均匀分布的方差

常见分布的期望和方差

分布类型概率密度函数期望方差

0-1分布B（1，p）ppq

二项分布B（n，p）inii

ni

qpCiXPp(1),(1,2,...,)qpin

npnpq

泊松分布P(λ)



e

i

iXPp

i

i!

(0,1,2,3...)iλλ

均匀分布U（,ab）等或

2

1

)(

1

)(

r

xf

ab

xf









2

ab2()

12

ba

正态分布N（2,）

2

2

()

2

1

()

2

x

fxe











(,0)x

2

指数分布E（λ）

,0

()

0,0

xex

fx

x













1

2

1



2分布，2()n

12

,,...N(0,1)

n

XXX相互独立，且标准都服从正态分布

2222

12

...

n

XXX

n

2n

t

分布，()tn

(0,1)XN:2()Yxn:

X

t

Yn



0

(2)

2

n

n

n





概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()

X

FxPXx







。

2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求()YfX的概率密度：()()[()]'()

YX

fyfxhyhy。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)xyFxyfuvdudv



具有以下基本性质：

⑴、是变量x，y的非降函数；

⑵、0(,)1Fxy，对于任意固定的x，y有：(,)(,)0FyFx；

⑶、(,)Fxy关于x右连续，关于y右连续；

⑷、对于任意的

11221212

(,),(,),,xyxyxxyy ，有下述不等式成立：

22122111

(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy

4、一个重要的分布函数：

1

(,)(arctan)(arctan)

23

xy

Fxy









的概率密度为：

2

222

6

(,)(,)

(4)(9)

fxyFxy

xyxy







5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：

()(,)

()(,)

X

Y

fxfxydy

fyfxydx

















边缘分布函数：

()(,)[(,)]

()(,)[(,)]

x

X

y

Y

FxFxfuydydu

FyFyfxvdxdv

















二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

6、随机变量的独立性：若(,)()()

XY

FxyFxFy则称随机变量X，Y相互独立。简称X与Y独立。

7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()

ZXYYX

fzfxfzxdxfyfzydy



其中Z＝X＋Y

8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2222

1212

(,ZaXbYNabab:。

9、期望的性质：……（3）、()()()EXYEXEY；（4）、若X，Y相互独立，则()()()EXYEXEY。

10、方差：22()()(())DXEXEX。若X，Y不相关，则()()()DXYDXDY，否则()()()2(,)DXYDXDYCovXY，

()()()2(,)DXYDXDYCovXY

11、协方差：(,)[(())(())]CovXYEXEXYEY，若X，Y独立，则(,)0CovXY，此时称：X与Y不相关。

12、相关系数：

(,)(,)

()()

()()XY

CovXYCovXY

XY

DXDY







，1

XY

，当且仅当X与Y存在线性关系时1

XY

，且

1,b>0;

1,b<0XY













当

当。

13、k阶原点矩：

()k

k

vEX

，k阶中心矩：

[(())]k

k

EXEX

。

14、切比雪夫不等式：

22

()()

(),()1

DXDX

PXEXPXEX



或。贝努利大数定律：

0

lim1

n

m

Pp

n













。

15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因

2

1

1

1

n

i

i

PX

nn



















，所以

0

1

1

lim1

n

i

n

i

PX

n















 。

16、独立同分布序列的中心极限定理：

(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和

1

n

ni

i

ZX



的分布近似于正态分布2(,)Nnn。

(2)、对于

12

,,...

n

XXX的平均值

1

1n

i

i

XX

n



，有

1

1

()()

n

i

i

n

EXEX

nn







，

22

1

1

()()

n

i

i

n

DXDX

nnn





，即独立同分布的随机

变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布()N

n







。

(3)、由上可知：lim()()()()

nn

n

PaZbbaPaZbba



。

17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意x,

lim()

n

mnp

Pxx

npq















，其中1qp。

(1)、当n充分大时，m近似服从正态分布，()Nnpnpq。

(2)、当n充分大时，

m

n

近似服从正态分布，(,)

pq

Np

n

。

18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)

19、正态总体参数的区间估计：

所估参数条件估计函数置信区间



已知

x

un









[,]xuxu

nn







未知

x

tn

s





[(1),(1)]

ss

xtnxtn

nn





未知

2

2

(1)ns









22

22

1

(1)(1)

[,]

(1)(1)

nsns

nn













12



22

12



未知

1212

12

22

2

1122

12

()()

(1)(1)

1

w

w

xynn

t

snn

nsns

s

nn













其中

12

12

11

()(2)

w

xytnns

nn





2

1

2

2





1

,



未知

22

11

22

22

s

F

s







2222

1212

1212

1

[

(1,1)(1,1)

ssss

FnnFnn









，

20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P248。