正方形对角线公式

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小学正方形面积的计算技巧

大家都知道：计算正方形的面积是用边长乘边长。这是在知道正方形的边长时所用的正

方形面积计算方法。如果正方形边长未知，给出的是正方形的对角线的长度，要求正方形的

面积，我们该怎么计算呢？下面请看：

例：一个正方形的对角线长6厘米，这个正方形的面积是多少平方厘米？

解法一：（如图一）

6÷2=3（cm）

3×3÷2×4=18（cm²）

解法二：（如图二）

6÷2=3（cm）

6×3÷2×2=18(cm²)

分析、归纳总结：

1、分析“解法一”的解题思路：

（1）、正方形的两条对角线（AC、BD）互相垂直且平分，把正方形平均分成了四个完全

一样的等腰直角三角形。

（2）、求出腰长=对角线÷2（即底和高）；

（3）、求出一个等腰直角三角形的面积；

（4）、求出四个等腰直角三角形的面积，就是正方形的面积。

（5）、如果用“c”表示正方形的对角线，则四个小直角三角形的底或高表示为“

2

c

”.那

么正方形的面积=

2

c

×

2

c

×

1

2

×4

=

2

4

c

×

1

2

×4

=

2

8

c

×4

=

2

2

c

.

2、分析“解法二”的解题思路：

（1）、正方形的一条对角线（BD）把正方形平均分成了两个完全一样的三角形。

（2）、这两个三角形的底就是这条对角线。

（3）、用对角线除以2，就得到这两个直角三角形的高（因为正方形的对角线互相垂直

且平分）。

（4）、求出一个三角形的面积，再乘2就得到正方形的面积。

（5）、如果用“c”表示正方形的对角线，则两个直角三角形的底表示为“c”，高表示为

2

“c/2”。那么正方形的面积=c×

2

c

×

1

2

×2

=

2

2

c

×

1

2

×2

=

2

4

c

×2

=

2

2

c

.

（6）、如果用“s”表示正方形的面积，那么正方形的面积计算可表示为：s=

2

2

c

.

通过对“解法一”和“解法二”的解题思路的分析、归纳、总结，我们得出结论：如果

正方形边长未知，给出的是正方形的对角线的长度，要求正方形的面积，可用“对角线的长”

乘“对角线的长”再除以2。如果用“s”表示正方形的面积，用“c”表示正方形的对角线，

那么正方形的面积计算表示为：s=

2

2

c

。

利用“s=

2

2

c

”进行正方形面积的计算，可以使某些复杂的问题简单化，教师易讲，学生

易学。下面，我们就利用“s=

2

2

c

”来解决相关问题吧。

例1：如下图，在一个周长为18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面

积是多少平方厘米？(2011年秋季学期六年级数学上册《同步指导》P39，趣味数学第（1）

题)。

解析：这个圆内最大的正方形的对角线就是圆的直径。所以，根据圆的周长求出直径，

就可以求正方形的面积。直径=周长÷π。

对角线长（直径）：18.84÷3.14=6（㎝）

正方形面积：6²÷2=18（㎝²）

答：这个正方形的面积是18平方厘米。

例2：如下图，大正方形的面积为8㎡，求阴影部分的面积是多少？（2012年春季学期

《小学毕业升学考试系统总复习》P35.例5.）

3

解析：大正方形的面积：AC×BD=8(m²)，AC、BD是小正方的对角线，AC=BD,所以小正

方形的面积：AC²÷2=4(m²)；所以，阴影部分的面积为：8-4=4(m²)或8÷2=4(m²)。

答：阴影部分的面积是4平方米。

例3：如下图，小圆半径r=2cm,大圆半径R=4cm.求阴影部分的面积。（2012年春季学期

《小学毕业升学考试系统总复习》P38.第2题.）

解析：阴影部分的面积=大正方形的面积-（环形的面积﹢小正方形的面积）。大正方形的

边长：4×2=8（cm），小正方形的对角线长：2×2=4（cm）。

列式：8×8-[3.14×（4²-2²）＋4²÷2]

=8×8-[3.14×12＋16÷2]

=8×8-[37.68＋8]

=64-45.68

=18.82﹙cm²﹚

例4：如下图，小方桌面的对角线长是1米，把它的四边撑开，就成了一张圆桌面，圆

桌面的面积有多大？撑开部分的面积是多少？（2012年春季学期《小学毕业升学考试系统总

复习》P64.例7.）

解析：圆桌面面积就是圆的面积，撑开部分的面积就是阴影部分的面积=圆桌面面积-正

方形（方桌桌面）面积。

圆桌面的面积：3.14×（

1

2

）²

=3.14×

1

4

=0.785（m²）

（方桌桌面）正方形面积：1×1÷2=0.5（m²）

撑开部分的面积：0.785-0.5=0.285（m²）

答：圆桌面的面积有0.785m²，撑开部分的面积是0.285m².

例5：如图：三角形ADC和三角形BCE都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形。求三

角形ADC与三角形BCE的面积比是多少？（2012年春季学期《小学毕业升学考试系统总复习》

P38.第三题.）

4

解析：若正方形的边长为1，因为三角形ADC和三角形BDE都是等腰直角三角形，所以

∠C=∠B=45°,DC=AD=2，BD=1.

三角形BCE的面积是以BC（3）为对角线的正方形面积的

1

2

。即：3²÷2÷2=

9

4

.

三角形ADC的面积为：2×2×

1

2

=2..

所以：三角形ADC与三角形BCE的面积比=2：

9

4

=8:9