三棱锥表面积

1

第38讲表面积与体积

[基础篇]

一、几何体的表面积：

（1）直柱体的表面积：22SSSchS

侧

全底底

（,hc分别为直棱柱的高和底面周长）

圆柱的表面积：2222SSSrhr

侧

全底

（,hr分别为圆柱的高和底面半径）

（2）锥体的表面积：SSS

侧

全底

正锥体的表面积：

1

2

SSSchS





侧

全底底

（,hc



分别为斜高和底面周长）

圆锥的表面积：2SSSrhr



侧

全底

（,hr



分别为母线长和底面半径）

（3）球的表面积：24Sr（r是球的半径）

二、几何体的体积：

（1）柱体的体积：VSh

柱底

（

h

为柱体的高）

圆柱的体积：2VShrh

圆柱底

（,hr分别为圆柱的高和底面半径）

（2）锥体的体积：

1

3

VSh

锥底

（

h

为锥体的高）

圆锥的体积：2

11

33

VShrh

圆锥底

（,hr分别为圆锥的高和底面半径）

（3）球的体积：3

4

3

Vr

球

（r是球的半径）

2

[技能篇]

题型一：表面积：

例题1圆锥母线长为1，侧面展开圆心角为240，该圆锥的体积是（）

A

、

81

22

B

、

81

8

C

、

81

54

D

、

81

10

例题2已知AB是球

O

的直径，

2ABR

，若过

1

O且与AB垂直的截面截得圆

1

O，当

1

OOd

（

0dR

），则圆

1

O的半径r

例题3圆柱体的轴截面的高为3，轴截面面积是

9



，则圆柱的全面积为

例题4如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体积是

163cm，那么它的底半径等于（）

A

、4cm324B

、

cm4C

、cm322D

、

cm2

例题5棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱，侧面积和体积时，相应的截面面积依

次

321

,,SSS，则（）

A

、

321

SSSB

、

123

SSSC

、

312

SSSD

、

231

SSS

例题6设SASB、是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，底面积为100，C是SB中点，AC与底面

所成角为4560，AOB．求这圆锥的体积。

3

题型二：体积：

例题2-1母线长为l的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（）

A

、

26

3

B

、2C

、

23

3

D

、

22

3



例题2-2已知圆锥的全面积是272cm，侧面展开图是一个半圆，求它的体积．

例题2-3设长方体的三条棱长分别为

cba、、

，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，

体积为2，则



cba

111

例题2-4斜三棱柱

111

CBAABC的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为

b

，侧棱

1

AA和

AB

、

AC

都

成45的角，则棱柱的侧面积为，体积为．

例题2-5在直三棱柱

111

ABCABC中，90,1ABCABBC，若

1

AC与平面

ABC

所成角为45，

求三棱锥

1

AABC的体积．

例题2-5如图，

ABC

中，,3,30,9000BCABCACB在三角形内挖去一个半圆（圆心

O

在

边

BC

上，半圆与

ABAC、

分别相切于点

MC、

，与

BC

交于点

N

），求图中阴影部分绕直线

BC

旋转

一周所得旋转体的体积．

4

[竞技篇]

一、填空题：

1、已知三个球的半径

1

R，

2

R，

3

R满足

321

32RRR，则它们的表面积

1

S，

2

S，

3

S满足的等量关系

是．

2、已知正三棱锥的底面边长为2cm，高为1cm，该三棱锥表面积为．（结果精确到20.1cm）

3、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱

柱的表面积为2cm．

4、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面

积为．

5、长方体的表面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是

6、以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的

7、在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比

为

8、一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都为

30

，若此棱锥的底面面积为

S

，则它的侧面积等于

9、正六棱锥底面边长为a，体积为3

2

3

a，则侧棱与底面所成的角等于

10、有棱长为6的正四面体

SABC

，CBA



,,分别在棱,,SASBSC上，且2,3,SASB



4SC





，

则截面

CBA



将此正四面体分成的两部分体积之比为

二、解答题：

11、已知直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是32cm和42cm，求此直平

行六面体的侧面积．

12、如图，已知正三棱柱

111

ABCABC的侧面对角线

1

AB与侧面

11

ACCA成45°角，

4AB

，求棱柱

的表面积．

5

11、直三棱柱

111

ABCABC各顶点都在同一球面上，

1

2ABACAA,120BAC，则此球的表

面积等于多少？

12、由三条直线1,20xxy和20xy围成一个封闭的平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一

周所得旋转体的表面积．

13、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，如图所示，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容

器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部分忽略不计，结果精确到20.1cm）

6

14、在四棱锥

PABCD

中，底面是边长为2的菱形，

60DAB

，对角线

AC

与

BD

相交于点

O

，

PO

⊥平面

ABCD

，

PB

与平面

ABCD

所成的角为

60

．求四棱锥

PABCD

的体积．

15、如图，四面体

ABCD

中，,OE分别是,BDBC的中点，2,CACBCDBD2ABAD，

求点E到平面

ACD

的距离．

16、长方体

1111

ABCDABCD中，,EP分别是

11

,BCAD的中点，,MN分别是

1

,AECD的中点，

1

,2ADAAaABa，求三棱锥

PDEN

的体积．