幂函数定义

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高中数学

幂函数的定义

编稿老师李斌一校张小雯二校黄楠审核孙溢

【考点精讲】

1.幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变

量，是常数。

注意：幂函数与指数函数的区别。

2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；

（2）当0时，幂函数在[0,)上；当0时，幂函数在(0,)

上；

（3）当2,2时，幂函数是；当

1

1,1,3,

3

时，幂函数是。

【典例精析】

例题1已知f（x）＝1222mmxmm，m为何值时，f（x）是：

（1）正比例函数？

（2）反比例函数？

（3）二次函数？

（4）幂函数？

（5）在（4）的条件下，满足在（0，＋∞）上单调递增？

思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须为1。

答案：（1）若f（x）为正比例函数，则









m2＋m－1＝1，

m2＋2m≠0

⇒m＝1。

（2）若f（x）为反比例函数，则









m2＋m－1＝－1，

m2＋2m≠0

⇒m＝－1。

（3）若f（x）为二次函数，则









m2＋m－1＝2，

m2＋2m≠0

⇒m＝

－1±13

2

。

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2。

（5）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，012mm，∴m＝－1－2。

例题2已知幂函数f（x）＝322mmx（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）

上是减函数，求满足3)1(

m

a

＜3)23(

m

a

的a的取值范围。

思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求

出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围。

答案：∵函数在（0，＋∞）上递减，

∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3。

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∵m∈N*，∴m＝1，2。

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又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，

而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，

∴m＝1。

而3

1

)(xxf在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

∴3

1

3

1

)23()1(aa等价于a＋1＞3－2a＞0

或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a。

解得a＜－1或

2

3

＜a＜

3

2

。

故a的取值范围为{a|a＜－1或

2

3

＜a＜

3

2

}。

点评：本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关

键是弄清幂函数的概念及性质。

例题3已知m∈N*，函数f（x）＝（2m－m2）·2322mmx在（0，＋∞）上是增函数，

判断函数f（x）的奇偶性。

思路导航：（1）幂函数y＝ax的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数。

（2）幂函数的单调性：①当α>0时，y＝ax在（0，＋∞）上为增函数；②当α<0时，

y＝ax在（0，＋∞）上为减函数。

答案：由函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

得









2m2＋3m－2>0，

2m－m2>0，

或









2m2＋3m－2<0，

2m－m2<0，

即











m>

1

2

或m<－2，

0

或











－2

1

2

，

m>2或m<0，

∴

1

2

∵m∈N*，∴m＝1.此时f（x）＝x3，x∈R。

∵f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），

∴函数f（x）为奇函数。

【总结提升】

要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数——底数是自变量，

指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数。

（答题时间：15分钟）

1.已知幂函数y＝f（x）通过点（2，22），则幂函数的解析式为（）

A.y＝2

1

2xB.y＝

1

2xC.y＝

3

2xD.y＝

5

2

1

x

2

2.下列命题中正确的是（）

A.当0时函数xy的图象是一条直线

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B.幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）

C.若幂函数xy是奇函数，则xy是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

3.已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（）

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A.（0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（0，1）D.（－∞，0）

4.已知幂函数f（x）＝xm的部分对应值如表所示，则不等式f（|x|）≤2的解集为（）

x1

1

2

f（x）1

2

2

A.{x|0

C.{x|－2≤x≤2}D.{x|－4≤x≤4}

5.设x∈（0，1），幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的上方，则实数a的取值范围是______。

6.已知函数223()mmfxx（m∈Z）为偶函数，且f（3）

f（x）的解析式。

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1.C解析：设y＝xα，则由已知得，22＝2α，

即

3

22＝2α，∴α＝

3

2

，∴f（x）＝

3

2x。

2.D解析：A错，当

0

时函数yx



的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B错，如

幂函数1xy的图象不过点（0，0）；C错，如幂函数1xy在定义域上不是增函数；D

正确，当

0x

时，

0x





。

3.A解析：因为0＜0.71.3＜0.70＝1，

1.30.7＞1.30＝1，

∴0＜0.71.3＜1.30.7。

又（0.71.3）m＜（1.30.7）m，

∴函数y＝xm在（0，＋∞）上为增函数，故m＞0。

4.D解析：由表中数值，可先求出m的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，

求解即可。

由（

1

2

）m＝

2

2

，得m＝

1

2

，∴f（x）＝

1

2x，

∴f（|x|）＝

1

2x，

又∵f（|x|）≤2，∴

1

2x≤2，即|x|≤4，

∴－4≤x≤4。

5.（－∞，1）解析：由幂函数的图象知a∈（－∞，1）。

6.解：∵f（x）是偶函数，∴223mm应为偶数。

又∵f（3）

整理，得

2233

1

5

mm







。

∴2230mm，解得

3

1

2

m。

又∵m∈Z，∴m＝0或1。

当m＝0时，2233mm为奇数（舍去）；

当m＝1时，2232mm为偶数。

故m的值为１，解析式为2()fxx。

解析：函数223()mmfxx（m∈Z）为偶函数，已限定了223mm必为偶数，又

m∈Z，f（3）

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