在图上画一条直线变成两个三角形

O

G

F

B

D

A

C

E

中考数学专题：动手操作题(含答案)

操作型问题是指通过动手测量、作图〔象〕、取值、计算等实验，猜测获得数学结论的探索

研究性活动，这类活动完全模拟以动手为根底的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、

合情猜测和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，

符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科

研〞活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能

力的指导思想．

类型之一折叠剪切问题

折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的根本方法就是，根据“折叠后的图形再展

开，那么所得的整个图形应该是轴对称图形〞，求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在

变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．折叠问题不但能使有利于培养

我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．

1.将一正方形纸片按以下顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．

将纸片展开，得到的图形是

2.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为

AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB

三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠

后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角

形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平

后得到的平面图形一定是

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

3.如下左图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．假设将纸片沿AE

折叠，点B恰好落在AC上，那么AC的长是．

4.如上右图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片

ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交

AB、AC于点E、G.连接GF.以下结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S

△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是.

类型之二分割图形问题

分割问题通常是先给出一个图形〔这个图形可能是规那么的，也有可能不规那么〕，然

后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几局部。解决这类问题

的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。

5.如下图的方角铁皮，要求用一条直线将其分成面积相等的两局部，请你设计两种不同的分

割方案〔用铅笔画图，不写画法，保存作图痕迹或简要的文字

说明〕．

6.如图1，

ABC△

中，

90C∠

，请用直尺和圆规作一条直线，

把

ABC△

分割成两个等腰三角形〔不写作法，但须保存作图痕迹〕．

〔2〕内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分

割成两个等腰三角形？假设能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．

类型之二拼合图形问题

拼图是几个图形按一定的规那么拼接在一起的一种

智力游戏，此类试题不仅可以考查学生的观察能力、空间想象能力、判断能力和综合分析能

力，通过拼图也能加强同学们对图形的直观认识，能更好地判定所求图形的具体特征.

7.如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是以

下图形中的〔〕

A．三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形

8.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱

形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边

长度之间关系的一个正确结论：．

9.从以下图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方

案为．〔只填写拼图板的代码〕

10.如图，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这

个纸片裁剪成三局部．请你将这三局部小纸片重新分别拼接成；〔1〕

一个非矩形的平行四边形；〔2〕一个等腰梯形；〔3〕一个正方形．请

在图中画出拼接后的三个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方

格顶点重合．

11．如

下图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边

长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，

如图①中的三角形是格点三角形．

〔1〕请你在图①中画一条直线将格点三角形分割成两局部，将这两局部重新拼成两个不同

的格点四边形，并将这两个格点四边形分别画在图②，图③中；

〔2〕直接写出这两个格点四边形的周长．

类型之四探索性问题

此类题目常涉及到画图、测量、猜测证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此

类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课

改的教育理念．

12．小华将一张矩形纸片〔如图1〕沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片〔如图2〕，其

中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D

落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.

〔1〕假设ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移

时〔如图3〕，请你观察、测量MB、MD的长度，猜测并写出MB与MD的数量关系，然后证明

你的猜测；

〔2〕在〔1〕的条件下，求出∠BMD的大小〔用含α的式子表示〕，并说明当α=45°时，

△BMD是什么三角形？

〔3〕在图3的根底上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度〔旋转角度小于90°〕，

此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD〔如图4〕，请继续探究MB与MD

的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜测，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD

为等边三角形.

参考答案

1.【解析】此题是折叠、裁减问题，折叠会表达对称，可以动手操作验证。

【答案】C

2.【解析】此题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学生的动手操作能力。当

学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，直接折纸、剪纸，得到答案。答案为D。

【答案】D

3.【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，

三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4

【答案】4

4.【解析】由折叠知：∠ADG=∠GDO根据外角定理∠AGD=∠GDO+∠GOD而∠GOD=90°，∠GDO

=

2

1

∠ADO=22.5°得∠AGD=112.5°所以①正确。由折叠知△AGD≌△FGD得S△AGD=S△FGD

所以③错误。∠AED=90°-22.5°=67.5°，∠AGE=45°+22.5°=67.5°故∠AED=∠AGE可得

AE=AG，易证AG=FG，AE=EF，从而得AG=FG=AE=EF。所以④正确。BE=

2

EF，EF=FG=

2

OG，

故BE=2OG所以⑤正确。AE=FG=

2

OG，AD=AB=AE+BE=〔

2

+2〕OG，在Rt△AED中

tan∠AED=

AE

AD

=

2

22

，所以②错误。

【答案】①④⑤．

5.【解析】通过计算可以得知整个图形的面积为12，我们只需截出一个面积为6的图形就

可以把图形面积一分为二。

【答案】参考答案如以下图

6.

【解析】当一个三角形是直角三角形的时候，只要

作出斜边的中线即可得到两个等腰三角形，对于非直角三角形，那么需要把此三角形的一个

角作为分割出来的三角形的一个角进行讨论.

【答案】解：〔1〕如图，直线CM即为所求

〔2〕图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰

三角形的顶角分别是132°和84°，图3不能分割成两个等腰三角形．

7.【解析】此题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学

生的动手操作能力。当学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，去拼一拼。答案为B。

【答案】B

8.【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个

平角，上底和腰相等。

【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②

它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．

9.【解析】此题是一道动手操作题。可以动手把几个图板进行拼接找出能够拼成矩形的四块。

此题考查学生的动手能力和观察能力。根据每块图板的特征进行合理拼接，完成此题。

【答案】①②③④

10.【解析】解决此题的关键是熟悉特殊四边形的判定

【答案】解：如下图．

11.【答案】〔1〕答案不唯一，如分割线为

三角形的三条中位线中任意一条所在的直线等．

拼接的图形不唯一，例如下面给出的三种情况：

图①~图④，图⑤~图⑦，图⑧~图⑨，画出其中一组

图中的两个图形．

〔2〕对应〔1〕中所给图①~图④的周长分别为

425

，8，

425

，

425

；

图⑤~图⑦的周长分别为10，

825

，

825

；

图⑧~图⑨的周长分别为

245

，445．

12.【解析】通过动手操作，我们可以测量得到MB=MD，然后加以证明即可；当α=45°时，

△BMD为一个特殊的三角形，通过观察，此三角形是等腰直角三角形，这就需要证明这个三

角形中有90°和45°的角；对于〔3〕，我们可以先假设这个三角形是△BMD为等边三角形，

然后求出α的大小，然后根据α的大小得到△BMD为等边三角形.

【答案】解：〔1〕MB=MD

证明：∵AG的中点为M∴在

ABGRt

中，

AGMB

2

1



在

ADGRt

中，

AGMD

2

1



，∴

MB

=

MD

〔2〕∵

BAMABMBAMBMG2

同理

DAMADMDAMDMG2

∴

BMD

=

DAMBAM22

=

BAC2

而

090BAC

∴

21800BMD

∴当045

时，090BMD

，此时△BMD为等腰直角三角形.

〔3〕当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD，

21800BMD

故当

060

时，△BMD为等边三角形.