x的平方怎么打出来

人教版义务教育教科书◎数学七年级下册

第六章实数

内容简介

本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算.通过本

章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是

在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题.虽然本章的内容不

多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，它不仅是后面学习二次根式、一元二

次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等

的大部分知识作好准备.

教学目标

1

.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方

根、立方根.

2

.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运

算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3

.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面

上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及

其发展变化.

4

.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

教学重点

1

.平方根和算术平方根的概念.

2

.立方根的概念与性质及求法.

3

.无理数和实数的概念.

教学难点

1

.平方根与算术平方根的区别于联系.

2

.立方根的唯一性及负数立方根的意义.

3

.无理数和实数的理解.

课时安排

6.1平方根约3课时

6.2立方根约2课时

6.3实数约2课时

小结约2课时

机动约2课时

教师备课系统──多媒体教案

6.1平方根

教学目标

1

.了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根.

2

.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根.

3

.能用有理数估计一个无理数（平方根）的大致范围.

教学重点

平方根和算术平方根的概念.

教学难点

平方根和算术平方根的概念.

课时安排

3

课时.

教学过程

教案A

第1课时

教学内容

算术平方根.

一、情境导入

学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为

25dm2的正方形画布，画上自

己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

如果这块画布的面积是

16dm2，这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正

数的问题？

这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算

术平方根的概念．

二、新课教学

学生思考后回答：边长应该取

5dm

.

教师：你是怎样算出画框的边长应取

5dm

呢？

（学生思考并交流解法）

明确：这个问题相当于在等式x＝

25

中求出正数

x

的值．

人教版义务教育教科书◎数学七年级下册

一般地，如果一个正数

x

的平方等于

a

，即

x2＝

a

，那么这个正数

x

叫做

a

的算术平方

根．

a

的算术平方根记为

a

，读作“根号

a

”，

a

叫做被开方数．

规定：

0

的算术平方根是

0

.

也就是，在等式

x2＝

a

（

x

≥

0

）中，规定

x

＝

a

.

2

.试一试：你能根据等式

122＝

124

说出

124

的算术平方根是多少吗？并用等式表示

出来．

注意：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术

平方根的记法写出对应的值．例如25表示

25

的算术平方根.

三、实例演练

例

1

求下列各数的算术平方根：

（

1

）

100

；（

2

）

64

49

；（

3

）

0

.

0001

.

解：（

1

）因为

102＝

100

，所以

100

的算术平方根是

10

，即

100

＝

10

；

（

2

）因为

2

8

7













＝

64

49

，所以

64

49

的算术方根是

8

7

，即

8

7

64

49

；

（

3

）因为

0

.

012＝

0

.

0001

，所以

0

.

0001

的算术平方根是

0

.

01

，即0001.0＝

0

.

01

.

四、探究

能否用两个面积为

1dm2的小正方形拼成一个面积为

2dm2的大正方形？

如上图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角形拼在一起，

就得到一个面积为2dm2的大正方形．

教师：同学们说得很好，还有其他的方法吗？（鼓励学生探究）

学生思考，可以采用下列方法：把两个小正方形中的一个沿对角线剪成4部分，然

后和另一个小正方形拼在一起，如下图.

教师：说得好，你知道这个大正方形的边长是多少吗？

设大正方形的边长为xdm，则

教师备课系统──多媒体教案

x2＝2.

由算术平方根的意义可知

x＝2，

所以大正方形的边长是2dm.

五、课堂小结

1.这节课学习了什么呢？

2.算术平方根的具体意义是怎么样的？

3.怎样求一个正数的算术平方根

六、布置作业

教材

P47

习题

6

.

1

第

1

、

2

、

3

题.

第2课时

教学内容

夹值法及估计一个（无理）数的大小.

一、情境导入

我们已经知道正数

x

满足

x2＝

a

，则称

x

是

a

的算术平方根．当

a

恰是一个数的

平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了；但当

a

不是一个数的平方数时，它的

算术平方根又该怎祥求呢？

二、导入新课

1

.探究

2有多大呢？

让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知大于

1

而小于

2

，那么是

1

点几呢？

教材用夹值法来推算2的值，如此进行下去，可以得到2的更精确的近似值．事

实上，2＝

1

.

4

…，它是一个无限不循环小数．

实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数．

关于“无限不循环小数”，教师要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基

础．

2

.提出问题

你对正数

a

的算术平方根

a

的结果有怎样的认识呢？

人教版义务教育教科书◎数学七年级下册

a

的结果有两种情况：当

a

是完全平方数时，

a

是一个有限数；当

a

不是一个完全

平方数时，

a

是一个无限不循环小数.

3

.实例演练

例

2

用计算器求下列各式的值：

（

1

）3136；（

2

）2（精确到

0

.

001

）.

注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方

便地求出一个正数的算术平方根的近似值．

例

3

小丽想用一块面积为

400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为

300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为

3

∶

2

．她不知能否裁得出来，正在发愁．小

明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小

明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

要注意学生是否弄清了题意，然后分析解题思路。

能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形纸

片的边长是

20cm

，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是

3xcm

和

2xcm

，

求得长方形的长为

3

50

cm

后，接下来的问题是比较

3

50

和

20

的大小，这是个难点.

三、课堂小结

1

.利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.

2

.被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

3

.怎样的数是无限不循环小数？

四、作业

教材

P47

、

P48

习题

6

.

1

第

5

、

6

、

7

题.

第3课时

教学内容

平方根.

一、情境导入

思考：如果一个数的平方等于

9

，这个数是多少？

讨论：这样的数有两个，它们是

3

和－

3

.注意(－

3

)2＝

9

中括号的作用．

二、新课教学

1

.平方根的概念

如果一个数的平方等于

a

，那么这个数就叫做

a

的平方根．即：如果

x2＝

a

，那么

x

叫

做

a

的平方根．

教师备课系统──多媒体教案

求一个数的平方根的运算，叫做开平方．例如：3

的平方等于

9

，

9

的平方根是3

，

所以平方与开平方互为逆运算．

2

.观察

下图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．根据

这个关系说出

1

，

4

，

9

的平方根．

学生根据图中的关系回答.

例

4

求下列各数的平方根.

（

1

）

100

（

2

）

16

9

（

3

）

0

.

25

（注意书写格式）

3

.按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

（

1

）正数的平方根有什么特点？

0

的平方根是多少？负数有平方根吗？

（

2

）一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数

没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数

a

的算术平方根可用

a

表示；

正数

A

的负的平方根可用-

a

表示．

归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，

而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根

据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.

三、小结

1

.什么叫做一个数的平方根？

2

.正数、

0

、负数的平方根有什么规律？

3

.怎样求出一个数的平方根？数

a

的平方怎样表示？

四、作业

教材

P47

、

P48

习题

6

.

1

第

4

、

8

、

9

、

10

、

11

、

12

题.

人教版义务教育教科书◎数学七年级下册

教案B

第1课时

教学内容

算术平方根.

一、情境引入

我们早就熟知圆周率不属于有理数，它其实属于无理数，现实世界存在着许多无理

数，有理数和无理数合起来形成更大的数域——实数.本章将从平方根与立方根学起，

学习实数的初步知识，并用这些知识解决一些实际问题.

二、探究新知

问题：学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为

25dm2的正方形画布，画

上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

边长应取

5dm

，因为

52＝

25

，所以这个正方形画布的边长应取

5dm

.

假使小欧想裁出一块面积为

16dm2的正方形画布，这块正方形画布的边长应取多

少？

当面积为

9

、

1

和

36dm2时，边长应取多少？

根据以上的面积和边长，可以列出下表：

正方形的面积

/dm219162536

正方形的边长

上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.

一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方

根.a的算术平方根记为

a

，读作“根号a”，a叫做被开方数.

规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式x2＝a（x≥0）中，规定x＝

a

.

三、初步应用

求下列各数的算术平方根：

（1）100；（2）

64

49

（3）0.0001.

学生思考解决，并阐述做题依据和方法，之后教师总结归纳，师生达成一致.

教师备课系统──多媒体教案

四、课堂反馈训练

1

．填空：

（1）若

a

＝1.2，则a＝.

（2）(－4)2的算术平方根是.

（3）81的算术平方根是_.

（4）若一个数的算术平方根为x－5，则x的取值范围是.

（5）若a＋1有算术平方根，则a的取值范围是.

（6）若2a＋b的算术平方根是3，a＋b－1的算术平方根是2，则ab的算术平方

根是.

2．求下列各数的算术平方根：

（1）625；（2）0.0081；（3）6；（4）0

3．求下列各式的值：

（1）

196

169

（2）

2890000

（3）

1369

（4）

12321

答案：1.（1）1.44（2）4（3）3（4）x>5（5）a>－1

（6）2

2.（1）25（2）0.09（3）

6

（4）0

3.（1）

14

13

（2）1700（3）37（4）111

第2课时

教学内容

夹值法及估计一个（无理）数的大小.

一、情境引入

活动

1

用两个面积为

1

的小正方形拼成一个面积为

2

的大正方形，并求出这个大

正方形的边长.

二、探究新知

学生动手拼剪活动

1

中的图形后.学生思考，交流如何求出大正方形的边长.

教师引导学生尝试总结归纳，估算出2的大小.

得到结论：小数位数无限且小数部分不循环的小数叫无限不循环小数.像这样

7,5,3,2，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数.

活动

2

用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入（）；②输入（被开方数）；

③输出（）.用计算器计算，并将计算结果填在表中.

人教版义务教育教科书◎数学七年级下册

0625.0625.025.65.626256250

观察上表，你发现什么了吗？

（

1

）被开方数增大，算术平方根怎样变化？

（

2

）被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？

学生观察，讨论，找出小数点移动规律.

三、初步应用

活动

3

用一块面积为

400cm2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为

300

cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为

3:2

？

学生阅读审题，先进行猜想，然后验证.教师引导学生分析能否裁出取决于什么，

组织学生进行计算，最后统一见解，教师板书解题过程.

四、课堂反馈训练

1．已知

354.1

≈1.164，则

4.135

≈，

01354.0

≈.

2

．与30最接近的两个整数是.

3．用计算器计算：

2010

＝______（精确到0.001）

4.因为7<

56

<8，所以与

56

最接近的两个数是7和8，那么与哪一个更接近呢？

答案：1.11.640.1164

2.56

3.44.833

4.7

第3课时

教学内容

平方根和算术平方根.

一、情境引入

活动

1

通过前面的学习，我们已经知道

3

的平方等于

9

，

3

是

9

的算术平方根，那么，

除了

3

以外，还有没有别的数的平方也等于

9

呢？

二、探究新知

学生思考并回答活动

1

的答案，并思考活动

2

活动2填表

2x1163649

25

4

x

教师备课系统──多媒体教案

学生填表，并观察、思考、分析，最后归纳：

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就

是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．我们看到，±3的平方等于9，9的平方

根是±3，所以平方与开平方互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根．

正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根.

因为02＝0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0．

正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，

任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根．

所以，当a≥0时a才有意义，a＜0时，a无意义.

三、初步应用

活动

3

求下列各数的平方根：

（

1

）

16

（

2

）

0

（

3

）

15

学生思考解决，并阐述做题依据和方法，之后教师总结归纳，师生达成一致.

四、课堂反馈训练

1

．

7

的平方根是

_______

.

2

．如果数

a

只有一个平方根，则

a

＝

______

.

3

．如果数

b

没有平方根，则

b_______

.

4

．下列各式如果有意义请说明它表示的意义，并求值.

（

1

）－

9

4

；（

2

）±64.0；（

3

）

100

5

．若

03)2(12zyx

，则

zyx

＝

________

.

答案：1.72.03.b＜0

4.（1）－

3

2

（2）0.8或－0.8（3）无意义5.6