dx是什么

微积分基础

一：引入

【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。

分析：

①根据对称

性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立小立方体,原立

方体的中心正位于八个小立方体角点位置；电势即为八个小立

方体角点位置的电势之和，即

U1=

8U2；

那么立方体角点的电势的表达式是什么那?令电荷密度

ρ；二立方体的边长a；

方体等分为八个等大的

而根据电势叠加原理，其

导

数

s(t)=

3t+2t

第N次，我们把时间段平均分

为

N+1段，每段时间△t=N

t

+1；

一直这样进行下去，我们知道，

或者，用数学形式表示

为

△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。

lim△t=0。其中“lim”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：

t0t0

①li

t

m

0

(△t+C)=C

②limC·△t=0③limf(△t)=f(0)

t0t0

㈠物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，

求其斜率可以积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们

知道，过

△v

切线，其斜率即a=△t

.下面我们从代数上考察物理量的变化率：

例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为s=3t+2t2,试求其

t时刻的速度的表达式。(所有物理量都用国际制单位，以下同)

△s

分析：我们知道，公式v=△

△t一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很

小很小，才可近似处理成瞬时速度。

s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)

△s3△t+4t△t+2△tv=

△t=

△t=3+4t+2△t

当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函

数关系

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：

①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；

②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式；

③求出△y=y1-y0=f(t+△t)-f(t)；

△yf(t+△t)-f(t)

④求出z=

△

t

=

△

t；

⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡无穷小

△s△QN△φ

当△t取很小时，可以用V=△t

求瞬时速度，也可用i=△t

求瞬时电流,用ε=△

△tφ求瞬时感应电动势。下面，我们来理解

△t：

△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△

t。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=t

2；

第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=t

3；

第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=t；

4

△s=s(t+

△t)-s(t)=3(t+

2

△t)+2(t+△t)2-3t-2t

2

2=3△t+4t△t+2△t

④li

t

m

0f(t+△t)=f(t)

⑤lim

t0

(x0)

；③1

cosx

sin(△t)

△t

1

2xx2；④ln1xx；⑤e1x

2

解另一物理量，如v=

dt、a=dt、i=dt

ε=Nd

dФt等，甚至不限于对时间求导，如F=d

dW

x

dUdmEx=

dx、ρ=

dl等。

来求物理量变化率

的

那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值(导数)了。同学

们

d(u±v)du

①=

dv

dt

u

③d(

dvu

t)

du

·v-u

dt

dvu

dtv

d(u·v)du

②=dt

dt

⑵常见函数的导数

①d

d

C

t=0(C为常数)；

dv

dt

dcost

④

dt=-sint；

n

dtn-1

②dt=nt(n为实数)；

t

det

⑤dt=e；

dsint

③dt=cost；

⑶复合函数的导数

在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。

du(v(t))=du(v(t))dt

=dv(t)

dv(t)

dt

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式

法则。

【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，

质点在坐

2π

标原点附近往复运动，最大位移为A(A称为振幅)，周期为

ω

(ω称为角频率)，物理上把

这种运动叫简谐运动。请完成以下几问：

①求出t时刻的速度v

㈢导数

前面我们用了极限“lim”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:t0

z=litm0△

y

t,并简记为z=d

dy

t,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求

这个dt(也可以是dx、dv、dm等)其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用lim

t0

瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。

如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，

可以课后推导以下公式：

⑴导数的四则运算

附录』常用等价无穷小关系

①sinxx；②tanxx

：微分和积

为充电和放电，我们

先考

电的电量为Q0，若让

该

㈠简单问题

【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本

工作方式察电容器放电时的情况。某电容为C的

电容器，其已充电容与另一个阻值为R的的电阻

串联起来，该电容器将

Q0→Q1

②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q满足关系式：

④联立上式，有

⑤进行公式变形，

di

dx

同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i=

di

？

或者说什么函数的导数等于函数本

身？

我们观

察到，

只有

x

y=Ce形式的函数才满足i=

di

dx

关系，C为待定常数。

故可以

知道，

x-t/CR

e=Ce

当t=0

时，

Q0

U0=C

0

，i0=U

R

0=C

Q

R

0；而把t=0

代人，得

-t/CRQ0

i=Ce=C；故C=

CR

转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t的变化关系如

何？分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q，即q=Q0-Q1；

dq

i=dt

③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi，那么q=Q0-

CRidqd(Q0-CRi)di

i===-CR

dtdtdt

令x=-

C

t

R,则有i=-CRd

di

t=

CRdt

Q0-t/CR所以，流过电阻R的电流随时间t的变化关系为：i=0

e

CR

【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t的变化关系

如何？㈡微分

1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少

足够小时，电流计就检测不到有电流了。

didi

2、对于i=-CR或i=，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数

dtdx

关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0之类的初始条件。

3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。

下面我们用微元法的方式来处理这个问题。

在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t

内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q=i△t。对电容有Q=CU=CR，i△Q=

ＣＲ△i；由电量守恒，△Q=－△q，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语

言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi（dt和di称之为微分）,数学变形为i=-CR

d

d

t

i，即以

上解法中的微分方程。

微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F（t），它的极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时

间微分dt满足关系式：dF=dFdt，其中dF为F对t的导数。

dtdt

面是常见的微分公式与微分运算法则：

①dc0②d

n

x

nx

n1

dx

③dsinx

cosxdx

④dcosxsinxdx

⑤d

xe

e

x

dx

⑥duv

dudv

⑦dcucdu⑧d

uvvduudv

⑨d

u

v

vduudv

2v

idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对it0

①从几何上看，对于i-t图像，q=lim∑i△t=idtt0

就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q=i△t，

变化的电流，用△q=i△t来计算，发现有一小块近似三当

我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会不计，

那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。

②前面我们求导用

了

i=

dq

dt

，积分用了q=idt。可以看

积分实际是求导的逆运

算，

-t/CR

比如：q=Q0-Q=Q0(1-e),

和积分的运算关

系

dq

i=

dt

q=idt。

对于一般函

数

F，如果有f=dt，那么就有fdt=F+C。

即小块矩形面积；对于

角形面积的误差，不过

无穷逼近零，可以忽略

出，从某种程度上说，

Q0

CR

-t/CR

e满足求导

请思考，为什么积分中

①kdxkxc

②xndx

c

n1

③cosxdxsinxc

④sinxdxcosxc

由Q0=Q+q；

Q=Q0-q；

UQ

则dQ=-dq=-idt=-dt=-dt

RCR

即d

Q

Q=-C

1

Rdt；

11对等号两边积分：

dQ=1dt；

QCR

t-t/CR

有lnQ=-

CRC`，或者Q=Ce；

当t=0时，Q(0)=C=Q0；

怎么来求

1dQ呢？我们知道

Q

t

令F(t)=e，有t=lnF；

-t/CR

所以电容器电量为Q=Q0e-t/CR

t

det

=e，

则有dt=F，即F

=dt=d(lnF)；

1

那么dQ=d(lnQ)=lnQ+C。Q

1dt=？请同学们自己推导。

CR

㈢积分

在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q=i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的△

q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也

就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号

在时间上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：

会出现常数C？

面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：

⑤e

x

dxe

x

c

现在我们用微积分书写方式来来解答上题。

i

㈣定积分

【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时

间内质点发生的位移。

坐标原点开始运动；始

运动；⋯⋯。参考系位

置，然而所求止参考系

无关，也就是示。

坐标位置X=Cm处开

题目中所求的1到3

符号表示这种关系：

【练

】和

s。

分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有dsvdt3t2dt，则有：s=

t3+C；

现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且t=1s到

t=3s”也没有用上！

下面我们从物理上考察C这个常数的意义。

t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从我们令

C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开

我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止的从

t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静对任意静止

参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所那么我们就随

便选取某一参考系，使质点在零时刻从始运动，则位移与时间的

函数关系式为：s(t)=t3+C。

秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=(33+C)-(13+C)=8m。

题目中所要求的位移(速度积分)与积分式fdt

当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1→t2)=s(t2)-s(t2)。

s=∑v△t来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面

b

fdt=F(b)–F(a)。这种积分

a

1、已知导线中的电流按I=t3-0.5t+6的规律随时间t变化，式中电流和时间的单位分

别为A计算在t=1s到t=3s的时间内通过导线截面的电荷量。

【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试

求其动能。

【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服

弹簧弹力做多少功？

【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s后，

电阻产生的焦耳热是多少？

已知条件中的时间“从

=F+C中的C无关，

叫定积分。

这个相当于我们用

积。我们用一种简单