A.

例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且

PA=PB=PC=a，求这个球的体积.

解：∵PA、PB、PC两两垂直，

PA=PB=PC=a.

∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.

又∵P、A、B、C四点是球面上四点，

∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.

∴.

∴

教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联

系各有关量的关键性要素是球的半径）

教师投影例2并读题，

师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.

生：球内切于圆台.

师：你准备怎样研究这个组合体？

生：画出球和圆台的轴截面.

师：圆台的高与球的哪一个量相等？

生：球的直径.

师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？

生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.

师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.

师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在

解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，

如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的

截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数

量关系，进而把问题解决.

教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给

予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.

师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两

两垂直的而且相等的三条棱，所以P–ABC可以看成一个正方体的一角，

四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱

的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完

成，有利于培养学生问题解决的能力.

通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题

解决的能力.

本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转

化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.

随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的

几倍？

（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.

（3）一个球的体积是100cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确

到1cm2，可用计算器).

参考答案：

1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识

归纳总结1．球的体积和表面积

2．等积变换

3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳

知识，提高学生自我整合知识的能力.

课后作业1.3第三课时习案学生独立完成固化练习

提升能力

备用例题

例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的

一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．

【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直

于截面小圆平面．

【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，

由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心．

设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．

设O1M=x，易知O1M⊥AB，则O1A=，O1C=CM–O1M=–x

又O1A=O1C

∴．解得

则O1A=O1B=O1C=．

在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，

由勾股定理得．解得．

故．

例2．如图所示棱锥P–ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，

PA=PC=，且PD是四棱锥的高．

（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

（2）求四棱锥外接球的半径．

【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球

心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的

外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心

的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．

【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设

球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它

们的高均为R．

，

，

，

S□ABCD=a2．

VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC，

，

，

所以，，

即球的最大半径为．

（2）法一：设PB的中点为F．

因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，

在Rt△PAB中，FA=FP=FB，

在Rt△PBC中，FP=FB=FC，

所以FP=FB=FA=FC=FD．

所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．

法二：球心O在如图EF上，设OE=x，EA=，

又

即球心O在PB中点F上．

【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；

求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．