椭圆焦半径公式

椭圆焦半径公式及应用

在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试

的热点，故值得我们深入研究。

思路1：由椭圆的定义有：rra

12

21

故只要设法用xac

0

、、等表示出rr

12

（或rr

12·），问题就可迎刃而解。

由题意知rxcy

1

2

0

2

0

2，rxcy

2

2

0

2

0

2

两式相减得rrrrcx

12120

4





rr

cx

rr

cx

a

ex

12

0

12

0

0

44

2

22

联立<1>、<2>解得：raexraex

1020

，

点评：在raex

10

与raex

20

中，ex

0

前的符号不表示正、负，真正的

正、负由x

0

确定。

思路2：设焦点FaeFae

12

00，、，

则rra

12

2，即xaeyxaeya

0

2

0

2

0

2

0

221

另有xaeyxaeyaex

0

2

0

2

0

2

0

2

0

42

<2>÷<1>得：xaeyxaeyex

0

2

0

2

0

2

0

2

0

23

<1>、<3>联立解得：xaeyraex

0

2

0

2

10



xaeyraex

0

2

0

2

20



点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。

思路3：推敲rxcyaex

10

2

0

2

0

的沟通渠道，应从消除差异做起，根

式中

y

0

2理应代换。

由点M在椭圆上，易知yb

x

a0

22

0

2

2

1













则rxcxcb

b

a

x

10

2

0

22

2

2

0

22













12

2

2

0

2

0

2

b

a

xa

c

a

xa·

exaexa

0

2

0

22

由01

0

eaxa，，知exa

0

0故raex

10



同理raex

20



点评：上述思路体现了先消元()y

0

2转换成关于x

0

的二次三项式，再化成完全

平方式的思想。由a、e是常数与axa

0

，容易推出

rac

1(max)

（xa

0



时取得），

rac

1(min)

（xa

0

时取得）。

思路4：椭圆的第二定义为求焦半径r

1

铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线l，作MH⊥l于H点

则

MF

MH

e1即rMFMHex

a

c

eaex

110

2

0















··

同理可求得：raex

20



点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点MF、

1

的距离等价转化

成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。

请你独立探求焦点在y轴上的椭圆

y

a

x

b

ab

2

2

2

2

10上任一点Mxy

00

，

的两条焦半径（aey

0

）。

一、椭圆焦半径公式

P是椭圆

x

a

y

b

2

2

2

2

＝1()ab0上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离

心率，则（1）||PEaex

P

，（2）||PFaex

P

。

P是椭圆

y

a

x

b

ab

2

2

2

2

10()上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离

心率，则（3）PEaeyPFaey

PP

，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。

（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

例1已知点P（x，y）是椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是

椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+x

a

c

；|PF2|=a-x

a

c

.

【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程

“消y”即可.

【解答】由两点间距离公式，可知

|PF1|=

22)(ycx(1)

从椭圆方程

1

2

2

2

2



b

y

a

x

解出

)(22

2

2

2xa

a

b

y

(2)

代（2）于（1）并化简，得|PF1|=x

a

c

a(-a≤x≤a)

同理有|PF2|=x

a

c

a(-a≤x≤a)

【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式

r1=a+exr2=a-ex(e=

a

c

)

从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的

增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可

得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.

（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公

式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭

圆定义直接导出公式来.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接

用距离公式即可.

例2．P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和

为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.

【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2

的方程组，然后从中得出r1和r2.

【解答】依题意，有方程组





















③)(

②)(

① 2

222

2

222

1

21

ycxr

ycxr

arr

②-③得

④4

2

2

2

1

cxrr

代①于④并整理得r1-r2=x

a

c2

⑤

联立①，⑤得



















x

a

c

ar

x

a

c

ar

2

1

【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自

己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.

二、焦半径公式与准线的关系

用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.

如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，

以l1：x=-

c

a2

为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按

椭圆的第二定义，

则有

exa

c

a

xePDePFe

PD

PF

)(||||

||

||2

即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.

椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线

c

a

x

2

缺乏定义的“客

观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.

例3．P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭

圆上任意一点.直线l为x=-

c

a2

，PD1⊥l交l于D1.求证：e

PD

PF



||

||

1

1

.

【解答】由椭圆的焦半径公式|PF1|=a+ex.

对|PD1|用距离公式|PD1|=x-)(

2

c

a

=x+

c

a2

.

故有e

c

a

x

c

a

xe

c

a

x

exa

PD

PF















2

2

2

1

1

)(

||

||

.

【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））

与定直线l1:x=-

c

a2

(l2：x=

c

a2

)的距离之比为定值e（0

三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程

在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务

的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所

忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.

其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.

例4．设点P（x，y）适合方程

1

2

2

2

2



b

y

a

x

.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）

和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.

【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的

焦点半径公式，很快可推出结果.

【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.

由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex①

同理还有r2=a-ex②

①+②得r1+r2=2a即|PF1|+|PF2|=2a.

即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.

【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.

因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

四、椭圆焦半径公式的变式

P是椭圆

x

a

y

b

ab

2

2

2

2

10()上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成

的角为



，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，

则（1）||

cos

PE

b

ac





2



；（2）||

cos

PF

b

ac





2



。

P是椭圆

y

a

x

b

ab

2

2

2

2

10()上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成

的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，

则（3）||

sin

PE

b

ac





2



；（4）

||

sin

PF

b

ac





2



。

证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有

cos

||

||||





PQ

PE

xc

PE

P

由椭圆焦半径公式（1）得||PEaex

P

。

消去x

P

后，化简即得（1）||

cos

PE

b

ac





2



。

而当大于90°时，在三角形PEQ中，

有cos()

||

||||





PQ

PE

cx

PE

P



cos

||



xc

PE

P，

以下与上述相同。

（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。

五、变式的应用

对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

例5.P是椭圆

x

a

y

b

ab

2

2

2

2

10()上一点，E、F是左右焦点，过P作x

轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

___________。

解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得

||

cos

PF

b

ac

b

a







22

90°

。

再由题意得

||||EFPFc

b

a

acaccacae2220

2

22222＋210e。

注意到

0121ee解得

。

例6.P是椭圆

xy22

10064

1上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线

PF的斜率为43，求三角形PEF的面积。

解：设PF的倾斜角为，则：tancossin43

1

7

43

7

，，。

因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得||

()

PF





8

106

1

7

7

2

×

所以三角形PEF的面积

SPFEF





1

2

1

2

726

43

7

243

||||sin

××××

例7．经过椭圆

x

a

y

b

ab

2

2

2

2

10()的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆

相交于A，B两点，若||||AFBF

11

2，求椭圆的离心率。

解：由题意及变式（2）得

b

ac

b

a

22

60

2

60180



coscos()°

×

°°

化简得2

1

2

32

2

3

acaccae

c

a

。

例8．设F是椭圆x

y

2

2

2

1的上焦点，PFFQ



与共线，MFFN



与共线，且

PFMF



·＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。

解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而

abc211，，，由题意及（3）式得

||||||

sinsin()

sin

PQPFFQ













1

2

1

2180

22

22





°

同理得||

cos

MN



22

22

。由题意知四边形PMQN面积

SPQMN

1

2

||||





















1

2

22

2

22

2

4

2

16

84

16

82

32

174

22

2222

2

··

sincos

sincossincos

sin

cos









所以当cos41时，S

max







32

171

2；

当cos41时，S

min()





32

171

＝

16

9

。

四、利用焦半径公式解椭圆题

椭圆的焦半径公式：设P(x

0

，y

0

)是椭圆上的任意一点，F

1

、F

2

分别是椭圆

的左、右焦点，对于椭圆

2

2

a

x

+

2

2

b

y

=1(a＞b＞0)而言，有|PF

1

|=a＋

0

ex，|PF

2

|

=a－

0

ex．在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题，用焦半径公式解题可以简化运算

过程．下面介绍其应用．

例9、在椭圆

45

2x

+

20

2y

=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。

解：由椭圆方程可知a=3

5

，b=2

5

，并求得c=5，离心率

e

=

3

5

，

设P(

0

x,

0

y)，依焦半径公式，

得：|PF

1

|=3

5

+

3

5

x

0

，

|PF

2

|=3

5

－

3

5

x

0

．（3

5

+

3

5

x

0

2)+（35－

3

5

x

0

2)=100。

解得：x

0

=3或x

0

=－3，故知(3,4)、(3,－4)、(－3,4)、(－3,－4)为所求。

评析：一般地，涉及到椭圆上的点与焦点的连结线段时，均可以用焦半径公式来解。

例10、在椭圆

84

22yx

=1上求一点P,使它到一个焦点的距离为它到另一焦点距

离的3倍。

解：由椭圆方程可知a=22，b=2，c=2，焦点在y轴上，

e

=

2

2

，设

P(

0

x,

0

y)，依焦半径公式，得：|PF

1

|=22+

2

2

y

0

，|PF

2

|=22－

2

2

y

0

，

依题意有：|PF

1

|=3|PF

2

|或|PF

2

|=3|PF

1

|。

即：22+

2

2

y

0

=3(22－

2

2

y

0

)或22－

2

2

y

0

=3(22+

2

2

y

0

)

解得：y

0

=2或y

0

=－2。

由此可知所求点P为(2，2)或(2，－2)或(－2，2)或(－2,－2)

评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，如果直接用两点间距离公式，运

算将非常复杂，而选用焦半径公式使得运算走向合理化．

例11、设F

1

、F

2

为椭圆

9

2x

＋

4

2y

=1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已

知P、F

1

、F

2

是一个直角三角形的三个顶点，且|PF

1

|＞|PF

2

|，求

||

||

2

1

PF

PF

的值．

解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得c=

5

，离心率

e

=

3

5

，

由椭圆的对称性，不妨设P(x

0

，y

0

)(x

0

＞0，y

0

＞0)是椭圆上的一点，则由

题意知|PF

1

|应为左焦半径，|PF

2

|应为右焦半径．

由焦半径公式，得|PF

1

|=3＋

3

5

x

0

，|PF

2

|=3－

3

5

x

0

．

⑴若∠PF

2

F

1

为直角，则

|PF

1

|2=|PF

2

|2＋|F

1

F

2

|2，

即(3+

3

5

x

0

)2=(3－

3

5

x

0

)2＋(2

5

)2，解得x

0

=

5

，

故

||

||

2

1

PF

PF

=

3

5

3

3

5

3





=

2

7

；

⑵若∠F

1

PF

2

为直角，则

|PF

1

|2＋|PF

2

|2=|F

1

F

2

|2，即(3+

3

5

x

0

)2＋(3－

3

5

x

0

)2=(2

5

)2，

解得

3

5

x

0

=1，故

||

||

2

1

PF

PF

=

13

13





=2．

评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转

化，此例就利用焦半径公式成功地求出x

0

值．

例12、已知椭圆C：

2

4

x

+

2

3

y

=1，F

1

、F

2

为其两个焦点，问能否在椭圆C上找

一点M，使点M到左准线的距离|MN|是|MF

1

|与|MF

2

|的等比中项？若存在，

求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：设存在点M(x

0

，y

0

)，使|MN|2=|MF

1

|·|MF

2

|，

由已知得a=2，b=

3

，c=1，左准线为x=－4，

则|

0

x＋4|2=(a＋

0

ex)(a－

0

ex)=a2－22

0

ex

=4－2

0

1

4

x，

即2

0

5x＋32

0

x＋48=0，解得

0

x=－4[－2，2]，或

0

x=－

12

5

[－2，2]，

因此，点M不存在．

评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，发现用焦半径求解优越于其它解法。

三.求变量范围

例13、.椭圆的焦点为，点P为其上动点，当为钝角

时，点P横坐标的取值范围是__________。

解：设，则

为钝角

代入解得

四.求最值

例14、.是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求

的最大值和最小值。

解：设，则

在椭圆上

的最大值为4，最小值为1

五.求弦长

例15.求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度

。

解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方

程得

设，则

，从而

六.用于证明

例16.设Q是椭圆上任意一点，求证：以

为直

径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。

证明：设，圆C的半径为r

即

也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。

故两圆相内切

同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。

以上只是简单介绍了椭圆的一种形式的焦半径公式的应用，希望同学们能触类

旁通，灵活运用焦半径公式解决其他有关问题，提高解题效率。

例17、点P是椭圆

1625160022xy上一点，FF

12

、是椭圆的两个焦点，又点

P在x轴上方，F

2

为椭圆的右焦点，直线PF

2

的斜率为43，求PFF

12

的面积。

解析：设点P的横坐标为x，∠FFP

12



由条件abc1086，，，得：PFxPFx

12

10

3

5

10

3

5

，

依题意得：tan43

所以cossin

1

7

43

7

，

由cos

FFPFPF

FFPF

12

2

2

2

1

2

122

2

·

得：

xPFPF5137

12

，，

故SFFPF

PFF

12

1

2

1

2

127

43

7

243

122

··sin

点评：也可先求直线PF

2

方程yx436，与已知椭圆方程联立，解二

元二次方程组求出点P的纵坐标y，则SFFyy

FFP

12

1

2

0

12

·()。

圆锥曲线的焦半径巧用

圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的

求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生

机．因此，掌握它是非常重要的．

椭圆焦半径：R左=a+xe,R右=a-xe,

右支双曲线焦半径：R左=xe+a，R右=xe-a(x>0)，

左支双曲线焦半径：R左=-(xe+a)，R右=-(xe-a)(x<0),

抛物线焦半径：R抛=x+

2

P

．

对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两

种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0,y0)是双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>

0,b>0)右支上的一点，F1,F2是其左右焦点．

则有左准线方程为

c

a

x

2

．

由双曲线的第二定义得，左焦半径为aex

c

a

xePF

0

2

01

)(||;

由|PF1|-|PF2|=2a，得|PF2|=|PF2|-2a=ex0-a．(|PF2|亦可由第

二定义求得)．

例1已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设

P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足|PF1|=e|PF2|，则

e的值为()

22)(

3

3

)(32)(

2

2

)(DCBA

解法1设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0,y0)，

于是，抛物线的方程为y2=2(4c)(x+c),抛物线的准线l：x=-3c，

椭圆的准线m：

c

a

x

2

，

设点P到两条准线的距离分别为d1,d2．于是，由抛物线定义，得d1=|PF2|,…

①

又由椭圆的定义得|PF1|=ed2，而|PF1|=e|PF2|，………………………………

②

由①②得d2=|PF2|,故d1=d2，从而两条准线重合．

∴

3

3

3

1

32

2

ee

c

a

c．故选(C)．

解法2由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=e|PF2|，

∴|PF2|(1+e)=2a，………①

又由抛物线定义得|PF2|=x0+3c,即x0=|PF2|-3c，…………………

②

由椭圆定义得|PF2|=a-ex0,………………………………………③

由②③得|PF2|=a-e|PF2|+3ec，即|PF2|(1+e)=a+3ec，…………

④

由①④得2a=a+3ec，解得

3

3

e，故选(C)．

点评结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．

例2设椭圆E：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)，的左、右焦点分别为F1,F2，右顶

点为A,如果点M为椭圆E上的任意一点，且|MF1|·|MF2|的最小值为2

4

3

a．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任

取Q上一点P，试问是否存在常数λ(λ>0)，使得∠PAF1=λ∠PF1A成立？试证明

你的结论．

分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而(2)是一探索型的命题，解题

应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠

PF1A显然是一锐角，又易知∠PAF1是(0,120o)内的角，且90o是斜率不存在的角．于

是，抓住90o这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的

正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF1A变为∠PNF1，使∠PAF1变成

△PNA的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式

的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是

二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得

解法5；若是考查∠PF1A与∠PAF1的图形位置，直接解三角形PAF1，可得到解法6．

(1)解设M(x0,y0),由椭圆的焦半径定义得

|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0，|MF1|·|MF2|=(a+ex0)(a-ex0)=a2-

e2x0

2,

∵|MF1|·|MF2|的最小值为2

4

3

a,且|x0|≤a，

∴a2-e2x0

2≥a2-e2a2=2

4

3

a，解得

2

1

e．

(2)解法1由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半

焦距为2c,故设双曲线Q的方程为

1

32

2

2

2



c

y

c

x

，

假设存在适合题意的常数λ(λ>0)，

①考虑特殊情形的λ值．当PA⊥x轴时，点P的横坐标为2c，

从而点P的纵坐标为y=3c，而|AF1|=3c,

∴△PAF1是等腰直角三角形，即∠PAF1=

2



,∠PF1A=

4



,

从而可得λ=2．

②PA不与x轴垂直时，则要证∠PAF1=2∠PF1A成立即可．

由于点P(x1,y1)在第一象限内，故PF1,PA的斜率均存在，从而，有

APF

cx

y

k

PF1

1

1tan

1





,

1

1

1tan

2

PAF

cx

y

k

PA





，

且有))((3

11

2

1

cxcxy,…………※

又∵

2

1

2

1

11

2

1)(

)(2

1

2

2tan

1

1

ycx

ycx

k

k

APF

PF

PF









，

将※代入得

PA

k

cx

y

ycx

ycx

APF













2

)(

)(2

2tan

1

1

2

1

2

1

11

1

,

由此可得tan2∠PF1A=tan∠PAF1，

∵P在第一象限，A(2c,0),∴)

3

2

,

2

()

2

,0(

1



PAF,

又∵∠PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得2∠PF1A=∠PAF1．

综合上述得，当λ=2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1=2∠PF1A

成立．

解法2由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c,

故设双曲线Q的方程为

1

32

2

2

2



c

y

c

x

，

由于点P(x1,y1)在第一象限内，故PF1,PA的斜率均存在．且∠PF1A为锐角．

又∵))((3

11

2

1

cxcxy,……………………………………………………※

设∠PF1A=β，则,tan

1

1

1cx

y

k

PF



设∠PAF1=λβ,λβ≠90o时,则tan(λβ)

cx

y

k

PA2

1

1





,

而tan(λβ-β)





tan)tan(1

tan)tan(







))(

2

(1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

cx

y

cx

y

cx

y

cx

y















2

1

2

1

2

1

11

2

)2(

yccxx

cxy







))((3))(2(

)2(

1111

11

cxcxcxcx

cxy







)()2)((

)2(

1

1

11

11

cx

y

xccx

cxy









．

∴tan(λβ-β)=tanβ．

∵∠PF1A=β为锐角，又∠PAF1=λβ∈)

3

2

,0(



,∴tan(λβ-β)=tanβ>

0,故λβ-β是锐角，

由正切函数的单调性得λ=2．

显然，当λβ=90o时亦成立．

故存在λ=2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A=∠PAF1成立．

解法3由上述①，得λ=2，设P′是射线PA上的一点,其横坐标为x0(x0>

c)，

在x轴上取一点N(2x0+c,0)，使△P′F1N为等腰三角形，

∴∠P′F1N=∠P′NF1．故当∠P′AF1=2∠P′F1A时，

有∠P′AF1=2∠P′NA，

从而∠AP′N=∠P′NA,则|AN|=|AP′|，

又A(2c,0)，于是|AN|=|AP′|=2x0-c．

P

F

1

F

2

y

x

O

N

D

A

H

过P′作P′H垂直于准线l于H，如图9-5．

则|P′H|=x0-c

2

1

．故

2

2

||

||

0

0

c

x

cx

HP

AP











=2=e．

故点P′是双曲线上的点，且与P重合．

由x0>c的任意性得，当λ=2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A=

∠PAF1成立．

解法4由题意得，设点P(x1,y1)，

∵点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2c,0)是一焦点，

∴|AP|=2x1-c，|AF1|=3c，设AD为∠F1AP的平分线，………※

由角平分线性质及定比分点公式，得

222

)32(

2

3

1

2

3

1

11

1

1

1

c

cx

xcxc

cx

c

x

cx

c

c

x

D

















，

由此可得，点D在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF1的中垂线，

故△AF1D为等腰三角形，且∠PF1A=∠DAF1，

又由※得∠PAF1=2∠PAD=2∠DAF1，

∴∠PAF1=2∠PF1A，故λ＝2．

解法5由题意得，设点P(x1,y1)，因为点P是双曲线在第一象限内的点，

又A(2c,0)是一焦点，于是，有|AP|=2x1-c，|AF1|=3c，

|PF1|2=(x1+c)2+y1

2=x1

2+2x1c+c2+3x1

2-3c2=4x1

2+2x1c-2

c2,

在△APF1中

有

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22432

)2(2249

cos

ccxxc

cxccxxc

F







)2(2

))(2(26

)(6

1

1

11

1

cx

cx

cxcxc

cxc











，

)2(32

)224()2(9

cos

1

2

1

2

1

2

1

2

cxc

ccxxcxc

A







cx

xc

cxc

cxc













1

1

1

1

2

2

)2(32

)2(6

，

于是，有2(

)2(2

1

1

cx

cx





)2-1=

cx

xc





1

1

2

2

,

即2(cos∠F1)2-1=cos2∠F1=cos∠A,

∵∠A、∠F1是△APF1中的内角，且∠F1是锐角，故有2∠F1=∠A,

图9-5

即∠PAF1=2∠PNF1，

所以λ=2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1=2∠PF1A．

解法6设点P(x1,y1)是双曲线第一象限的点．∵A(2c,0)，F1(-c,0)，

连AP，F1P，如图9-5．

由双曲线的焦半径定义得|AP|=2x1-c,

又设点N是点F1关于直线x=x1的对称点，

则有|PF1|=|PN|,且N(2x1+c,0)，从而∠PF1N=∠PNF1．

又|AN|=2x1+c-2c=2x1-c=|AP|,∠APN=∠PNF1．

由此可得∠F1AP=2∠PNF1，

即∠F1AP=2∠PNF1=2∠PF1N，所以λ=2．

故存在λ=2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A=∠PAF1成立．

点评对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先

由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有

关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法

6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF1N变为∠PNF1，利用三角形的内

角外角的关系，发现到|AN|=|AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解

法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ

的值，后推证P点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我

们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚

定不移地解三角形PAF1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧

解的常用一种思想方法．

例3已知抛物线y2=2Px的焦点弦AB被焦点分成长度为m、n的两段，

求证：

Pnm

211

．

证明设A、B在该抛物线的准线上的射影为C、D，连AD交x轴与E，

如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得|AC|=|AF|=m,|BD|=|BF|=n,

由相似三角形性质知

||

||

||

||

AB

AF

BD

EF

，∴

nm

mn

EF



||，

同理

nm

mn

EH



||，故|EF|=|EH|,即E与O重合．

故A、O、D三点共线．同理B、O、C三点共线．

∴|EF|+|EH|=P=

nm

mn



2,

y

x

l

O

A

B

D

N

C

M

H

F

故

Pnm

211

．图9-6

点评本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD．由此还可发现许多有用

的结论：

①∠CFD=90o;

②∠CAB的平分线与∠DBA的平分线交于一点N，则NA、NB为抛物线的切线，

且∠ANB=90o；

③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；

④若M为AB中点，则NM被抛物线平分；

⑤若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|=||

2

1

21

yy

P

，当AB⊥x轴时,|AB|=2

P;

⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；

⑦NF⊥AB;y1y2=-P2;…．