自然数包括

什么叫自然数-数学自然数知识

什么叫自然数-数学自然数知识

什么叫自然数_数学自然数知识

自然数介绍

自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，

所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一

个无穷的集体。

性质

1.对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：

a+0=a;

a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的后继者。

如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=

S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

同理，乘法运算“×”定义为：

a×0=0;

a×S(b)=a×b+a

自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

2.有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排

成一个数列：0，1，2，3，这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数

列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它

是不可数的。

3.无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。

对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集

合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的

创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适

用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个

一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说

它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。

4.传递性：设n1，n2，n3都是自然数，若n1>n2，n2>n3，那么n1>n3。

5.三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：

n1>n2，n1=n2或n1

6.最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4

的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数

集都不具备性质5，例如所有形如nm(m>n，m，n都是自然数)的数组成的集合是有

理数集的非空子集，这个集合就没有最小数;开区间(0，1)是实数集合的非空子

集，它也没有最小数。

具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入

0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序

集。

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0的争议

对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，

即从1开始算起;而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关

于这个问题也尚无一致意见。

在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的`规

定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素

0，也是为了早日和国际接轨。

现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做

自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说

法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正

数。

0的来由

0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫

做金元数字，(意即极为珍贵的数字)。0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时

发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为

主(西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符

号便可以写出所有数字”。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引

起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算

式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，

16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。0的另一个

历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个

符号的应用，当时的0在印度表示无(空)的位置。约在6世纪初，印度开始使用命

位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数

加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实

例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中

存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克

首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易

行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。