平行线的定义

授课主题平行线

1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理教学

目的

3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两

部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学

重点平行线的判定及性质

教学内容

【知识梳理】

要点一、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果

直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：

(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条

直线；三是不相交，三者缺一不可；

(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线

平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两

种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种

位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与

这条直线平行．

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线

也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线

外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由

数推形.

要点三、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

1

要点诠释：

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平

行线的性质的一部

“两分内容，切不可忽视前提

直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得

到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的

距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，

叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向

另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段

的位置的改变而改变，即平行线间的

距离处处相等．

要点五、命题、定理、证明

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：

（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题

设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）命题的表达形式：“如果,,，那么,,.”，也可写成：“若,,，

则,,.”

（3）真命题与假命题：

真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命

题

2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，

经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的

依据.

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才

能作出判断，这个推理过程叫做证明.

要点诠释：

（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些

根据可以是已知条件，学过的定义、基本事

实、定理等.

（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个

命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移

1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，

图形的这种移动叫做平移．要点诠释：

（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移

动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来

说：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；

2

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【典型例题】

类型一、平行线

例1．下列说法正确的是()

A．不相交的两条线段是平行线.

B．不相交的两条直线是平行线.

C．不相交的两条射线是平行线.

D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

【答案】D

例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；

（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且

只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）(3).

【变式1】下列说法正确的个数是()

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，

则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这

两直线平行．

A．1个B.2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、两直线平行的判定

例3.如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC

＝∠BCA；

（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使

AD∥BC的条件有（）.

A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）（4）

【答案】C

【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方

向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度

可能是()

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

例4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE

＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在

∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

3

∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，

∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．

∴AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．

又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，

∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．

∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．

∴CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．

，DN(已证)∥CM，EF∥∵AB

平行线的传递性)．∴AB∥EF(

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、

交AB于N点．

∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．∵

∵∠B＝25°，

∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角

和等于180°)．∴

∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．又∵

°，∠E＝10又∵

∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角

和等于180°)．∴

．)∠CNB＝∠EMD(等量代换∴

所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．

AB、CD的位置关系，，且CDB1与2互余，试判断直线【变

式3】已知，如图，BE平分ABD，DE平分

请说明理由．

解：AB∥CD，理由如下：

∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠CDB＝180°．

∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行．)

【变式4】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+

2=180°，求证：CD//EF．

【答案】

证明：∵ABBD于B，CDBD于D，

∴AB∥CD．

又∵1+2=180°，

∴AB∥EF．

．∴CD//EF

4

类型三、平行线的性质

例5．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝

65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．解：

∵DE∥BC，

∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．

∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝

115°．又∵DF∥AB(已知)，

∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．

∴∠3＝115°(等量代换)．

【变式5】如图，已知1=48°，则∠2＝，∠3＝，∠4＝，

且∠,l//l//l.l4312

【答案】48°，132°，48°

l∥l，点A、B在直线l上，点C、D在直线l上，若

△ABC的面积为S，△】如图所示，直线【变式611122

ABD的面积为S，则()2

A．S＞SB．S＝SC．S＜SD．不确定112212【答案】B

类型四、命题

例6．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的?还

是错误的?

①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，

b∥c，则

a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不

相等，那么这两个角不是对顶角．

【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命

题；⑤是错误的命题．

【变式8】把下列命题改写成“如果,,，那么,,”的形式．

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）对顶角相等；

（3）同角的余角相等.

【答案】

解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.

（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.

类型四、平移

例7．(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平

移后到达△BDE的

位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的

度数为________．

【答案】30°

5

【变式9】(上海静安区一模)如图所示，三角形FDE经

过怎样的平移可以得到三角形ABC()

A．沿EC的方向移动DB长

B．沿BD的方向移动BD长

C．沿EC的方向移动CD长

D．沿BD的方向移动DC长

A【答案】

类型五、平行的性质与判定综合应用

例8、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF

＝()

°360°C．BA．180°．270°540D．

C【答案】

，ABCD∥作【解析】过点C

∵CD∥AB，

∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵EF∥AB

∴EF∥CD．

∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE

∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠

DCE+∠CEF=180°+180°=360°

【课后作业】

一、选择题

1.下列说法中正确的有()

①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直

线只有一条．

③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

()2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这

两个角

．互余．相等AC．互补B．相等或互补D

3．如图，能够判定DE∥BC的条件是()

6

A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCB

C．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB，GF⊥AB

4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与

原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可

能是()．

A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．

B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．

C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．

D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．

5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是

()

A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠

B+∠BCE＝180°

6.(绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直

线的平行线的新方法，她是通过折一张

(1)—(4)）:半透明的纸得到的（如图，

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位

角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平

行．④内错角相等，两直线平行．

A.①②B.②③C.③④D.④①

二、填空题

7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．

8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，

则________∥________．

a和a的，按此规律，a∥，a，a,a，若⊥aaa，⊥a,，

a，．规律探究：同一平面内有直线9a1312位置是

________．

7

10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个

角的度数是

11．直线同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直

线l与B、C两点确定的直线l都与平行，则ll

三点A、、CB，其依据是12.如图，AB⊥EF于点G，CD

⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互

相平行的直线

．有

三、解答题

13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB

∥EF，∠4应为多少度?说明理由．

14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘

是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问

题吗?

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB

＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥

BD?

16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两

条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线

段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

【答案与解析】一、选择题

1.【答案】A

【解析】只有④正确，其它均错．

D

2.【答案】

8

3.【答案】B【解析】内错角相等，两直线平行．

4.【答案】B

5.【答案】B

【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得

到的角．

6.【答案】C

【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的

直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．

二、填空题

7.【答案】0或1或2或3个；

8.【答案】BC，DE；【解析】∠CFD＝180°－70°

－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠

CFD＝∠FDE．

9.【答案】a∥a；1001

【解析】为了方便，我们可以记为a⊥a∥a⊥a∥a⊥a

∥a⊥a∥a⊥a,∥a⊥a∥a⊥99498958101629773a，因

为a⊥a∥a，所以a⊥a，而a⊥a，所以a∥a∥a．同

理得a∥a∥a，a∥a∥12115431a，,，接

着这样的规律可以得a∥a∥a，所以a∥a．1

10.【答案】40°或140°

11.【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，

它是论证推理的基础，应熟练应用．

12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；

【解析】

AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴

AB∥CD．理由：∵

AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠

EGB．∵

1∴°．＝∠1＝EGB45

2

∠PGH＝∠1+∠2＝135°．∴

同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥

HQ．

三、解答题

13.【解析】

解：∠4＝100°．理由如下：

∠1＝60°，∠2＝60°，∵

∠1＝∠2，∴AB∥CD∴

又∵∠3＝∠4＝100°，

∴CD∥EF，∴AB∥EF．

14．【解析】

MN，用量角器测得∠1＝50°，解：如图所示，用量角器在

两个边缘之间画一条线段

∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平

行，可知画板的上下边缘是平行的．

9

15.【解析】

解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，

∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝

110°．11°．110°＝55AB＝×∠B′＝BAF∴∠

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16．【解析】

解：可推出AD)．∥BC．∵BD平分∠ABC(已知

∴∠1＝∠DBC(角平分线定义)．

∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠DBC(等量代换)．又

∵

AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴

1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．把∠

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