二次函数求根公式

《21.2.2公式法——第一课时》教学设计

学科：初中数学

一.教材分析

本节课选自人教版义务教育教科书（2011课标版），九年级上册第二十一章

《一元二次方程》第二节《解一元二次方程》.公式法解一元二次方程是一元二

次方程中的重要内容，本节课是公式法的第一课时，要求学生发现每次解一元二

次方程都先配方的繁琐，认识公式能带来的便捷，进而解决“为什么要学习公式

法”的问题，从而能主动利用配方法推导一元二次方程的求根公式，掌握求根公

式及根的判别式的形式及用法，重点掌握利用一元二次方程的求根公式解数字系

数的一元二次方程的方法.本节课的学习也为推导根与系数的关系以及今后学习

二次函数等有关内容奠定基础.

二.教学目标的确定

结合教材内容和学生的实际情况，我从知识技能、数学思考、问题解决、情

感态度四个方面确定本节课的教学目标：

1.知识技能：

①进一步理解配方法，能用配方法推导一元二次方程的求根公式，培养运算

能力；

②了解一元二次方程根的判别式的意义，会用一元二次方程根的判别式判别

方程是否有实根和两个实根是否相等；

③了解公式法的意义，能用公式法解简单的、数字系数的一元二次方程.

2.数学思考：经历用配方法解数字系数的一元二次方程和推导一元二次方程

一般形式的求根公式的过程，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法，

并认识一般形式的应用价值.

3.问题解决：学会面对具体情境，能从数学角度发现问题和提出问题，培养

探究意识和创新精神进而解决问题，体会探索数学问题的一般方法.

4.情感态度：体会每次解一元二次方程都先配方的繁琐，感受公式法的便捷，

培养理性精神.

三.学情及重难点分析

在本节课之前，学生已经学习过用配方法求一元二次方程的解的方法，为本

节课推导求根公式打下了较好的基础.但相对于解数字系数的一元二次方程，解

字母系数的一元二次方程的过程中字母运算量大，分式运算、二次根式运算复杂

会给学生的学习带来不小挑战.根据以上分析，确定本节课的学习难点是：用配

方法推导一元二次方程的求根公式的过程，及求根公式的记忆.而教学重点是：

利用根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，并利用求根公式解简

单的、数字系数的一元二次方程.

四、教学方法的设计与实施

由于公式的推导均为字母间的运算，为了让学生能够顺利参与推演求根公式

的过程，本节课设计了三个活动，逐步由简单数字系数的一元二次方程过渡到含

三个字母系数的一元二次方程，让学生经历从特殊到一般的研究过程.

为了达到教学目标,我把教学过程设计为以下五个阶段:

具体教学过程如下：

复习回顾

发现问题

合作探究

解决问题

交流归纳

揭示新知

学以致用

举一反三

总结反思

感悟收获

教学过程

师生活动

活动

形式

设计意图

一、复习回顾发现问题

【热身训练】

用配方法解方程：2250xx

【活动一】

请每位同学编一道一元二次方程，并由同桌用配方

法求方程的解,填写以下表格：

文字表述步骤所编方程每步依据

同桌互相检查、纠错。

【师生互动】

回忆总结用配方法解一元二次方程的步骤，及需要

注意的易错点.

通过到目前为止我们所做的解方程练习，我们容易

发现方程各项系数及常数项的值对方程的根和解方程

的难易程度有直接影响，而数字系数在求解过程中，由

于计算而发生变化，使得我们不易发现各项系数及常数

项是如何影响结果的。因此，我们将方程中的系数一般

化，用字母代替，通过配方法解方程之后观察系数对根

的影响。

二、合作探究解决问题

【活动二】

用配方法解方程：

独立

完成

生生

交流

独立

完成

回顾

总结

基本计算引入，激

发学习信心.

学生自主编题，创

设开放的情境.

回顾配方法解方

程一般步骤及每

步算理为用配方

法解含字母系数

的一元二次方程

做准备.

师生交流发现问

题.

abc

a11

1b1

11c

1bc

a1c

ab1

20(0)axbxca

20xcx

210xxb

210xxa

20xxbc

20xxac

210xxab

20(0).axbxca

三、交流归纳揭示新知

通过前面的探索，我们发现，一元二次方程

20(0)axbxca的根是由方程各项的系数a、b

及常数项c决定的，24bac的值决定了方程根的情况，

所以我们称24bac为一元二次方程根的判别式，常用

希腊字母表示.

那么当0时，我们得到一元二次方程

20(0)axbxca的求根公式：

思考

交流

展示

师生

交流

推导的过程由学

生独立完成，体验

中提升运算能力.

当各项系数及常

数项是字母时，运

用配方法求解过

程中学生会经历

异分母分式的通

分、分式值为非负

数的判断以及二

次根式的化简问

题，对每一个出现

的问题均做细化

的处理，帮助学生

回忆相关知识.

明确判别式、求根

公式的名称、形式

及意义，为应用公

式解方程做铺垫.

24

.

2

bbac

x

a





2

22

2

2

2

2

2

22

0

0.

.

22

4

.

24

00

040

a

a

bc

xx

aa

bbcb

xx

aaaa

bbac

x

aa

aa

aa





























解：

方程两边同时除以，得

，

可判断，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

12

2

4

0

4

40

4

=

24

4

=

2

4

4

=

22

4

22

4

22

44

,.

22

40.

bac

a

bac

bbac

x

aa

bbac

x

a

a

bbac

x

aa

bbac

x

aa

bbac

x

aa

bbacbbac

xx

aa

bac

































只有当时，原方程有实数解.

只需当时，开平方，得

原方程的解为

当时，原方程无实数根

四、学以致用举一反三

五、总结反思感悟收获

总结：用求根公式解一元二次方程的流程

20axbxc

(a≠0)

24计算bac

240吗？bac

22

12

44

.

22

，

bbacbbac

xx

aa





方程无

实数根12

,写出xx

确定a、b、c的值

是

否

师：大家认为这个公式对于我们有什么意义呢？

预案：1.省去了配方的过程，直接把方程中的a、b、c

独立

完成

师生

互动

归纳

概括

探索发现用公式

法解一元二次方

程的一般步骤和

注意事项.

运用流程图的形

式呈现公式法解

一元二次方程的

步骤和过程，简

洁、清晰、直观，

锻炼学生的逻辑

思维，为高中学习

做铺垫.

2

2

2

1470

21

361

xx

xx

xx







()--；

()；

()-9.

22

2

12

1,4,7.

4(4)41(7)440.

4(4)44

211

221

211,211.

abc

bac

bbac

x

a

xx













解：（1）

方程有两个不相等实数根

，

即

2

22

10.

1,1,1.

4(1)41130.

xx

abc

bac









解：（2）移项，得：

原方程没有实数根.

22

2

12

9,6,1.

464(9)(1)0.

4601

22(9)3

1

.

3

abc

bac

bbac

x

a

xx













解：（3）

方程有两个相等实数根

，

即

代入即可；（补充：应该先确定的符号）

2.不解方程，就可以判断方程根的情况.

师：的确，同学们都说的非常好！

所有的一元二次方程都可以用公式法求解，所以这

是一个通法，有规律可循.如果我们不抽象、概括出一

个数学模型，那么每次都要做重复性的配方工作.抽象、

概括正是数学学习留给我们的思维品质；同时，一元二

次方程的求根公式向我们揭示了方程的根与各项系数

间的内在联系.通过运算可以完美地解决根的存在性、

根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根

公式.它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学

的美和魅力.

大家仔细观察，如果一元二次方程有两个不相等的

实数根，这两个根之间只有细微的差别，我们在以后的

学习中会继续探索一元二次方程根与系数的关系.

问题1：这节课我们学习了什么知识？有何作用？

问题2：运用本节课所学知识解决问题时要注意些什

么？

问题3：这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了

哪些数学思想？

六、作业布置

1、用公式法解下列方程

2、课后拔高题

关于x的方程有实根，则m的取

值范围是什么？

认识用配方法推

导求根公式的意

义，体会由特殊到

一般，由具体到抽

象的思维过程.同

时加深对公式的

认识，培养理性的

数学精神

培养学生概括能

力，养成良好的学

习习惯．

巩固本节课所学

内容.

24bac

2

2

2

531

179

22210

xxx

xx

xx







必做题：

选做题：

2270mxx

板书设计

21.2.2公式法（1）

用配方法推导一元二次方程的求根公式

即1.根的判别式：

2.求根公式：

本节课主要安排了以下的学生活动：发现方程的解与一元二次方程的系数有关，

激发学生的探究欲望；一元二次方程的各项系数由具体数值逐步过渡到一般化，再

运用配方法求解，自主探究推导一元二次方程的求根公式，向学生渗透由特殊到一

般的辩证唯物主义思想、分类讨论以及探索数学问题的一些常用方法.

教学设计的说明

本节课是一元二次方程求根公式的推导，通过回顾用配方法解一元二次方程，

引导学生发现方程的根与一元二次方程的系数有关.进而将一元二次方程的系数一般

化，逐步完成由简到繁、由易到难，由特殊到一般的过渡；引导学生自主探究推导

出公式，进一步体会公式法由配方法产生，不仅在操作层面上理解求根公式，更在

思维层面上认识求根公式的意义和作用.

2

22

2

2

2

2

2

22

0

0.

.

22

4

.

24

00

040

a

a

bc

xx

aa

bbcb

xx

aaaa

bbac

x

aa

aa

aa





























解：

方程两边同时除以，得

，

可判断，

2

2

2

2

4

=

24

4

=

2

4

bbac

x

aa

bbac

x

a

a









原方程可化为：

2

22

00

4040

aa

abac





可判断

①当时

2

2

2

22

12

2

4

=

22

4

22

4

22

44

,.

22

40.

bbac

x

aa

bbac

x

aa

bbac

x

aa

bbacbbac

xx

aa

bac



















原方程的解为

当时，原方程无实数根

24bac

24

2

bbac

x

a





20(0).axbxca