椭圆弦长公式

椭圆的焦点弦长公式62399

椭圆的焦点弦长公式

222

2

21cos

2

ca

ab

FF



及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题,如何解决这类问题呢？首先我们

有命题:

若椭圆的焦点弦

21

FF所在直线的倾斜角为,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短

半轴长和焦半距,则有

222

2

21cos

2

ca

ab

FF



。

上面命题的证明很容易得出,在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距

21

FF24，过椭圆的焦点

1

F作一直线交

椭圆于P、Q两点,设XPF

1





)0(,当取什么值时,PQ等于椭圆的短轴长?

分析:由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且4a，22c，从而22b，故由焦

点弦长公式

222

2

21cos

2

ca

ab

FF



及题设可得:24

cos816

)22(42

2

2









，解得

cos22,即

arc22cos或

arc

22cos。

例2、在直角坐标系中,已知椭圆Ｅ的一个焦点为F（3,1),相应于Ｆ的准线为Y轴，直线

l通过点Ｆ，且倾斜角为

3



，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为

5

16

，求椭圆E的方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为1

)1()3(

2

2

2

2









b

y

a

cx

，又椭圆E相应于F的准线

为Ｙ轴,故有3

2

c

c

a

(1），又由焦点弦长公式有

3

cos

2

222

2



ca

ab





5

16

（2)又

222cba(３）。解由(1）、(2）、(3）联列的方程组得:42a，32b,1c,从

而所求椭圆E的方程为1

3

)1(

4

)4(22







yx

。

例3、已知椭圆Ｃ：1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0ba），直线

1

l：1

b

y

a

x

被椭圆C截得的

椭圆的焦点弦长公式62399

弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为

3

的直线

2

l被椭圆Ｃ截得的弦长是它的长轴长的

5

2

，

求椭圆C的方程。

分析:由题意可知直线

1

l过椭圆Ｃ的长、短轴的两个端点，故有822ba,(1)又由

焦点弦长公式得

222

2

cos

2

ca

ab



=

5

4a

,(2）因tan=3,得

3



，（3)

又222cba（4)。解由（1）、（2）、(３）、（4）联列的方程组得:62a，22b，

从而所求椭圆E的方程为1

26

22



yx

。