cx的积分

2.基本积分公式表

(1)∫0dx=C

(2)=ln|x|+C

(3)(m≠-1，x>0)

(4)(a>0,a≠1)

(5)

(6)∫cosxdx=sinx+C

(7)∫sinxdx=-cosx+C

(8)∫c2xdx=tanx+C

(9)∫csc2xdx=-cotx+C

(10)∫cxtanxdx=cx+C

(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C

(12)=arcsinx+C

(13)=arctanx+C

注．(1)不是

在m=-1的特例．

(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对

值，原因是(ln|x|)'=1/x．

事实上，对x>0，(ln|x|)'=1/x；若x<0，则

(ln|x|)'=(ln(-x))'=.

(3)要特别注意与

的区别：前者是幂函数的积分，后者是指

数函数的积分．

下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

6.复合函数的导数与微分

大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意

义．

定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=(x)分别在点y

0

=(x

0

)与x

0

可导，则复合函数z=f[(x)]

在x

0

可导，且

或(f

o

)'(x

0

)=f'(y

0

)'(x

0

)．

证．对应于自变量x

0

处的改变量x，有中间变量y在y

0

=(x

0

)处的改变量y及因

变量z在z

0

=f(y

0

)处的改变量z，（注意y可能为0）．现

z=f(y

0

)y+v，y=(x

0

)x+u，

且令

，则v=y，（注意，当y=0时，v=y

仍成立）．y在x

0

可导又蕴含y在x

0

连续，即

y=0．于是

=f'(y

0

)'(x

0

)+0'(x

0

)=f'(y

0

)'(x

0

)

为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：

(1)略去法则中的x=x

0

与y=y

0

，法则成为公式

，

其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简

单的约分过程．

(2)计算复合函数的过程：xyz

复合函数求导的过程：zyx

：各导数相乘

例2.3.15求y=sin5x的导数．

解．令u=5x，则y=sinu．于是

y'==cosu5=5cos5x．

例2.3.16求y=lncosx的导数．

解．令u=cosx，则y=lnu．于是

y'

=

．

例2.3.17求幂函数y=xm的导数，m为任意实数．

解．因y=，令u=mlnx，则y=eu．

y'

==eum

m是正整数n时，即例2.3.2．

(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：

复合函数的求值：xyzu…vw

复合函数的求导：wv…uzyx

：各导数相乘

(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，

只要做到心中有数．

例2.3.18求的导数

解．

=．

(5)链锁法则的微分形式是：df((x))=f((x))d(x)

例2.3.19求函数y=的微分

解．dy

=dsin2x=

2sinxdsinx

=2sinx

cosxdx=sin2xdx．

思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数

的构成除由基本初等函数复合之外还包含

四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.

5.导数与微分的四则运算

设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有

公式(1)(uv)'=u'v'，d(uv)=dudv．

公式(2)(uv)'=u'v+uv'，d(uv)=vdu+udv．

公式(3)(cu)'=cu'，d(cu)=cdu．

公式(4)，

(v0)．

点击此处看公式(1)－(4)的证明．

例2.3.11求y=tanx的导数

解．(tanx)'=

==c2x．

同理可得(cotx)'=csc2x．

例2.3.12求y=cx的导数．

解．(cx)'=

=cxtanx．

同理可得(cscx)'=cscxcotx．

例2.3.13求y=(1+4x)(2x23x3)的导数．

解一．y'=(1+4x)(2x23x3)+(1+4x)(2x23x3)'

=4(2x23x3)+(1+4x)(22x33x2)

=8x212x3+4x9x2+16x236x3=4x+15x248x3

解二．因y=2x2+5x312x4，故

y'=22x+53x2124x3=4x+15x248x3．

例2.3.14求函数y=(x+sinx)lnx的微分．

解．dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx

=lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx

=lnx(dx+cosxdx)+dx

=dx．

2.导数的定义

从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.

定义.设函数y=f(x)在包含点x

0

的一个开区间X(这样的开区间称为x

0

的邻域)内有定

义，y

0

=f(x

0

)．如果xXx

0

，我们称x=xx

0

0(读作delta)为自变量的改变量，

y=f(x)f(x

0

)为函数的(对应)改变量，比值

为函数的差商或平均变化率．

如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x

0

可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x

0

点关于自变量

x的导数(或微商)．记作

．

因x=xx

0

，x=x

0

+x，故还有

．

此时，曲线y=f(x)在点(x

0

，f(x

0

))的切线方程是

．

注意.x可正可负，依x大于或小于x

0

而定．

根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x

0

的导数的步骤是：

(1)计算函数在自变量x

0

+x处的函数值f(x

0

+x)；

(2)计算函数的改变量y=f(x

0

+x)f(x

0

)；

(3)写出函数的差商；

(4)计算极限，即导数值

．

例2.3.1求常数函数y=c的导数．

解．因y=y(x+x)y(x)=cc=0，差商

=0，

故=0．此处x可为任意实数，即常数

函数y=c在任意点x处的导数为0．

例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的导数．

解．因

y(x+x)=(x+x)n=xn+，

y=y(x+x)y(x)=，

故=

．

特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．

例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程．

解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切

线斜率是：y'(2)=322=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是

y8=12(x2)12xy6=0．

注．

(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可

导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，xX．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函

数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自

变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是

1，y=xn的导数是等等，分别记作c'=0，x'

=1，(xn)'=等等．

(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sinx

中的sin一样，绝不能把x看成与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(x)2来表

示x的平方而不写x2．

从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:

(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)

例2.3.4y=sinx的导数是(sinx)'=cosx，

y=cosx的导数是(cosx)'=sinx．

例2.3.5y=log

a

x(0

a

x)'

=．

特别，(lnx)'=1/x．

例2.3.6指数函数y=ax(0

特别，(ex)'=ex．

8.导数的导数--二阶导数

一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y'=f'(x)，如果它还可导，

我们又可得f'(x)的导数：(y')'=[f'(x)]'，称为y=f(x)的二阶导数，记作

y''=f''(x)，或

=

．

如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导

数被定义为

y(

n

)=(y(

n

1))'，n=2，3，…

统称为函数y的高阶导数．

例2.3.22求y=sinx的n阶导数．

解．y'=cosx=sin，用归纳法不难求出

y(

n

)=sin．

例2.3.23若s=s(t)为质点运动的路程函数，则s'(t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数

s''(t)=v'(t)=a(t)则是运动的加速度．

例2.3.24求y=arctanx的二阶导数y''．

解．y'=，y''=(1+x2)2(1+x2)'

=．

思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f'(x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如

果f'(x)还可导，那么f''(x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.

实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导

数对函数图像的影响.

7.基本初等函数的导数与微分公式

求导公式求微分公式

(1)c'=0dc=0

(2)(xm)'=mxm

-1

(3)(ax)'=axlna

(ex)'=ex

(4)(

log

a

x)'

=

(lnx)'

=

(5)(

sin

x)'=

cos

x

dxm=mxm-

1dx，mR

dax=axlnadx，0

dex=exdx

d

log

a

x=

，0

dlnx=

d

sin

x=

cos

xdx

(6)(

cos

x)'=

sin

x

(7)(

tan

x)'=

c

2x

(8)(

cot

x)'=csc2x

(9)(

c

x)'=

c

x

tan

x

(10)(

csc

x)'=cscxcotx

(11)(arc

sin

x)'

=

(12)(arc

cos

x)'

=

d

cos

x=

sin

xdx

d

tan

x=

c

2xdx

d

cot

x=

csc

2xdx

d

c

x=

c

x

tan

xdx

d

csc

x=

csc

xcotxdx

darc

sin

x=

darc

cos

x=

(13)(arc

tan

x)'

=

(14)(arccotx)'

=

darc

tan

x=

darccotx=

例2.3.20求y=arcsin的微分．

解．

．

例2.3.21求y=+arctanex的导数．

解．．

12.二元函数的导数与微分(选学）

设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实

际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看

作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏

导数．记作，事实上，按导数定义，应该

是

=

，

同理，z关于变量y的偏导数是

=

．

我们也记

．

若z=f(x，y)有连续的偏导数f

x

(x，y)，fy

(x，y)，则自变量x与y的改变量x与y

的线性表达式

fx

(x，y)x+fy

(x，y)y

称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于x，y的全微分，记作

dz=fx

(x，y)x+fy

(x，y)y．

由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx=x，dy=y，于是二元函数的微分公式是

dz=．

例2.3.30设f(x，y)=xy+x22y3，求．

解．=y+2x(把y看作常数，对x求导

数)．

=x6y2(把x看作常数，对y求导

数)．

例2.3.31求z=exsiny的全微分．

解．dz=sinydex+exdsiny

=sinyexdx+excosydy

=ex(sinydx+cosydy)．

例2.3.32设x+2y+2z2=0确定二元函

数z=z(x，y)，

求．

解．对方程x+2y+2z2=0两边求微分，

则左端得

dx+2dy+2dz2d

右端的微分是0，于是解得

dz=，

由此得，

．

13.分段函数的导数(选学）

我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．

函数y=f(x)在点x

0

的导数被定义为极限

，

这等价于=0，

记，则

=0，由此

f(x

0

+x)-f(x

0

)=[u(x)+f’(x

0

)]x，

于是[f(x

0

+x)-f(x

0

)]=

[u(x)+f’(x

0

)]x=0，

即f(x

0

+x)=f(x

0

)．如果记x=x

0

+x，则得

f(x)=f(x

0

)．

这表明函数f(x)在x

0

连续．因此有

定理．若函数y=f(x)在x

0

可导，则f(x)在x

0

连续．

因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．

例2.3.33讨论函数

在点x=0的连续性与可导性．

解．因

,

,

故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．

其次，为讨论f'(0)，我们需计算极限

．为方便计，用x代替x，为此我们

研究极限．现在，

，

．

由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0

不可导．

你能看到，在函数y=f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半

切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0

定义．设函数y=f(x)定义在区间(a,b)内，x

0

(a,b)，如果极限

存在，则称此极限为f(x)在点x

0

处的右导

数，记作

f

+

'(x

0

)=．

类似地，f(x)在点x

0

的左导数是

f

-

'(x

0

)=.

只有f

+

'(x

0

)与f

-

'(x

0

)都存在且相等时，f(x)在点x

0

才可导，且f'(x

0

)=f

+

'(x

0

)=f

-

'(x

0

)．即

有

定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，

x

0

(a,b)．则

f'(x

0

)存在f

-

'(x

0

)与f

+

'(x

0

)都存在且

相等．

左导数与右导数统称为单侧导数.

例2.3.34讨论函数

在x=0的可导性．

解．首先讨论f(x)在x=0的连续性．因

，

，

f(0)=0，

故f(x)在x=0连续．

其次，因

，

，

故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．

注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研

究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例

如考虑函数

此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'

+

(0)=-1，

g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上,上图中的原点并不属于函

数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数

是不存在的．

1.曲线的切线斜率

我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不

能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点．

为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．

说明：点P(x

0

,f(x

0

))=P(x

0

,y

0

)是曲线y=f(x)上的给定点．

点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点,可在P的两侧：在右侧时x>x

0

；在左侧时x

0

．动

直线PQ是曲线的割线．

如果动点Q无限地逼近定点P时,动直线PQ有一个极限位置T,即极限

则称PT为曲线在P点的切线．

为确定切线PT的位置,或建立PT的方程,只需确定

其斜率．由于PT是PQ的极限,从而PT的斜率是PQ斜率

的极限,极限过程是由Q→P产生的．而

Q→P即x→x

0

．

设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为,PT的斜率为

k=tan．

现在割线PQ的斜率为：

．

而切线PT的斜率为：

(PQ的斜率)

=,

由此得切线PT的方程是：yf(x

0

)=k(xx

0

)．