求导符号

1/10

1．基本求导公式

⑴0)(



C（C为常数）⑵1)(

nnnxx；一般地，1)(

xx。

特别地：1)(



x，xx2)(2



，

2

1

)

1

(

x

x





，

x

x

2

1

)(



。

⑶xxee



)(；一般地，)1,0(ln)(



aaaaaxx。

⑷

x

x

1

)(ln



；一般地，)1,0(

ln

1

)(log



aa

ax

x

a

。

2．求导法则⑴四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf











；

（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf











，特别)())((xfCxCf







（C为常数）；

（Ⅲ）)0)((,

)(

)()()()(

)

)(

)(

(

2













xg

xg

xgxfxgxf

xg

xf

，特别

2

1()

()

()

()

gx

gx

gx





。

3．微分函数()yfx在点x处的微分：()dyydxfxdx





4、常用的不定积分公式

（1）













c

x

dxx

x

dxxc

x

xdxcxdxCxdxx

4

3

,

2

,),1(

1

1

4

3

3

2

2

1





；

（2）

Cxdx

x

||ln

1

；

Cedxexx；)1,0(

ln

aaC

a

a

dxa

x

x；

（3）dxxfkdxxkf)()(（k为常数）

5、定积分

()()|()()b

b

a

a

fxdxFxFbFa

⑴b

a

b

a

b

a

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([

2121

⑵分部积分法

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数)(),(xvxu



，则

b

a

b

a

b

a

xduxvxvxuxdvxu)()()()()()(

6、线性代数

2/10

特殊矩阵的概念

（1）、零矩阵,

00

00

22















O（2）、单位矩阵



























100

010

001









n

I二阶,

10

01

22















I

(3)、对角矩阵



























n

a

a

a

A

000

00

00

2

1







(4)、对称矩阵

























752

531

212

,Aaa

jiij

(5)、上三角形矩阵



























nn

n

n

a

aa

aaa

A

000

0

222

11211







下三角形矩阵



























n

a

a

a

A

000

00

00

2

1







(6)、矩阵转置



























nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A









21

22221

11211

转置后



























nnnn

n

n

T

aaa

aaa

aaa

A









21

22212

12111

6、矩阵运算















































hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

BA













































dhcfdgce

bhafbgae

hg

fe

dc

ba

AB

7、MATLAB软件计算题

例6试写出用MATLAB软件求函数)eln(2xxxy的二阶导数y



的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));

>>dy=diff(y,2)

例：试写出用MATLAB软件求函数)eln(xxy的一阶导数y



的命令语句。

>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x)+exp(x));

>>dy=diff(y)

例11试写出用MATLAB软件计算定积分2

1

de

13x

x

x的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=(1/x)*exp(x^3);

3/10

>>int(y,1,2)

例试写出用MATLAB软件计算定积分x

x

xde

13的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=(1/x)*exp(x^3);

>>int(y)

MATLAB软件的函数命令

表1MATLAB软件中的函数命令

函数

axxxe

xln

xlgx

2

log

x

MATLABax^

)(xsqrt)exp(x)log(x)(10logx)(2logx)(xabs

运算符号

运算符+-*/^

功能加减乘除乘方

典型例题

例1设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）

和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：

运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A17311311

A241928

A3974105

需求量365620

（1）用最小元素法编制的初始调运方案，

（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输

总费用。

解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：

运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A1437311311

A23141928

A363974105

需求量365620

4/10

找空格对应的闭回路，计算检验数：

11

＝1，

12

＝1，

22

＝0，

24

＝－2

已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1

调整后的第二个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A1527311311

A23141928

A363974105

需求量365620

求第二个调运方案的检验数：

11

＝－1

已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2

调整后的第三个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

销地

产地

B1B2B3B4供应量B1B2B3B4

A1257311311

A21341928

A363974105

需求量365620

求第三个调运方案的检验数：

12

＝2，

14

＝1，

22

＝2，

23

＝1，

31

＝9，

33

＝12

所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：

2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）

例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、

乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品

的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时

分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300

元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180

公斤，工时每天只有150台时。

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大

的线性规划模型。

2.写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0

线性规划模型为

5/10



















0

150636

180544

300250400max

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxS

，，

2．解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

例3已知矩阵



























































21

01

11

14

12

210

101

CBA，，，求：TCAB

解：







































































































36

12

20

11

16

01

21

01

11

14

12

210

101

CAB

例4设y＝(1＋x2)lnx，求：y



解：

x

x

xxxxxxy

2

22

1

ln2))(ln1(ln)1(















例5设

x

y

x





1

e

，求：y



解：

22)1(

e

)1(

)1(e)1()e(

x

x

x

xx

y

xxx

















例7某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万

元，销售该产品q百台的收入为R(q)＝4q－0.5q2（万元）。当产量为多少时，利润最大？

最大利润为多少？

解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)＝q＋2

利润函数L(q)＝R(q)－C(q)＝－0.5q2＋3q－2

令ML(q)＝－q＋3＝0得唯一驻点q＝3（百台）

故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为

L(3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）

例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，

而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数

q

q

qC

1000000000

40

)(

6/10

令0

1000000000

40

1

)(

2





q

qC得定义域内的唯一驻点q＝200000件。

即经济批量为200000件。

例9计算定积分：1

0

d)e3(xxx

解：

2

5

e3)e3

2

1

(d)e3(|1

0

2

1

0

xxxxx

例10计算定积分：

3

1

2d)

2

(x

x

x

解：3ln2

3

26

|)|ln2

3

1

(d)

2

(|3

1

3

3

1

2xxx

x

x

教学补充说明

1.对编程问题，要记住函数ex，lnx，x在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，

log(x)，sqrt(x)；

2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：

cx

a

xxaa



1

1

1

d（a≠－1）

cxxxede

cxx

x

||lnd

1

7.记住两个函数值：e0＝1，ln1＝0。

模拟试题

一、单项选择题：（每小题4分，共20分）

1.若某物资的总供应量（C）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量

与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平

衡运输问题。

(A)等于(B)小于

(C)大于(D)不超过

2．某物流公司有三种化学原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三种化学成分的

含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分别为0.1

公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含B1，B2，B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤

和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B1成分

至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划

模型，设原料A1，A2，A3的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（D）。

(A)maxS＝500x1＋300x2＋400x3(B)minS＝100x1＋50x2＋80x3

(C)maxS＝100x1＋50x2＋80x3(D)minS＝500x1＋300x2＋400x3

3.设































7

21

,

74

21

x

B

x

A，并且A＝B，则x＝（C）。

(A)4(B)3

(C)2(D)1

4．设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数为C(q)＝q2＋50q＋2000，则运输该物品

100吨时的平均成本为（A）元/吨。

(A)170(B)250

7/10

(C)1700(D)17000

5.已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q)，则运输该物品从100吨到300吨时

的收入增加量为（D）。

(A))0(d)(

300

100

CqqMR(B)100

300

d)(qqMR

(C)qqMRd)(

(D)300

100

d)(qqMR

二、计算题：（每小题7分，共21分）

6．已知矩阵



























































21

01

11

14

12

210

101

CBA，，，求：AB＋C

解：









































































































37

02

21

01

16

01

21

01

11

14

12

210

101

CAB

7.设

31

ln

x

x

y





，求：y



解：

23

2

3

23

33

)1(

ln3

1

)1(

)1()(ln)1()(ln

x

xx

x

x

x

xxxx

y





















8.计算定积分：

1

0

3d)e2(xxx

解：

4

7

e2)e2

4

1

(d)e2(|1

0

4

1

0

3xxxxx

三、编程题：（每小题6分，共12分）

9.试写出用MATLAB软件求函数)eln(2xxxy的二阶导数y



的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));

>>dy=diff(y,2)

10.试写出用MATLAB软件计算定积分1

0

dexxx的命令语句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=x*exp(sqrt(x));

>>int(y,0,1)

四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）

11.某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，

而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数

q

q

qC

1000000000

40

)(

令

0

1000000000

40

1

)(

2





q

qC

得定义域内的惟一驻点q＝200000件。

即经济批量为200000件。

8/10

12.某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、

乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品

的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时

分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300

元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180

公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三

种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令

语句。

解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0

线性规划模型为



















0

150636

180544

300250400max

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxS

，，

解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

线性规划习题

1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不同的原料，从工艺

资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用

三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件

产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最

大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。

解：设生产甲产品

1

x吨，乙产品

2

x吨。

线性规划模型为：

21

43maxxxS























0,

3

82

6

21

2

21

21

xx

x

xx

xx

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>>clear;

>>C=-[34];

>>A=[11;12;01];

>>B=[6;8;3];

>>LB=[0;0];

9/10

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

2.某物流公司有三种化学产品A1，A2，A3都含有三种化学成分B1，B2，B3，每种产品成

分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少

80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。

相关情况表

产品含量

成分

每斤产品的成分含量

A1A2A3

B1

B2

B2

0.7

0.2

0.1

0.1

0.3

0.6

0.3

0.4

0.3

产品价格(元/斤)500300400

解：设生产

1

A产品

1

x公斤,生产

2

A产品

2

x公斤,生产

3

A产品

3

x公斤,

























0,,

803.06.01.0

504.03.02.0

1003.01.07.0

400300500min

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxS

3.某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为

12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工

中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该

厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880

分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，

并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果）

解：设生产桌子

1

x张，生产椅子

2

x张



















0,

8801220

10001410

1012max

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxS

MATLAB软件的命令语句为：

>>clear;

>>C=-[1210];

>>A=[1014;2012];

>>B=[1000；880];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D四种

不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别

需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、

3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润

10/10

的线性规划问题。

解：设生产甲产品

1

x件，乙产品

2

x件。

线性规划模型为：

21

86maxxxS

























0,

14002

18005

120032

150034

21

2

1

21

21

xx

x

x

xx

xx

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>>clear;

>>C=-[68];

>>A=[43;23;50；02];

>>B=[1500；1200；1800；1400];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

5、某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料

50吨。每吨A产品需要甲原料2吨；每吨B产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C

产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。

试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产A产品

1

x吨，B产品

2

x吨，C产品

3

x吨。

线性规划模型为：

321

5.023maxxxxS





















0,,

5042

302

321

32

21

xxx

xx

xx

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>>clear;

>>C=-[320.5];

>>A=[21;24];

>>B=[30；50];

>>LB=[0;0；0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)