解向量

课题：向量的概念及表示

教学目标：

1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示，会用字母表示向量；理

解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念；并会

区分平行向量、相等向量和相反向量。

2、了解分类讨论、数形结合等数学思想，培养学生探究问题，解决问题的能力。

3、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生

认识客观事物的数学本质的能力。

教法方法与手段：教师讲授与学生探究相结合，讲练结合。

教学重、难点：1．向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念；

2．向量的几何表示

教学过程：

（一）问题引入：

2008年，对于中国人是刻骨铭心和兴奋鼓舞的一年！8月我们圆了百年奥运梦，2008

年9月25日，中国神舟七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功升空！航天员将在这次航天

飞行中进行太空行走，中华儿女再一次圆了民族的飞天梦,更进一步向世界诠释了中国人民

不断探索、进取、超越，百折不挠，锲而不舍，不断攀登新高峰，不断取得新成功的“强国

梦”！随着一级火箭的分离、二级火箭分离、箭船分离一系列动作的成功完成，大屏幕上显

示着火箭和飞船飞行轨迹曲线，这一刻每个中国人都激动无比！。

这里给出了最后箭船分离的示意图，二级火箭关机后，箭船组合体在O点处继续向前，在高

度约为200公里的A点处成功分离。如果箭船组合体沿着另一方向以同样的速度也向

前滑行200公里，能到达预先设定的分离点A处吗？（不能，因为方向不同）O点到A点

有一个位移，O点到B点也有一个位移。

探究：1、位移和距离的区别

2、生活中还有哪些量既有大小又有方向？

（二）概念讲解

1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

必须用数值和方向才能表示.

数量(quantity)：取定单位后只用一个实数就

能表示.

思考:平面上的线段是向量吗?

B（终点）

2．向量的表示方法：

A（起点）

(1)几何表示法：用一条有向线段AB来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，

箭头所指的方向表示向量的方向。

(2)字母表示法：

以A为起点、B为终点的向量记作：

AB（注意AB与BA的区别）

用小写字母a、b、c(黑体字)来表示.手写时写成:a

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至此，介绍了向量的文字、图形、符号三种语言。

3

AB

的长度（或称模）：线段

AB的长度叫向量

AB

的长度，记作

|AB|

．、向量的模：向量

思考:向量的模是向量还是数量?

（三）问题探究，知识建立

[巩固]

A

D

如图，O为正方形ABCD的中心，边长为1，

请以图中的字母为起点和终点，指出图中有哪些向量？

[探究]

在上面这些向量中，你能不能分别从大小和方向两方

BC

面进行分类？（学生讨论）

4、两种特殊向量：（1）1、单位向量(unitvector)：长度为1个单位长度的向量.

（2）零向量(nullvector)：长度为0的向量.记作0.（注意0与0的区

别）

思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹

是什么图形？（单位圆）

5、三种特殊关系：

（1）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量.

规定：0与任一向量平行。记作：a//b

a

bba（2）

a与b的起点平移到同一条直线上后还是平行向量吗？

（是的）我们这里研究的向量仅和大

小和方向有关与起点位置无关，称为自由向量。

思考：两向量的平行与平面几何里两直线平行有什么区别？

任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行向量又称共线向量.

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：a=b

（3）相反向量：长度相等,方向相反的向量，叫做a的相反向量,记作：a.

规定：零向量的相反向量仍是零向量.

思考：(a)?AB?

（四）数学应用：

例1.如图，O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED，OCFB都是正方形.

在图中所标出的向量中：

AB

(1)试找出与AO共线的向量；

EF

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O

DC

(2)确定与AO相等的向量；

(3)AO与DE相等吗？

解：(1)与AO共线的向量有DE,CO,BF.

（2）AOBF

(3)虽然AO//DE且AOBF,但是它们方向相反,故这两个向量并不相等.AO

与DE是相反向量。

[变1]以图中A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点

的所有向量中，与向量AO相等的向量有哪些,共几个？

解：有ED,OC,BF.，共3个.

[变2]与AO的相反向量有哪些,共几个？

解：有OA,DE,CO,FB，共4个.

例2.在图中的4×5方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点

作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与

B

AB长度相等的共线向量有多少个？（AB除

外）

(1)共有7个向量与AB相等;

(2)共有15个向量与AB共线.

A

（五）课堂练习

1、下列说法正确的是______

(1)若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合；

（2）若a、b都是两个单位向量，则ab

(3)设O是正△ABC的中心，则向量AO,BO,CO是模相等的向量；（4）

向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上

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2、判断下列说法是否正确：

若则

变题若

b,则ab;

b,ab;

：a

（1）a

（2）若a//b,则

a

b;

变题：若ab,则a//b;

（3）

若ab,bc,则ac;

变题：

若a//b,b//c,则a//c;

3、探究：

如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？

有多少种不同的方向？

解：共有6种不同的模，16种不同的方向.

（六）课堂小结

1、主要内容

向量

有向线段

向量的表示

AB或

a

向量的大小向量的方向

(长度、模)

单位向量与相等向量与相反

平行向量(共

零向量向量

线向量)

2、了解分类讨论、数形结合等数学思想，培养学生探究问题，解决问题的能力。

3、初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生认识客观事物的数学

本质的能力。

（七）课后作业

1、课本P57习题1，3，4；

2、预习下节内容

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