臆测

数学未解之谜

几个未解的题。

1

、求

(1/1)^3+

（

1/2

）

^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+

…

+

（

1/n

）

^3=?

更一般地：

当

k

为奇数时求

(1/1)^k+

（

1/2

）

^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+

…

+

（

1/n

）

^k=?

背景：

欧拉求出：

(1/1)^2+

（

1/2

）

^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+

…

+

（

1/n

）

^2=

（π

^2

）

/6

并且当

k

为偶数时的表达式。

2

、

e+

π的超越性

背景

此题为希尔伯特第

7

问题中的一个特例。

已经证明了

e^

π的超越性，却至今未有人证明

e+

π的超越性。

3

、素数问题。

证明：

ζ

(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s+

…

(s

属于复数域

)

所定义的函数ζ

(s)

的零点，除负整实数外，全都具有实部

1/2

。

背景：

此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第

8

问题。

美国数学家用计算机算了ζ

(s)

函数前

300

万个零点确实符合猜想。

希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜

想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多

相差为

2

的素数）。

引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？

4

、存在奇完全数吗？

背景：

所谓完全数，就是等于其因子的和的数。

前三个完全数是：

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

目前已知的

32

个完全数全部是偶数。

1973

年得到的结论是如果

n

为奇完全数，则：

n>10^50

5

、除了

8=2^3,9=3^2

外，再没有两个连续的整数可表为其他正

整数的方幂了吗？

背景：

这是卡塔兰猜想（

1842

）。

1962

年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它

正整数的方幂。

1976

年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连

续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。

但是，由于这个数太大，有

500

多位，已超出计算机的计算范围。

所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。

6

、任给一个正整数

n

，如果

n

为偶数，就将它变为

n/2,

如果除后

变为奇数，则将它乘

3

加

1

（即

3n+1

）。不断重复这样的运算，经

过有限步后，一定可以得到

1

吗？

背景：

这角古猜想（

1930

）。

人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。

三希尔伯特

23

问题里尚未解决的问题。

1

、问题

1

连续统假设。

全体正整数（被称为可数集）的基数和实数集合（被称为连续统）

的基数

c

之间没有其它基数。

背景：

1938

年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，

即策莫罗

-

佛朗克尔公理系统里，不可证伪。

1963

年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。

所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。

2

、问题

2

算术公理相容性。

背景：哥德尔证明了算

术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证

明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。

3

、问题

7

某些数的无理性和超越性。

见上面二的

2

5

、问题

8

素数问题。

见上面二的

3

6

、问题

11

系数为任意代数数的二次型。

背景：德国和法国数学家在

60

年代曾取得重大进展。

7

、问题

12

阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推

广。

背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。

8

、问题

13

仅用二元函数解一般

7

次代数方程的不可能性。

背景：

1957

苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则

此问题尚未完全解决。

9

、问题

15

舒伯特计数演算的严格基础。

背景：代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。

10

、问题

16

代数曲线和曲面的拓扑。

要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的

最多个数和相对位置。

11

、问题

18

用全等多面体来构造空间。

无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。

12

、问题

20

一般边值问题。

偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。

13

、问题

23

变分法的进一步发展。

四千禧七大难题

2000

年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提

出的

23

问题。每一道题的赏金均为百万美金。

1

、黎曼猜想。

见二的

3

透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。

这个问题是希尔伯特

23

个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼

猜想数

学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、

椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。

2

、杨

-

密尔斯理论与质量漏洞猜想

(Yang-MillsTheoryandMass

Gap

Hypothesis)

西元

1954

年杨振宁与密尔斯提出杨

-

密尔斯规范理论，杨振宁由

数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子

物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。

杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们

碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果

是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷

的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定

该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质

量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。

3

、

P

问题对

NP

问题

(ThePVersusNPProblems)

随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫

做「

P

问题」。

P

问题的

P

是

PolynomialTime(

多项式时间

)

的

头一个字母。已

知尺寸为

n

，如果能决定计算时间在

cnd(c

、

d

为正实数

)

时间以

下

就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个

算法解的问题就是

P

问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进

来

的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「

NP

问题」，

NP

是

NondeterministicPolynomialtime(

非决定性多项式时间

)

的缩写。

由定义来说，

P

问题是

NP

问题的一部份。但是否

NP

问题里面有

些不属於

P

问题等级的东西呢？或者

NP

问题终究也成为

P

问题？

这

就是相当著名的

PNP

问题。

4

、

.

纳维尔–史托克方程（

Navier

–

StokesEquations

）

因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了

新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学

推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。

自从西元

1943

年法国数学家勒雷（

Leray

）证明了纳维尔–史托

克方程的全时间弱解

(globalweaksolution)

之后，人们一直想知道

的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方

程的解是强解

(strongsolution)

，则解是唯一。所以此问题变成

:

弱

解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，

是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证

明其解在有限时间内会爆掉

(blowupinfinitetime)

。

解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱

流

(turbulence)

都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥

地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维

尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（

BoltzmannEquations

）

两

者之关系的学问叫做流体极限

(hydrodynamicslimit)

，由此可见纳

维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。

5.

庞加莱臆测

(PoincareConjecture)

庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的

三维闭流形与三维球面同胚。

从数学的意义上说这是一个看似简单却又非

常困难的问题，自庞加莱在西元

1904

年提出之

后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。

庞加莱（图

4

）臆测提出不久，数学们自然的将

之推广到高维空间

(n4)

，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的

≥

n(n4)

维闭流形，如果与

n

≥维球面有相同的基本群

(fundamentalgroup)

则必与

n

维球面同

胚。

经过近

60

年后，西元

1961

年，美国数学家斯麦尔（

Smale

）以

巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维

(n5)

以上的

≥

广义庞加莱臆测，他因此获得西元

1966

年的费尔兹奖。经过

20

年

之

后，另一

个美国数学家佛瑞曼（

Freedman

）则证明

了四维的庞加莱臆

测，并於西元

1986

年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真

正居住的三维空间

(n3)

，在当时仍然是一个未解之谜。

=

一直到西元

2003

年

4

月，俄罗斯数学家斐雷曼（

Perelman

）於

麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许

多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首

次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同

日深具影响力的数学网站

MathWorld

刊出的头条文章为「庞加莱臆

测

被证明了，这次是真的！」

[14]

。

数学家们的审查将到

2005

年才能完成，到目前为止，尚未发现

斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。

6.

白之与斯温纳顿

-

戴尔臆测（

BirchandSwinnerton-Dyer

Conjecture

）

一般的椭圆曲线方程式

y^2=x^3+ax+b

，在计算椭圆之弧长时

就会遇见这种曲线。自

50

年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、

几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（

Wiles

）证明费马

最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式

(modularform)

之关系－即谷山

-

志村猜想，白之与斯温纳顿

-

戴尔

臆测就是与

椭圆曲线有关。

60

年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿

-

戴尔利用电脑计算一些

多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限

呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余

(congruence)

这个观

念

并藉此得同余类

(congruenceclass)

即被一个数除之后的余数，无穷

多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与

黎曼猜想之

Zeta

函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他

们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结

果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的

Zeta

函数ζ

(s)=

时取值为

0

，即ζ

(1)

；当

s1=0

7.

霍奇臆测

(HodgeConjecture)

「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之

上同调类的有理组合。」

最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可

能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象

参考资料：《数学的

100

个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特

23

个数学问题回顾》