驻点和拐点

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在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如：

有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前

股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数

会有从下降到上升的反转。但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。

还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的

数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如：

“知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确，甚至错误的。

人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作

“马甲“，特别是当今“大数据”时代。但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉

数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如：

函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说

它们的定义、几何意义、联系和区别。

函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如：

f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。

函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极

小值点。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东

高考数学21题的考点）。例如：

f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数

值都比x=0时的函数值大。

且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如：

g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。函数的驻点是函数

一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一

定是函数的极值点。当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正

确。例如：

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f(x)=x^3，x=0是函数的驻点（也是零点），但不是极值点。我们常常从函

数的驻点中找极值点。

函数的拐点是函数的凹凸性发生变化的点，或者是函数二阶导数为零，且

三阶导数不为零的点。例如：

f(x)=x^3，x=0是函数的拐点（也是驻点和零点，但不是极值点）。再如：

g(x)=x^4，x=0是函数的驻点、极小值点和零点，但不是函数的拐点。

最后，需要说明的是，这里说的函数的零点、极值点、驻点和拐点都是一

个实数，并非几何意义上的点。