参数方程公式

.

高考复习之参数方程

一、考纲要求

1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参

数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进展点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程

化为直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的

参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.

二、知识结构

<1>标准式过点Po,倾斜角为α的直线l<如图>的参数方程是











atyy

atxx

sin

cos

0

0

<2>一般式过定点P0斜率k=tgα=

a

b

的直线的参数方程是











btyy

atxx

0

0

②

在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,假如a2+b2=1,②即为标准式,此

时,｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；假如a2+b2≠1,如此动点P到定点P0的距离

是

22ba｜t｜.

直线参数方程的应用设过点P0,倾斜角为α的直线l的参数方程是











atyy

atxx

sin

cos

0

0

〔t为参数〕

假如P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,如此

<1>P1、P2两点的坐标分别是

；

<2>｜P1P2｜=｜t1-t2｜;

<3>线段P1P2的中点P所对应的参数为t,如此

t=

2

21

tt

中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜

2

21

tt

｜

<4>假如P0为线段P1P2的中点,如此

t1+t2=0.

<1>圆圆心在,半径为r的圆的参数方程是















sin

cos

rby

rax

<φ是

参数>

.

φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,φ∈［0,2π］<见图>

<2>椭圆椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

的参数方程是















sin

cos

by

ax

<φ为参数>

椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

y

的参数方程是















sin

cos

ay

bx

<φ为参数>

极坐标系在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以与计算角度

的正方向<通常取逆时针方向为正方向>,这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线

Ox叫做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,

缺一不可.

点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM

的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对<ρ,θ>叫做M点的极坐标.<

见图>

极坐标和直角坐标的互化

<1>互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

②极轴与x轴的正半轴重合

③两种坐标系中取一样的长度单位.

<2>互化公式

三、知识点、能力点提示

<一>曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化

例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最

短和最长.

解：将圆的方程化为参数方程：















sin51

cos52

y

x

〔为参数〕

如此圆上点P坐标为<2+5cos,1+5sin>,它到所给直线之距离

d=

2234

30sin15cos120





故当cos<φ-θ>=1,即φ=θ时,d最长,这时,点A坐标为<6,4>；当cos<φ-θ>=-1,即

θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为<-2,2>.

<二>极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化

.

说明这局部内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现.

例2极坐标方程ρ=

cossin32

1



所确定的图形是〔〕

解：ρ=

)

6

sin(1

2

1

1

)]cos

2

1

2

3

(1[2

1















<三>综合例题赏析

例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(

sin51

cos3













y

x

〔〕

A.<-3,5>,<-3,-3>B.<3,3>,<3,-5>

C.<1,1>,<-7,1>D.<7,-1>,<-1,-1>

解：化为普通方程得1

25

)1(

9

)3(22







yx

∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.

∴F=F<0,±4>

∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是<3,3>和<3,-5>.

应选B.

例4参数方程

A.双曲线的一支,这支过点<1,

2

1

>B.抛物线的一局部,这局部过<1,

2

1

>

C.双曲线的一支,这支过<-1,

2

1

>D.抛物线的一局部,这局部过<-1,

2

1

>

解：由参数式得x2=1+sinθ=2y

即y=

2

1

x2.

∴应选B.

例5在方程















cos

sin

y

x

<θ为参数>所表示的曲线一个点的坐标是<>

A.<2,-7>B.〔

3

1

,

3

2

〕C.<

2

1

,

2

1

>D.<1,0>

解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2

将x=

2

1

代入,得y=

2

1

∴应选C.

例6如下参数方程与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是<>

A.











ty

tx

B.











ty

tx

2cos

cos

C.



















t

t

y

tgtx

2cos1

2cos1D.



















t

t

y

tgtx

2cos1

2cos1

.

解：普通方程x2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=｜t｜≥0,B.中x=cost∈〔-1,1〕,故排除

A.和B.

C.中y=

t

t

2

2

sin2

cos2

=ctg2t=

22

11

xttg

=,即x2y=1,故排除C.

∴应选D.

例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为<>

2+22+2=4C.2+y2=4D.2+y2=4

解：将ρ=22yx,sinθ=

22yx

y



代入ρ=4sinθ,得x2+y2=4y,即x2+2=4.

∴应选B.

例8极坐标ρ=cos<





4

>表示的曲线是<>

解：原极坐标方程化为ρ=

2

1

22=ρcosθ+ρsinθ,

∴普通方程为2=x+y,表示圆.

应选D.

例9在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是<>

A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2

C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4例9图

解：如图.

⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,｜OA｜=4,l和圆相切,

l交极轴于B<2,0>点P<ρ,θ>为l上任意一点,如此有

cosθ=



2



OP

OB

,得ρcosθ=2,

∴应选B.

例104ρsin22



=5表示的曲线是<>

解：4ρsin22



=54ρ·.5cos22

2

1cos









把ρ=22yxρcosθ=x,代入上式,得

222yx=2x-5.

平方整理得y2=-5x+.

4

25

.它表示抛物线.

∴应选D.

例11极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是<>

解：由4sin2θ=3,得4·

22

2

yx

y



＝3,即y2=3x2,y=±

x3

,它表示两相交直线.

.

∴应选B.

四、能力训练

<一>选择题

ρcosθ=

3

4

表示<>

2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(

,sin2

cos2

为参数















y

x

的位置关系是<>

3.假如与<ρ,θ><ρ∈R>分别是点M的直角坐标和极坐标,t表示参数,如此如下

各组曲线：①θ=

6



和sinθ=

2

1

；②θ=

6



和tgθ=

3

3

,③ρ2-9=0和ρ=3；④

其中表示一样曲线的组数为<>

4.设M<ρ1,θ1>,N<ρ2,θ2>两点的极坐标同时满足如下关系：ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=0,如

此M,N两点位置关系是<>

θ=

2



ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是<>

6.经过点M<1,5>且倾斜角为

3



的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是

<>

A．



















ty

tx

2

3

5

2

1

1

B.



















ty

tx

2

3

5

2

1

1

C.



















ty

tx

2

3

5

2

1

1

D.



















tx

ty

2

1

5

2

3

1



























22

22

22

2

2

2

2

mm

m

by

mm

mm

ax

化为普通方程是<>

A.)(1

2

2

2

2ax

b

y

a

x

B.)(1

2

2

2

2

ax

b

y

a

x



C.)(1

2

2

2

2

ax

b

y

a

x

D.)(1

2

2

2

2

ax

b

y

a

x



ρ=2sin<θ+

6



>,如此圆心的极坐标和半径分别为<>

A.<1,

3



>,r=2B.<1,

6



>,r=1C.<1,

3



>,r=1D.<1,-

3



>,r=2

.















2

1

y

t

tx

所表示的曲线是<>















c21

2

y

tgx

<θ为参数>的渐近线方程为<>

A.y-1=)2(

2

1

xB.y=x

2

1

C.y-1=)2(2xD.y+1=)2(2x











bty

atx4

<与圆x2+y2-4x+1=0相切,如此直线的倾斜角为<>

A.

3



B.

3

2

C.

3



或

3

2

D.

3



或

3

5











pty

ptx

2

22

上的点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1+t2=0,那么M,N间的

距离为<>

A.2pB.2p

1+t2

2>C.│2p│D.2p2

13.假如点P在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M<-2xy,y2-x2>也在单位

圆上运动,其运动规律是<>

ωω,逆时针方向

ωω,逆时针方向

14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值是<>

3

ρ=

sincos2

3



与直线l关于直线θ=

4



<ρ∈R>对称,如此l的方程是<>

A．





sincos2

3



B．





coscos2

3





C．





sin2cos

3



D．





sin2cos

3





<二>填空题



















ty

tx

5

3

2

5

4

3

,如此过点<4,-1>且与l平行的直线在y轴上的截距为

.































cos1

sin

cos1

cos

y

x

〔为参数〕化成普通方程为.

.

ρ=tgθcθ表示的曲线是.











ty

tx

32

31

的倾斜角为；直线上一点P与点M<-1,2>的距离为.

<三>解答题















sin32

cos4

y

x

<θ为参数>上一点P,假如点P在第一象限,且∠xOP=

3



,求点P的坐

标.











pty

ptx

2

22

,当t∈［-1,2］时,曲线C的端点为A,B,设F是曲线C的

焦点,且S△AFB=14,求P的值.

2

2

2

y

x

=1与点B<0,-2>,过点B作直线BD,与椭圆的左半局部交于C、D两点,又过椭

圆的右焦点F2作平行于BD的直线,交椭圆于G,H两点.

<1>试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2│·│F2H│成立的直线BD是否存在?并说明理

由.

<2>假如点M为弦CD的中点,S△BMF2=2,试求直线BD的方程.















tgy

x

3

c48

<θ为参数>的左焦点和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为

4

9

,求这

椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.

24.A,B为椭圆

2

2

2

2

b

y

a

x

=1,上的两点,且OA⊥OB,求△AOB的面积的最大值

和最小值.

1624

22yx

=1,直线l∶

812

yx

=1,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上

且满足│OQ│·│OP│=│OR│2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什

么曲线.

参考答案

２=-2

2

1

>,

2

1

°,|32t|

<三>20.<

5

154

,

5

58

>；21.;

3

32

22.<1>不存在,<2>x+y+2=0；23.

5

1

<27-341max=

2

ab

,smax=

22

22

ba

ba



;

.

25.

2

5

)1(

2

5

)1(22



yx

=1不同时为零>