矩形截面惯性矩

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

截面图形的几何性质

一.重点及难点：

(一).截面静矩和形心

1.静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积

dA

，定义它对任

意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即y

ydAdSx

xdAdS

y





x

dA

整个图形对y、z轴的静矩分别为

x

×Cy









A

A

y

ydASx

xdAS

（I-1）0Ayx

2.形心与静矩关系图I-1

设平面图形形心C的坐标为

CC

zy,则0

A

S

yx，

A

S

xy（I-2）

推论1如果y轴通过形心（即

0x

），则静矩0

y

S；同理，如果

x轴通过形心（即0y），则静矩

0Sx

；反之也成立。

推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；

如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为

n

AAAA

321

,,的简单图形组成，且

一直各族图形的形心坐标分别为

332211

,,,yxyxyx；；，则图形对y轴

和x轴的静矩分别为













n

i

n

i

iixix

n

i

ii

n

i

yiy

yASS

xAS

11

11

S

（I-3）

截面图形的形心坐标为









n

i

i

n

i

ii

A

xA

x

1

1，









n

i

i

n

i

ii

A

yA

y

1

1（I-4）

4.静矩的特征

(1)界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴

有关。

(2)静矩有的单位为3m。

(3)静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩

必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图

形的形心。

(4)若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴

的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形

的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出

图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）.惯性矩惯性积惯性半径

1.惯性矩

定义设任意形状的截面图形的面积为A（图I-3），则图形对O点

的极惯性矩定义为



A

p

dAI2（I-5）

图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为



A

y

dAxI2，dAyI

A

x2（I-6）

惯性矩的特征

（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对

某一坐标轴定义的。

（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m。

（3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为

坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即



A

xy

A

p

IIdAyxdAI)(222（I-7）

（5）组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性

矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴

惯性矩之和，即







n

i

i

II

1



，





n

i

yiy

II

1

，





n

i

xi

IIx

1

（I-8）

y

1

x

1

C

1

Ay

2

x

2

CxdA

2

Ay

n

x

n

C

n

A

1

y0

x

0

n

y

2

yx

图I-2图I-3

2.惯性积

定义设任意形状的截面图形的面积为A（图I-3），则图形对y

轴和x轴的惯性积定义为



A

xy

xydAI（I-9）

惯性积的特征

（1）界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义

的。

（2）惯性积的单位为4m。

（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周

中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性

积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这

一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对

同一坐标轴的惯性积之和，即







n

i

xyixy

II

1

（I-10）

3.惯性半径

定义：任意形状的截面图形的面积为A（图I-3）,则图形对

y轴和x轴的惯性半径分别定义为

A

I

iy

y

，

A

I

ix

x

（I-11）

惯性半径的特征

（1）惯性半径是对某一坐标轴定义的。

（2）惯性半径的单位为m。

（3）惯性半径的数值恒取证之。

（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

AbII

AaII

yCy

xCx

2

2





（I-12）

abAII

xCyCxy

（I-13）

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为A（图（I-4）；

CC

yx，轴为图形

的形心轴；x，y轴为分别与

CC

yx，形心轴相距为a和b的平行轴。

（2）两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，

y或形心

CC

yx，为参考轴加以确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，

但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

y

C

y

dA

b

C

C

x

a

0x

图I-4

(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩

转轴公式

2sin2cos

221

xy

yxyx

x

I

IIII

I









2sin2cos

221

xy

yxyx

y

I

IIII

I









2cos2sin

211

xy

yx

yx

I

II

I





转轴公式的特征

(1)角度的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴

11

,yx，以逆时针转

向者为正（图5）。

(2)原点O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无关。

(3)图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩

之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即

Pyxyx

IIIII

11

主惯性轴、主惯性矩任意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐标

轴

0

x、

0

y的惯性积为零（0

00



yx

I），则坐标轴

0

x、

0

y称为图形通过点O的

主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩

00

,

yx

II，称为主惯性矩。

主惯性轴、主惯性矩的确定

(1)对于某一点O，若能找到通过点O的图形的对称轴，则以点O为坐

标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O的一对主

惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往已知其通过自

身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o的主惯性轴的主惯性矩，

一般即可由平行移轴公式直接计算。

(2)若通过某一点o没有图形的对称轴，则可以点o为坐标原点，任作

一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴x，y的惯性矩

yx

II,

和惯性积

xy

I。于是，图形通过点o的一对主惯性轴方位及主惯性矩

分别为

yx

xy

II

I





2

2tan

0



（I-16）

2

2

0

0

22xy

yxyx

y

xI

IIII

I

I



























(I-17)

主惯性轴、主惯性矩的特征

（1）图形通过某一点O至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形

对通过同一点O所有轴的惯性矩中最大和最小。

（2）主惯性轴的方位角

0

，从参考轴x，y量起，以逆时针转向为

正。

（3）若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点o的

所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。

（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。

图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。

yy

1

y

1

x

0

y

0

x



0x0

x

A

0



图I-5图I-6

二.典型例题分析

例I-a试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。

解：计算此截面对于x轴的静矩

x

S时，可以去平行于x轴的狭长条(见图)

作为面积元素（因其上各点的y坐标相等），即dyybdA)(。由相似三角形

关系，可知:

)()(yh

h

b

yb,因此有dyyh

h

b

dA)(。将其代入公式（I-1）的第二式，

即得



A

hhh

x

bh

dyy

h

b

ydybdyyh

h

b

ydAS

00

2

2

06

)(

y

?

dy

h

b(y)

y

0x

b

例题I-a图

解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。

例I-2试确定图示Ⅰ-b截面形心C的位置

解：将截面分为?、П两个矩形。为计算方便，取x轴和y轴分别与界面

的底边和左边缘重合（见图）。先计算每一个矩形的面积

i

A和形心坐标

（

ii

yx,）如下：

矩形?2120012010mmA



mmx5

2

10





，mmy60

2

120





矩形П27007010mmA



mmx45

2

70

10



，mmy5

2

10





将其代入公式（I-4），即得截面形心C的坐标为

mm

AA

yAyA

y

mm

AA

xAxA

x

40

1900

75500

20

1900

37500

























解题指导：此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图

形的面积和形心，计算不规则图形的形心。

y10

120

·



x



y

·



xx

80

图Ⅰ-b

例I-3试求图I-c所示截面对于对称轴x轴的惯性矩

x

I

解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x轴的惯

性矩为

x

I，每一个半圆形对于x轴的惯性矩为

x

I，则由公式（I-11）的

第一式可知，所给截面的惯性矩：





xxx

III2（1）

矩形对于x轴的惯性矩为：

44

33

105330

12

20080

12

)2(

mm

ad

I

x









（2）

半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个

半圆形对于与x轴平行的形心轴

C

x（图b）的惯性矩

xC

I。已知半圆形对于

其底边的惯性矩为圆形对其直径轴

x

（图b）的惯性据之半，即

128

4d

I

x







。

而半圆形的面积为

8

2d

A



，其形心到底边的距离为

3

2d

（图b）。故由平

行移轴公式（I-10a），可以求出每个半圆形对其自身形心轴

C

x的惯性矩为：

8

)

3

2

(

128

)

3

2

(

2

2

4

2

ddd

A

d

II

xxC













（3）

由图a可知，半圆形形心到x轴距离为

3

2d

a，故在由平行移轴公式，求

得每个半圆形对于x轴的惯性矩为：

8

)

3

2

(

8

)

3

2

(

128

)

3

2

(

2

2

2

2

4

2

dd

a

ddd

A

d

aII

xCx

















)

3

2

232

(

4

222





a

adadd



将d=80mm、a=100mm（图a）代入式（4），即得

4

222

103460)

3

801002

2

100

32

80

(

4

)80(











x

Imm4

将求得的

x

I和

x

I代入式（1），便得

44412105330

x

Imm4

解题指导：此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，利用已有的规

则图形的面积、形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移

轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。

图I-c

40

a=100

2d

a

xc

100d

常用截面惯性矩计算公式