lg是什么

第七节对数与对数函数

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底

公式能将一般对数转化成自然对数或常用对

数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调

性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

3.知道对数函数是一类重要的函数模型.

1.以对数运算法则为依据，考查对数运算、求

函数值、对数式与指数式的互化等．

2.以考查对数函数的单调性为目的，考查函数

值的大小比较、解简单的对数不等式等，如

2008年高考T20,2011年高考T2.

3.以对数函数为载体，与导体相结合考查函数

的综合性质.

[归纳知识整合]

1．对数的定义

一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的

对数，记作log

a

N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算

(1)对数的性质(a>0且a≠1)：

①log

a

1＝0；②log

a

a＝1；③alog

a

N＝N.

(2)对数的换底公式：

log

a

b＝

log

c

b

log

c

a

(a，c均大于零且不等于1)．

(3)对数的运算法则：

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R那么

①log

a

(M·N)＝log

a

M＋log

a

N；

②log

a

M

N

＝log

a

M－log

a

N；

③log

a

Mn＝nlog

a

M.

[探究]1.试结合换底公式探究log

a

b与log

b

a，log

am

bn与log

a

b之间的关系？

提示：log

a

b＝

1

log

b

a

；log

am

bn＝

n

m

log

a

b.

3．对数函数的图象与性质

a>10

图象

定义域(0，＋∞)

值域

R

定点过点(1,0)

单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

函数值正负

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00

[探究]2.对数log

a

b为正数、负数的条件分别是什么？

提示：当









a>1，

b>1，

或









0

0

时，log

a

b为正数；

当









a>1，

0

或









0

b>1

时，log

a

b为负数．

3．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？

提示：图中直线y＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴

0

[自测牛刀小试]

1．(2012·安徽高考)(log

2

9)·(log

3

4)＝________.

解析：∵log

2

9＝2log

2

3，log

3

4＝2log

3

2，

∴原式＝4log

2

3×log

3

2＝4.

答案：4

2．(教材习题改编)函数y＝log

0.5

4x－3的定义域为________．

解析：要使函数y＝log

0.5

4x－3有意义，

则需log

0.5

(4x－3)≥0，即0<4x－3≤1

∴

3

4

答案：













x





3

4

3．(教材习题改编)不等式log

0.3

(2x－1)

0.3

(－x＋5)的解集为________．

解析：∵函数y＝log

0.3

x为减函数，

∴









0<2x－1，

0<－x＋5，

2x－1>－x＋5，

即









x>

1

2

，

x<5，

x>2.

∴2

∴不等式的解集为{x|2

答案：{x|2

4．(2009·江苏高考)已知集合A＝{x|log

2

x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取

值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.

解析：A＝{x|0

若A⊆B，则a>4.

即a的取值范围为(4，＋∞)，∴c＝4.

答案：4

5．设2a＝5b＝m，且

1

a

＋

1

b

＝2，则m＝________.

解析：由2a＝5b＝m，得a＝log

2

m，b＝log

5

m，

又

1

a

＋

1

b

＝2，即

1

log

2

m

＋

1

log

5

m

＝2，

∴

1

lgm

＝2，即m＝10.

答案：10

对数式的化简与求值

[例1](1)计算：

①log

3

4

27

3

log

5

[4

1

2log

2

10－(33)

2

3－7log

7

2]；

②2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－2lg2＋1.

(2)已知log

a

2＝m，log

a

3＝n，求a2

m＋n.

[自主解答](1)①原式＝log

3

3

3

4

3

·log

5

[2log

2

10－(3

3

2)

2

3－7log

7

2]＝









3

4

log

3

3－log

3

3

·log

5

(10－3－2)

＝









3

4

－1

·log

5

5＝－

1

4

.

②原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋lg22－2lg2＋1

＝lg2(lg2＋lg5)＋|lg2－1|

＝lg2·lg(2×5)＋1－lg2＝1.

(2)∵log

a

2＝m，log

a

3＝n，

∴am＝2，an＝3.

∴a2

m＋n＝a2

m·an＝4×3＝12.

保持本例(2)条件不变，求log

a

24的值．

解：log

a

24＝log

a

3＋log

a

8＝log

a

3＋3log

a

2＝n＋3m.

———————————————————

对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最

简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为

同底对数真数的积、商、幂的运算．

—————————————————————————————————————

—

1．求解下列各题：

(1)

1

2

lg

32

49

－

4

3

lg8＋lg245＝________；

(2)若3a＝2，则2log

3

6－log

3

16＝________；

(3)已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且log

x

m＝24，log

y

m＝40，log

xyz

m＝12，则

log

z

m的值为________．

解析：(1)

1

2

lg

32

49

－

4

3

lg8＋lg245

＝

1

2

×(5lg2－2lg7)－

4

3

×

3

2

lg2＋

1

2

(lg5＋2lg7)

＝

5

2

lg2－lg7－2lg2＋

1

2

lg5＋lg7

＝

1

2

lg2＋

1

2

lg5＝

1

2

lg(2×5)＝

1

2

.

(2)因为3a＝2，所以a＝log

3

2.

故2log

3

6－log

3

16

＝2(log

3

3＋log

3

2)－log

3

24

＝2(1＋a)－4log

3

2＝2＋2a－4a＝2－2a.

(3)由已知可得log

m

x＝

1

24

，

log

m

y＝

1

40

，log

m

(xyz)＝

1

12

，

于是log

m

z＝log

m

(xyz)－log

m

x－log

m

y

＝

1

12

－

1

24

－

1

40

＝

1

60

，

故log

z

m＝60.

答案：(1)

1

2

(2)2－2a(3)60

对数函数的图象及应用

[例2]已知函数f(x)＝log

a

(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，

则a－1、b、1三者的大小关系是________．

[自主解答]令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函

数f(x)＝log

a

g(x)是单调递增的，所以必有a＞1.

又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f(0)＜0，所以－1

＜log

a

b＜0，故a－1＜b＜1.

[答案]a－1＜b＜1

———————————————————

由对数函数的图象确定参数的方法

已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察

图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其

中所含参数的取值范围．

—————————————————————————————————————

—

2．已知函数f(x)＝









1

5

x－log

3

x，若实数x

0

是方程f(x)＝0的解，且0

1

0

，则f(x

1

)的值

为________(填写“正数”或“负数”)．

解析：由题意知，x

0

是函数y＝









1

5

x和y＝log

3

x的图象交点的横坐标，因为0

1

0

，由

图知，









1

5

x

1

>log

3

x

1

，所以f(x

1

)的值恒为正数．

答案：正数

3．设a，b，c均为正数，且2a＝log

1

2

a，









1

2

b＝log

1

2

b，









1

2

c＝log

2

c，则a，b，c从小到

大的排列是________．

解析：如图，在同一坐标系中，作出函数y＝









1

2

x，y＝2x，y＝log

2

x和log

1

2

x的图象．

由图象可知a

答案：a

对数函数的性质及应用

[例3]已知函数f(x)＝log

a

(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如

果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

[自主解答](1)∵a>0且a≠1，设t＝3－ax，则t＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t最小

值为3－2a.当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0，即a<

3

2

.又a>0且a≠1，

∴a∈(0,1)∪









1，

3

2

.

(2)t＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)在R上为减函数．

∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log

a

t为增函数．∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3

－2a，f(x)最大值为f(1)＝log

a

(3－a)，∴









3－2a>0，

log

a

3－a＝1，

即





a<

3

2

，

a＝

3

2

，

故不存在．

若将本例中“3－ax”改为“ax－1”，试讨论f(x)的单调性．

解：要使函数f(x)＝log

a

(ax－1)有意义，

则ax－1>0.

当a>1时，由ax－1>0，得x>0；

当00，得x<0.

∴当a>1时，函数的定义域为{x|x>0}；

当0

任取x

1

2

∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则

f(x

1

)－f(x

2

)＝log

a

(ax

1

－1)－log

a

(ax

2

－1)

＝log

a

ax

1

－1

ax

2

－1

.

当a>1时，0

1

－1

2

－1，∴0<

ax

1

－1

ax

2

－1

<1.

∴log

a

ax

1

－1

ax

2

－1

<0，即f(x

1

)

2

)；

当0

1

－1>ax

2

－1>0，∴

ax

1

－1

ax

2

－1

>1.

∴log

a

ax

1

－1

ax

2

－1

<0，即f(x

1

)

2

)．

∴函数f(x)＝log

a

(ax－1)(a>0，a≠1)为单调增函数．

———————————————————

利用对数函数的性质研究对数型函数

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三

方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三

是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

—————————————————————————————————————

—

4．(2012·上海高考改编)已知函数f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0

(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈

[1,2])的解析式．

解：(1)由









2－2x>0，

x＋1>0，

得－1

由0

2－2x

x＋1

<1

得1<

2－2x

x＋1

<10.

因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得

－

2

3

1

3

.

由









－1

－

2

3

1

3

，

得－

2

3

1

3

.

(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．

即函数y＝g(x)(x∈[1,2])的解析式为

g(x)＝lg(3－x)，x∈[1,2]．

4种方法——解决对数运算问题的方法

解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用的方法有：

(1)将真数化为底数(或已知对数的数)的幂的积，再展开；

(2)将同底对数的和、差、倍合并；

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆

用及变形应用；

(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.

3个基本点——对数函数图象的三个基本点

解决对数函数的图象问题，应关注三个基本点：

(1)当a>1时，对数函数的图象“上升”；

当0

(2)对数函数y＝log

a

x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，









1

a

，－1

，函数

图象只在第一、四象限．

(3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．

2个应用——对数函数单调性的应用

(1)比较对数式的大小：

①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需

对底数进行分类讨论．

②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．

③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

(2)解对数不等式：

形如log

a

x>log

a

b的不等式，借助y＝log

a

x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分

a>1与0

a

x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形

式.

数学思想——利用数形结合思想求解对数不等式问题

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，

这个联系称之为数形结合．“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结

合，主要指的是数与形之间的一一对应法则，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与

直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”，即通过抽象思维

与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目

的．

[典例](2012·新课标全国卷)当0

1

2

时，4x

a

x，则a的取值范围是________．

[解析]∵0

1

2

，∴4x>1.

又4x

a

x，∴a∈(0,1)．

则函数y＝4x与y＝log

a

x的大致图象如图所示．

∴只需满足log

a

1

2

>2即可，

解之得a>

2

2

，∴

2

2

[答案]







2

2

，1

[题后悟道]

(1)解决本题的关键是在同一个坐标系内正确画出函数y＝4x及y＝log

a

x的图象．

(2)运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循以下三个原则：

①等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转化必须是等价的，否则解题将

会出现漏解．

②双向性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，避免代数问题

进行几何分析时出错．

③简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和

是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，

准确界定参变量的取值范围．

[变式训练]

1．已知函数f(x)＝|lgx|.若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．

解析：f(x)＝|lgx|的图象如图所示，由题可设01，∴|lga|＝－lga，|lgb|＝lgb，

∴－lga＝lgb，

即

1

a

＝b，a＋b＝a＋

1

a

>2(∵a≠b)．

答案：(2，＋∞)

2．不等式log

a

x>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为________．

解析：不等式log

a

x>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2,3,4}，

则应满足









log

a

4>4－12，

log

a

5≤5－12，

得

16

5≤a<

9

4.

答案：[

16

5，

9

4)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．若a>0，a

2

3＝

4

9

，则log

2

3

a＝________.

解析：∵a

2

3＝

4

9

，∴log

2

3

a

2

3＝log

2

3

4

9

＝2.

∴

2

3

log

2

3

a＝2，即log

2

3

a＝3.

答案：3

2．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log

5

(2x＋1)的单调增区间是________．

解析：由题意知，函数f(x)＝log

5

(2x＋1)的定义域为













x





x＞－

1

2

，所以该函数的单调增

区间为









－

1

2

，＋∞

.

答案：









－

1

2

，＋∞

3．(2013·金陵中学期中)f(x)＝log

2

x2＋2值域________．

解析：令u＝x2＋2≥2，所以y＝log

2

u≥

1

2

.

答案：









1

2

，＋∞

4．在同一坐标系中，三个函数y＝log

a

x，y＝log

b

x，y＝log

c

x的图象如图所示，那么a，

b，c的大小关系是________．

解析：在图象上作出直线y＝1，则它与图象的交点的横坐标即为相应的a，b，c，从左

向右依次为b，c，a.所以a＞c＞b.

答案：a＞c＞b

5．已知函数f(x)＝lg

1－x

1＋x

，若f(a)＝b，则f(－a)等于________．

解析：易知f(x)的定义域为(－1,1)，则f(－x)＝lg

1＋x

1－x

＝－lg

1－x

1＋x

＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.

答案：－b

6．(2012·重庆高考)已知a＝log

2

3＋log

2

3，b＝log

2

9－log

2

3，c＝log

3

2，则a，b，c

的大小关系是________．

解析：a＝log

2

3＋log

2

3＝log

2

33＝

3

2

log

2

3>1，b＝log

2

9－log

2

3＝log

2

33＝

3

2

log

2

3>1，

c＝log

3

2

3

3＝1，故a＝b>c.

答案：a＝b>c

7．(2012·苏锡常镇调研)写出一个满足f(xy)＝f(x)＋f(y)－1(x，y＞0)的函数f(x)＝________.

解析：由对数运算法则log

a

MN＝log

a

M＋log

a

N可以设f(x)＝log

a

x＋b，所以f(xy)＝log

a

xy

＋b＝f(x)＋f(y)－1＝log

a

x＋log

a

y＋2b－1，所以b＝1；若f(x)为常数函数，则f(x)＝1也满足

要求．

答案：log

a

x＋1或1

8．(2012·苏锡常镇调研)已知函数f(x)＝









fx＋1，x≤2，

3－x，x＞2，

则f(log

3

2)的值为________．

解析：因为log

3

2＜1，所以f(log

3

2)＝f(log

3

2＋1)．又log

3

2＋1＜2，所以f(log

3

2＋1)＝f(log

3

2

＋2)＝3－log2

3－2

＝

3log

3

1

2

9

＝

1

18

.即f(log

3

2)＝

1

18

.

答案：

1

18

9．已知函数f(x)＝|log

2

x|，正实数m，n满足m

，n]

上的最大值为2，则m，n的值分别为________．

解析：f(x)＝|log

2

x|＝









log

2

x，x>1，

－log

2

x，0

根据f(m)＝f(n)(m1.

又f(x)在[m2

，n]上的最大值为2，

由图象知，f(m2)>f(m)＝f(n)，

∴f(x)

max

＝f(m2)，x∈[m2

，n]．

故f(m2)＝2，

易得n＝2，m＝

1

2

.

答案：

1

2

，2

10．(2013·无锡月考)若函数f(x)＝log

(a2－3)

(ax＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则实数a的

取值范围是________．

解析：首先由a2－3＞0，可得a＞3或a＜－3.当a＞3时，函数g(x)＝ax＋4在[－

1,1]上是x的增函数，则需a2－3＞1，故a＞2.又函数g(x)＝ax＋4＞0在[－1,1]上恒成立，故

g(－1)＝4－a＞0，即2＜a＜4.当a＜－3时，函数g(x)＝ax＋4在[－1,1]上是x的减函数，

则需0＜a2－3＜1，故－2＜a＜－3.又函数g(x)＝ax＋4＞0在[－1,1]上恒成立，故g(1)＝a

＋4＞0，即－2＜a＜－3.综上所述，实数a的取值范围为(－2，－3)∪(2,4)．

答案：(－2，－3)∪(2,4)

二、解答题(本大题共4小题，共60分)

11．(满分14分)(1)用log

a

x，log

a

y，log

a

z表示下列各式log

a

xy

z

，log

a

x2y

3

z

；

(2)求值

lg8＋lg125－lg2－lg5

lg10lg0.1

.

解：(1)log

a

xy

z

＝log

a

(xy)－log

a

z

＝log

a

x＋log

a

y－log

a

z；

log

a

x2y

3

z

＝log

a

(x2y)－log

a

3

z

＝log

a

x2＋log

a

y－log

a

3

z＝2log

a

x＋

1

2

log

a

y－

1

3

log

a

z.

(2)原式＝

3lg2＋3lg5－lg2－lg5

1

2

×－1

＝

2lg2＋lg5

－

1

2

＝－4lg10＝－4.

12．(满分14分)(1)若log

a

4

5

＜1(a＞0且a≠1)，求实数a的取值范围．

(2)若log

a

2＜log

b

2＜0，求a、b、1三数的大小关系．

解：(1)当a＞1时，y＝log

a

x在(0，＋∞)上是单调增函数，log

a

4

5

＜log

a

a，∴a＞

4

5

，∴a

＞1.当0＜a＜1时，y＝log

a

x在(0，＋∞)上是单调减函数，log

a

4

5

＜log

a

a，

∴0＜a＜

4

5

，∴0＜a＜

4

5

.

综上所述，实数a的取值范围是









0，

4

5

∪(1，＋∞)．

(2)用倒数法则将不等式log

a

2＜log

b

2＜0改写成0＞log

2

a＞log

2

b，由对数函数的单调性

可求得0＜b＜a＜1.

13．(满分16分)设函数y＝f(x)且lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)．

(1)求f(x)的解析式及定义域；

(2)求f(x)的值域；

(3)讨论f(x)的单调性．

解：(1)lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，

∴lgy＝3x·(3－x)．

∴y＝103

x

(3－x

)且









3x>0，

3－x>0，

⇒0

(2)∵y＝103

x

(3－x

)，

设u＝3x(3－x)＝－3x2＋9x＝－3









x－

3

2

2＋

27

4

，

则y＝10u，当x＝

3

2

∈(0,3)时，u

max

＝

27

4

，

∴u∈









0，

27

4

.∴y∈(1,10

27

4

]．

(3)当0

3

2

时，u＝－3









x－

3

2

2＋

27

4

是增函数，

而y＝10u为增函数，∴在









0，

3

2

上，f(x)是增函数，在









3

2

，3

上，f(x)是减函数．

14．(满分16分)(2012·南通模拟)已知函数f(x)＝log

a

(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上

任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．

解：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象

上，

∴－y＝log

a

(－x＋1)，即y＝g(x)＝－log

a

(1－x)．

(2)f(x)＋g(x)≥m，即log

a

x＋1

1－x

≥m.

设F(x)＝log

a

1＋x

1－x

，x∈[0,1)，由题意知，只要

F(x)

min

≥m即可．∵F(x)＝log

a

1＋x

1－x

＝

log

a







－









1＋

2

x－1

在[0,1)上是增函数，

∴F(x)

min

＝F(0)＝0，故m≤0即为所求．

1．化简下列各式：

(1)lg70－lg56－3lg

1

2

；(2)

2lg2＋lg3

1＋

1

2

lg0.36＋

1

4

lg16

.

解：(1)原式＝lg(7×10)－lg(7×8)－lg

1

8

＝lg7＋1－lg7－lg8＋lg8＝1.

(2)原式＝

2lg2＋lg3

1＋

1

2

lg0.62＋

1

4

lg24

＝

2lg2＋lg3

1＋lg

2×3

10

＋lg2

＝

2lg2＋lg3

1＋lg2＋lg3－lg10＋lg2

＝

2lg2＋lg3

2lg2＋lg3

＝1.

2．设a＝log

1

3

1

2

，b＝log

1

3

2

3

，c＝log

3

4

3

，则a，b，c的大小关系是________．

解析：由对数函数的性质知c＝log

3

4

3

＝log

1

3

3

4

，由对数函数的单调性知log

1

3

3

4

1

3

2

3

1

3

1

2

，即c

答案：c

3．对于函数f(x)＝log

1

2

(x2－2ax＋3)，解答下列问题：

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．

解：设u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.

(1)∵u>0对x∈R恒成立．

∴u

min

＝3－a2>0，

∴－30的解为R，得

Δ＝4a2－12<0，求出－3

(2)命题等价于









gx在－∞，1]上为减函数，

gx>0对x∈－∞，1]恒成立

⇔









a≥1，

g1>0

⇔









a≥1，

a＜2.

即所求a的取值范围是[1,2)．

4．已知函数f(x)＝log

4

(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．

解：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

∴log

4

(4x＋1)＋2kx＝log

4

(4－x＋1)－2kx，

即log

4

4x＋1

4－x＋1

＝－4kx.

∴log

4

4x＝－4kx，

即x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，

对一切x∈R恒成立．∴k＝－

1

4

.

(2)由m＝f(x)＝log

4

(4x＋1)－

1

2

x

＝log

4

4x＋1

2x

＝log

4







2x＋

1

2x

，

∵2x＋

1

2x

≥2，∴m≥log

4

2＝

1

2

.

故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为









1

2

，＋∞

.