设a是n阶方阵

设A是n级实对称矩阵

矩阵

2007-022-4

设A是n级实对称矩阵，证明：A的秩

nAr)(

当且仅当存在实矩阵B,使ABAB'为正

定矩阵。

2007-029-4

设A是n阶非奇异矩阵，



是n维列向量，b为常数。记分块矩阵

,,

||

EOA

PQ

AAb

















A是A的伴随矩阵。（1）计算

PQ

并简化；（2）证明Q可逆的充要条件是



2007-008-3

假设矩阵A,B,C满足ABC有意义.求证:秩(AB)+秩(BC)秩(B)+秩(ABC)

2007-021-4

11121

21222

12

=

.:

1),1,2,...,,0;

2),1,2,...,,>0.

n

n

nnnn

iiij

ji

iiij

ji

aaa

aaa

A

aaa

aainA

aainA

























L

L

MMOM

L

设

为一实数域上的矩阵证明

如果那么

如果那么

2007-012-3

设矩阵A,BmnP，证明：)()()(BRAR

B

A

RBAR

















。其中R(.)表示矩阵的

秩。

2007-012-6

设矩阵A满足024EA，设B=A+2E,其中E为单位矩阵，问矩阵B是

否可逆，若可逆，求出1B，若不可逆，说明理由。

2007-030-1（2）（选择题）

设矩阵































44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

，































41424344

31323334

21222324

11121314

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

B

，































0001

0100

0010

1000

1

P

，































1000

0010

0100

0001

2

P

其中A可逆，则1B

等于[]

（A）

21

1PPA（B）

2

1

1

PAP（C）1

21

APP（D）

1

1

2

PAP

2007-030-1（3）（选择题）

设三级矩阵























abb

bab

bba

A

，若A的伴随矩阵的秩为1，则有[]

（A）

ba

或

02ba

（B）

ba

或

02ba

（C）

ba

且

02ba

（D）

ba

且

02ba

2007-030-3（3）（计算与证明题）

已知A、B为3级矩阵，且满足EBBA421，其中E是3级单位矩阵。

(1)证明：矩阵EA2可逆；

(2)若

























200

021

021

B

，求矩阵A.

2007-031-2

设

































8030

3101

0010

0001

A

,EBAABA311，求B.

2007-031-5

设A是nm的矩阵，B是sn的矩阵，证明：)(),(min)(BrArABr

.（)(Ar表示矩

阵A的秩）

2007-032-1（3）（判断题）

存在矩阵

,AB

使ABBAE，其中E是单位矩阵。

2007-032-2（1）（计算题）

矩阵

11000

01100

00110

00011

00001

A



























，求A的逆矩阵

2007-032-3

设A、B都是n阶方阵，用r表示矩阵的秩，证明

()()()()rABrArBnrAB

2007-034-1（2）（计算题）

求3阶实矩阵

1

1

aaxy

axay

bcbxcy

















的秩。

2007-034-1（3）（计算题）

设

,AB

为n阶实正定对称矩阵，C为任意n阶实矩阵。试求分块矩阵

AC

CB











的秩。

2007-035-1（3）（选择、是非及填空题）

设A是一个n阶方阵，满足2AA，则

()rankArankAE

（）。

（A）大于n（B）等于n（C）小于n（D）无法确定

2007-035-1（6）（选择、是非及填空题）

已知

,,ABC

都是n阶方阵，如果ABCE，则下列等式BCAE，CABE，BACE，

ACBE，CBAE一定成立的有（）个。

（A）1（B）2（C）3（D）4

2007-035-1（9）（选择、是非及填空题）

矩阵

211

121

112

A













的逆矩阵1A。

2007-035-1（15）（选择、是非及填空题）

设3阶矩阵()

ij

Aa特征值1、-1、2,

ij

A为

ij

a的代数余子式，则

112233

AAA。

2007-035-2（18）（计算与证明题）

设

111

111

111

A













。试求矩阵B，使

BA

。

2007-036-3

求证：（1）

()()()rABrArB

（2）设

,AB

分别为mn矩阵和一个nl矩阵，则

()min((),())rABrArB

。

（3）

()()()rABrArBn

2007-019-1

设A为n阶方阵，若存在唯一的n阶方阵B，使得ABAA，证明：BABB。

2007-019-7

设A为n阶方阵，证明：秩3()A秩

()A

秩2()A

2007-019-9

设A为二阶方阵，若有方阵B，使得ABBAA，证明20A

2007-019-10

设

,,ABC

为n阶方阵，CABBA，且C与

,AB

都可交换，证明存在不大于n的正

整数m，使得0mC。

2007-037-6

如果A是nn矩阵(2)n，A为A的伴随矩阵，证明：

,()

()1,()1

0,()1

nRAn

RARAn

RAn



















这里

()RA表示矩阵的秩。

2007-037-5

设A是秩数为r的n阶矩阵，证明有n阶矩阵B使得秩()Bnr，且0ABBA。

2007-038-7

设在分块矩阵

AB

CD







中，

,AD

是可逆矩阵，证明：

（1）行列式恒等式1

AB

ABDCD

CD



。

（2）在

AB

CD







可逆时，求出

1AB

CD







2007-039-3

（1）设A为nn矩阵，且满足2AE

，则秩

()AE

秩

()AEn

。

（2）设()

ij

Aa是n阶实对称矩阵，证明：如果20A，那么0A。

2007-040-1

已知

AB

M

CD









，

,AD

可逆，（1）求M。（2）若

,,AMD

可逆，则1DCAB可逆，

求11()DCAB。

2007-040-9

设A为n阶方阵，且满足2320AAE，求一可逆矩阵T，使1TAT为对角形。

2007-041-3

设A是nn方阵，B是nm方阵，且秩

()Bn

，证明：（ⅰ）若0AB，则0A；

（ⅱ）若ABB，则AE（E为单位矩阵）。

2007-041-5

设A为n阶幂等矩阵，即2AA。证明秩()sA秩

()AEn

，其中s是任意常数。

2007-011-4

设A是实方阵。证明如果下面三条中的任意两条成立则另一条也成立：

（a）A是正交矩阵（b）A为实对称阵(c)2AE，其中E为单位矩阵

2007-042-1（1）（判断题）

设,AB为n阶方阵，且A的秩等于B的秩，则任何自然数m都有mA秩等于mB秩。

2007-042-8

A为非零矩阵但不必为方阵，证明AXE有解当且仅当由

0CA

必有

0C

，其中

E为单位矩阵。

2007-043-3

设A为nn方阵，E为nn单位矩阵。证明：2()()AErAErAEn，其中

(),()rAErAE

分别表示矩阵

,AEAE

的秩。

2007-043-5

设X为实数域¡上的一个3阶方阵，从矩阵X开始，连续对矩阵作如下初等变换：（1）

第一行乘5加到第三行，（2）第三列乘-2加到第二列，（3）交换第一行与第二行。结果得

到了三阶单位矩阵，求矩阵X。

2007-045-1（3）（问题）

设mn矩阵A的秩为r，任取A的r个线性无关的列向量，所组成的r个线性无关的

列向量，组成的r阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例。

2007-045-2

设n阶矩阵

,AB

可交换，证明：

()()()()rankABrankArankBrankAB

。

2007-013-4

（1）设

,AD

分别是n阶和m阶方阵，则秩

-1

1

ADCABA

DABDCD

AB

CD























秩秩（－），可逆

秩秩（－），可逆

（2）设

,,,ABCD

都是n阶方阵，ACCA，0A，令

AB

G

CD









。则n秩2Gn。

2007-013-5

设

222

214

241

A

















。

1.证明A可以写成若干初等矩阵的乘积。

2.把1A写成A的多项式。

3.在有理数域上A是否相似于一个对角阵？说明理由。

2007-007-1（1）（填空）

设3阶矩阵

123

[,,]A，

23

[,,]B，其中

123

,,,

均为3维列向量，已知

2A，2B，则AB。

2007-007-1（2）（填空）

设

(1,2,3)A

，

(1,1,1)B

，则()kAB



。其中

k

为给定的自然数。

2007-007-1（3）（填空）

设

1508

014

7010

2220

a

A















，则

313233

AAA，其中

3j

A是元素

3j

a的代数余子

式。

2007-004-3

设A是n阶实数矩阵，

0A

而且A的每一个元素都和它的代数余子式相等。证明A是

可逆矩阵。

2007-047-3

设A是n阶方阵且0A。求证存在n阶非零方阵B使得0ABBA。

2007-047-5

设

,AB

是n阶方阵，满足ABBA。求证秩

()AB

秩

()A

秩

()B

秩

()AB

。

2007-048-3

假设

,AB

都是22的实矩阵，并且22ABE，

0ABBA

，证明：存在可逆矩阵

P，使得1

10

01

PAP











，1

10

01

PAP











。

2007-048-8（1）

假设A是秩为r的nn矩阵，证明：存在秩为nr的nn矩阵B，使得AB是可逆

矩阵。

2007-024-1（5）（判断题）

(2)nn级方阵A可逆当且仅当A的伴随矩阵A可逆。

2007-024-6

设A为n级可逆矩阵，,UV为nm矩阵，

m

E为m级单位矩阵。若秩1()

m

VAUEm

，

则秩()AUVn



，其中V



表示V的转置。

2007-010-1（1）（填空题）

设

1012

2125

121

1111

A



























，如果存在4阶非零方阵B，使得0AB，则。

2007-010-2（2）（解答题）

设

,,,ABCD

都是n阶方阵，A是非奇异的，E是n阶单位方阵，且

1

0E

X

CAE











，

AB

Y

CD









，

1

0

EAB

Z

E











。

（1）求乘积XYZ？

（2）证明：1

AB

ADCAB

CD



。

2007-010-7

设A是nm矩阵，B是mn矩阵，nm，而E是n阶单位矩阵。如果ABE，则B

的列向量组必线性无关。