盛金公式

盛金公式

三次方程新解法——盛金公式解题法

。

盛金公式

Shengjin'sFormulas

一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，

总判别式：Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：

X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：

X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；

X2，X3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)

－(Y2)^(1/3))i/(6a)，

其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：

X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：

X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；

X2，X3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，

其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1

盛金判别法

盛金判别法

Shengjin'sDistinguishingMeans

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理

盛金定理

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；

当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否

存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如

下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一

个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公

式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公

式②解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式

①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此

时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，

适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，

即T出现的值必定是-1

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方

程都可以运用盛金公式直观求解。

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式

相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较

高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；

C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也

是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判

别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次

方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简

洁美。

卡尔丹公式的推导

第一步：

ax^3+bx^2+cx+d=0

为了方便，约去a得到

x^3+kx^2+mx+n=0

令x=y-k/3，

代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0，

(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k，

k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k，

所以相加后y^2抵消，

得到y^3+py+q=0，

其中p=(-k^2/3)+m，

q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

第二步：

方程x^3+px+q=0的三个根为：

x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

其中w=(-1+i√3)/2。

×推导过程：

1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=

ω^2；

2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2，

3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成

x^3+ax^2+bx+c=0的形式。

再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①，

如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，

由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个

根。

解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

不妨设

A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

则u^3=A；v^3=B，

u=A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2；

v=B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2，

但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

u1=A^(1/3)，v1=B^(1/3)；

u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；

u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，

最后：

方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

卡尔丹公式

方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）

判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。

x1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

这就是著名的卡尔丹公式。

卡尔丹判别法

当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；

当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；

当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。

根与系数的关系

设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则

x1+x2+x3=-b/a；

x1x2+x2x3+x1x3=c/a；

x1x2x3=-d/a。

一个三次方求根计算方法

下面介绍一个三次方求根计算方法：

X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3

n,n+1是下角标，A被开方数。

例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；

1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例

如2，那么：

第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1；

第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2；

第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3；

每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

一元三次方程置换群解法

一元三次方程系数和根的关系如下：

求出X,Y，后有

这是个线性方程，其中

为原方程的三个根！