r是左还是右

第九章抽象代数线性空间泛函分析

本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分，重点介绍线性空间.为了介绍

线性空间的需要，这里简略地介绍了抽象代数的初步知识，即群、环、域等基本概念及其简

单的性质.泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的，因而也不作

系统的叙述.在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外，还扼要地介绍了赋范线

性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.

在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若

当标准型等的定义、性质以及一些算法.

§1抽象代数

一、基本代数系统

[代数运算]假定对于集（见第二十一章，§1，一）A中任意元素a与集B中任意元素

b，按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A，B的一个（二

元）代数运算.集A，B也可以是同一个集，就是对A中任两个元素a，b，可以唯一确定元

素c，使bac，c可属于A或不属于A，若属于A，则称A在运算""下是封闭的.

在二元运算""下，若对A的任意两个元素a和b成立abba，则称A是可交换的.

若对A的任意三个元素a，b，c在""下，成立

cbacba)()(

，则称A是可结合的.若

运算""是通常的加法或乘法，就分别记作ba或ab.整数集中的加法和乘法都是可交换的

与可结合的，因此整数集是可交换和可结合的.

[代数系统]如果一个集A具有满足某些法则的代数运算，就称集A为代数系统.群、

环、域就是三个基本的代数系统.

二、群

[群的定义与例子]设G不是空集（见第二十一章，§1，一），对G给定一个代数运算

""，若在""之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：

（i）G在""之下是封闭的，即对每一对元素

Gba,

，则有唯一确定的元素bac，

且Gc.

（ii）G在""之下是可结合的，即对任意

Gba,

，有

cbacba)()(

（iii）在G中有一元素e，对任一Ga，满足

aaeea

（iv）对任一Ga，都有一个Ga1，满足

eaaaa11

条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的1a称为a的逆元.

注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元e

），使aea（或aea

），

对任意Ga成立.因为由此推出eeee







.因此，群中单位元是唯一的.定义中条件（iv）

可改为：每个元a有左（或右）逆元1a，使eaa1（或eaa1）成立.因为由此推出

aeaaaaa11111)()(，从而eaaaa1111)(也成立.因此，群中每个元的逆元是

唯一的.

若一个群G的乘法""可交换，则称G为交换群或阿贝耳群.特别在加法之下，交换群

称为加法群.在加法群时，""改为""，逆元1a改为负元-a，单位元称为零元，记作0.

例1整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群.

例2非零的实数集*R

对于乘法组成一个群.正的实数集)(R

对于乘法也组成一个群.

例3一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作)(FGL

n

.

例4设Ω是一个平面图形，



G

是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集，则



G

组

成一个群.



G

通称为图形Ω的对称群.

例5一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作

n

S.

事实上，若任取两个n次置换：





































nn

jjj

n

iii

n









21

2

21

1

21

,

21



2



可改写为：



















n

n

kkk

iii





21

21

2



对置换

1



和

2



，规定置换



















n

kkk

n





21

3

21



和它们对应，即

3

为

1



和

2



的乘积，记作

213



在这个乘法之下，不难推出

n

S满足群中规定的条件，因而

n

S组成一个群.

例6非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，§1，二）对于变换的乘法组成

一个群，称为集S的全变换群，记作

S

G.

S

G的子群称为S上的变换群.

[群的基本性质]

1o在群中，对任意元a，b，方程

byabax,

各有解.即11,baybax.

2o消去律成立.即若daca，则dc.

3o群中一般结合律成立.即











mn

i

i

m

j

jn

n

i

i

aaa

111

4o交换群中一般交换律成立.即

n

iiin

aaaaaa

21

21



式中

n

iii,,,

21

是n,,2,1的任一排列.

[子群]设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群.

群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若

Hba,

，则Hab1.

任意个子群的交集（见第二十一章，§1，三）是一个子群.

[循环群]一个元a的一切乘幂,,,20aaea的全体组成一个群，称为循环群.循环群

是交换群.

若序列,,,2aae中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群.若有相等的元素，即

jiaaji,

可推出G为n个元12,,,,naaae的集，即

},,,{1naaeG

这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使ean的最小正整数.

循环群的子群还是循环群.

[不变子群·陪集·商群]设H为群G的一个子群，若对每个元Gg,有

HggH

(这里

gH

表示g与H中一切元素的乘积，例如

Hhgh,

），即HgHg1，则称H为G的一

个不变子群（或正规子群）.

gH

和

Hg

分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集.因此含

同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.

把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H.

拉格朗日定理有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数.

G的不变子群H的商群HG/的阶为G的阶被H的阶除所得的商.

交换群的一切子群都是不变子群.

若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群.

[同构与自同构]设两个群

21

,GG

，若使

1

G

中任意两元a，b的乘积与

2

G

中相应元的乘积

对应，而且只与这个乘积对应，即

baab







)(

具有这个性质的

1

G到

2

G上的一对一的对应，称为一个同构，又称

1

G与

2

G是同构的，记

作

21

GG.群G到自身的同构称为自同构.

同构有以下性质：

1o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子

群.

2o同构是一个等价关系，即

(i)反身性

11

GG；

(ii)对称性若

21

GG，则

12

GG；

(iii)传递性若

21

GG，

32

GG，则

31

GG.

3o凯莱定理任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.

[同态与自同态]有两个群G,G

,与一个映射

f

：GG



.设

GxGx







,

，若满足

2121

|)(xxxx







则称

f

为一个同态.G

为G的一个同态象，记作G~G

.群G到自身的同态称自同态.

同态有以下性质：

1o一对一的同态就是同构.

2o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元.

3o假定f是群G到G

的一个同态，则G中对应于G

的单位元e

的一切元素所成的集N

是G的一个不变子群.N称为同态f的核，记作)(1ef

.

4o假定群G，G

同态，则G中对应于G

的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同

态核N的一个陪集.

5o同态基本定理假定G，G

同态，群G对N的陪集与G

的元素之间的一一对应是G



与商群G/N之间的一个同构.它表明G的同态象G

与对应的商群G/N同构.

三、环

[环的定义与例子]一个非空集R有加法和乘法两个二元运算，若满足下列三个条件，

就称R为一个环：

（i）R是一个加法群；

（ii）对乘法满足结合律.即对任何Rcba,,，有

cabbca)()(

（iii）对加法和乘法满足左、右分配律.即对任何Rcba,,，有

cabaacbacabcba)(,)(

一个环若满足乘法的交换律baab，则称R为交换环.

例1一切整数全体是一个环，称为整数环.

例2设F是一个数域，则域F上的多项式的全体是一个环，记作F[x].

例3如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R，则R也是一个环，称为数环.单

个数零也是一个数环，称为零环，显然，数环总是交换环.

例4若R是一个环，一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下，构成一

个环，称为R上的n阶全方阵环，记作

n

R.当1n时，

n

R为非交换环.

[环的基本性质]因为环是一个加法群，所以它具有加法群的一切性质.因此只介绍由乘

法所表示的各种性质.

1o

000aa

2o

abbaabbaba))((,)()(

3o对减法分配律成立，即

cabaacbacabcba)(,)(

4o一般结合律成立，即











mn

i

i

m

j

jn

n

i

i

aaa

111

5o一般分配律成立，即







n

i

m

j

ji

m

j

j

n

i

i

baba

1111

6o对任意整数m，有

)()()(abmmbabma

7o对正整数的指数定律成立，即

mnmnnmnmaaaaa)(,

对交换环还有

nnnabba)(

[零因子与单位元]在环R中，若

RbRa)0(,

，使

)0(0baab

，则称a为R的左

（右）零因子，记作)(

RL

aa.又称a为b的左（右）零化元.一个元同时是左、右零因子，

就称它为零因子.若环中无零因子，就称它为无零因子环.n阶全方阵环就是无零因子环.

若环R中有元素)(

RL

ee，对任一Ra，有)(aaeaae

RL

，则称)(

RL

ee为R的左（右）

单位元.若Re同时是左、右单位元，即aeaae，则称e为R的单位元.这时称R为有

单位元环.例如整数环是单位元环，1就是它的单位元；n阶全方阵环

n

R有单位元，就是单位

矩阵I.

若R有单位元，则单位元是唯一的；若R有单位元e，并对Ra有逆元1a，则1a是唯

一的.

有单位元而无零因子的交换环称为整环.例如整数环、数域都是整环.

[子环与扩张环]设S是环R的一个子集，若S对R的两个运算组成一个环，则称S为R

的一个子环，称R为S的扩张环.

环本身可以看作是它的子环，零环也是它的子环.异于本身与零环的子环称为真子环.

环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是：

(i)S为非空集；

(ii)若Sba,，则Sba；

(iii)若Sba,，则Sab.

[理想与主理想]设R是一个环，I是R的一个子集，若I中任意两个元素之差以及I中

任意元素a与R中任意元素r的乘积ra和ar都属于I，则称I为R的一个理想.例如偶数全

体是整数环的一个理想.每一个理想是已知环的子环，其逆不真.

一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想.特别，环中含有某一固定元素r的一切

理想的交集仍是这个环的理想，即它是由一个元素r生成的理想，称为主理想，记作（r）.

四、域

[域的定义与例子]一个具有单位元的交换环R，若至少含有一个非零元，并且每个非零

元a恒有逆1a

，则称R为一个域.

例1数域F（有理数域Q、实数域R、复数域C等）都是域.

例2数域F上的一切有理分式

)(/)(xgxf

（

][)(),(xFxgxf

且

0)(xg

）在有理分式

的加法和乘法之下组成一个域，称为数域F上的有理分式域.

[域的基本性质]

1o域没有零因子.

2o若集F在两个二元运算（加法和乘法）下满足下列条件，则F为一个域：

(i)F是以零为单位元的加法群；

(ii)由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；

(iii)乘法对加法是可分配的，即

acabcba)(

.

3o在域F中，方程bax（

Fba,

，且0a）有唯一的解，并可记作abx/.

4o在域F中，成立指数定律：

nnnmnnmnmnmabbaaaaaa)(,)(,

式中m，n为任意整数，a，b为F中任意两个元素，只对非零元素才能有负整数的幂.

5o若把域F的单元e的n倍ne简记作n，则F中任一元a的n倍na就是n与a的积na.