弦切角

弦切角

.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段

圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|

|（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，

过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，

BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，

则________。

4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O

于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则

圆心O到AB的距离是___________cm。

5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于

点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；

（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD

的延长线于E。

求证：

7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

8.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的

一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在

圆的切线，交边DC于点F，G为切点。

当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；

9.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的

切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。

10.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，

CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。

11.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN

交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。

12.如下图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过

C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝________.

13.一个圆的两弦相交，一条弦被分为12cm和18cm两段，另一

弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．

14.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与

圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R的长为________．

15.已知如下图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线

分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．

15.如下图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O

交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

(1)证明：A，P，O，M四点共圆；

(2)求∠OAM＋∠APM的大小．

16.如右图，梯形ABCD内接于⊙O，

AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.

(1)求证：AB2＝AE·BC.

(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．

17.如右图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.

18.如下图，圆O和圆O′相交于A、B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则BD＝________.

19.如右图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．

四点共圆

四点共圆的性质及判定：

判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边

为圆的直径．

判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．

判定定理3：对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆

判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，

PDBPPCAP四点共圆

判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，

PDPCPBPA四点共圆

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

即：若四边形ABCD内接于圆，则有BDACBCADCDAB.

1.如图1，⊙

1

o，⊙

2

o，⊙

3

o…都经过点A和B.点P是线段AB延长线上

任意一点，且PC，PD，PE…分别与⊙

1

o，⊙

2

o，⊙

3

o…相切于

点C,D,E,…。求证：C,D,E…在同一个圆上。

2.如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD

是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD

的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．

求证：（1）C，D，F，E四点共圆；（2）GFGEGH2．

3如图，D，E分别是AB，AC边上的点，且不与顶点重合，已

知mAE，nAC，AD，AB为方程0142mnxx的两根.

（1）证明：C，B，D，E四点共圆；

（2）若90A，4m，6n，求C，B，D，E四点所在圆的半径．

4.如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，

弦BM与CD交于点F．（1）证明：A、E、F、M四点共圆；

（2）证明：22ABBMBFAC．

C

D

A

B

F

H

E

C

B

O

A

G

D

C

A

B

E

D

F

D

C

A

O

B

E

M