什么是矩形

第一章特殊平行四边形

2.矩形的性质与判定（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、

平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础

上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应

用性质进行推理解题。

学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学

生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性

的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有

一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学

生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。

二、教学任务分析

《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平

行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及

特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后

面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据

新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形

的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四

边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形

式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。因此本节

课的教学目标是：

1.知识与技能:

(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;

(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．

2.过程与方法：

(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；

（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动

联系、从量变到质变的观点．

3.情感态度与价值观：

(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创

造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。

(2)通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。

(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的

思想。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入新课；第二环节：

分组讨论、探求新知；第三环节：层层递进，推理验证；第四环节：乘胜追击，

完善性质；第五环节：建构新知，发展问题；第六环节：合作交流，解决问题；

第七环节：反思交流，反馈提高。

第一环节：创设情景，导入新课

活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？

2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学

生注意观察。在演示过程中让学生思考：

（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

（2）在运动过程中四边形不变的是什么？

（3）在运动过程中四边形改变的是什么？

不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形

变：角的大小

（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形）

矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形

A

B

C

D

A

BC

D

一个角变形成直角

活动目的：从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的

探究过程，自然而然地形成矩形的概念

活动的注意事项：让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程，事实上是在

学生已有的平行四边形相关认知的基础上建构，让他们认识到矩形是平行四边形,

但却是角度特殊的平行四边形。从而自然得到矩形定义需满足两个条件。（1）平

行四边形，（2）有一个角是直角。定义是本节的关键点，因此观察过程不能省略。

第二环节：分组讨论，探究新知

活动内容：1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？

在同学回答的基础上进行归纳：

性质

类别

边角对角线对称性

矩形

对边平行

且相等

对角相等对角线互相平分

中心对

称图形

2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步

研究矩形的其他性质。

（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的

四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；

（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否

仍然成立？

（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？

教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：

矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.

活动目的：让学生分组探索。教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，

分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基

础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发

现矩形的性质。

活动的注意事项：学生通过对比平行四边形的性质及观察从平行四边形到矩

形的变化的过程，再通过测量、观察和讨论，从边、角、对角线三方面不难发现

矩形的性质。学生自己讨论得出的结论会更让他们乐于接受，而方法也在此过程

中渗透给了学生。因此，教师不要觉得内容比较简单，就越俎代庖，应该给学生

留出足够的活动时间。

第三环节：层层递进，推理论证

活动内容：提问：怎样证明你的猜想？

（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）

订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。

已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线

AC与DB相交于点O。

求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°

(2)AC=BD

活动目的：根据新课标的精神，不仅要发展学生的合情推理能力，还要发展学生

的演绎推理能力。在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。

但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明。该环节旨在训练学生规范写出推理

过程。

活动的注意事项：特殊四边形这一部分，可以很好地发展学生的逻辑推理能

力。既然该环节旨在训练学生规范写出推理过程。那么在活动过程中，就一定要

先让学生独立完成，并挑两名学生板演，然后教师点评，最后教师规范的写出推

理过程，才可以达到训练的效果。

第四环节：乘胜追击，完善性质

活动内容：问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

①矩形是不是中心对称图形?如果是，那么对称中心是什么？

②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?

结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？

归纳概括矩形的性质：

从边来说，矩形的对边平行且相等；

从角来说，矩形的四个角都是直角；

从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；

从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(）

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分

活动目的：在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性，在

知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，最终得到矩形

的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。

活动的注意事项：在学习了矩形的性质后，一定要引导学生归纳总结，把新

学到的知识和自己的已有知识经验穿成串，从而让自己的认识升华，形成自己的

知识系统。

第五环节：建构新知，发展问题

活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直

角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能

发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明

吗？

（2）教师板书推论及推理语言：

定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

（3）练一练

已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.

(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;

(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____

㎝.

活动目的：先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，

用数学”的目的。再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等

于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。

活动的注意事项：“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，是直角

三角形中的一个重要性质。在活动过程，一定要让学生理解该定理的应用需满足

两个条件：（1）直角三角形（2）斜边的中点。

第六环节：合作交流，解决问题

活动内容：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，

AB=2.5cm，求矩形对角线的长。

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

OA=OC=

2

1

AC，OB=OD=

2

1

BD，

∴OA=OD。

∵∠AOD=120°，

∴∠ODA=∠OAD=

2

1

(180°-120°)=30°。

又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)

∴BD=2AB=2×2.5=5.

活动目的：这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问题。在

学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题，就是关键。

活动的注意事项：该例题中，学生要得出结论难度不大，但是要简洁、清楚

写出推理过程有一定的难度，教师在讲解时，要重点训练，要把推理过程规范进

行板书。

第七环节：反思交流，反馈提高

活动内容：1.本节课你学到了什么？

（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

（2）矩形的性质

（3）直角三角形的性质

（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线

把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角

或等腰三角形的问题来解决。

2.自我检测。

（1）下列说法错误的是（）．

A.矩形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等。

C.有一个角是直角的四边形是矩形D.有一个角是直角的平行四边形

叫做矩形

（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩

形的边长分别

为_____。

活动目的：让学生对学习情况进行小结，主要包括：知识小结和学法小结。通过

小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，

使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答

疑补漏。及时的课堂检测，及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学和优化。

活动的注意事项：教学时要注重使不同的学生都能得到发展，对于学习程度

较好的学生要增加思维深度，题目可以适当加调整，随学生水平的不同稍作增减。

对学习有困难的学生，则鼓励学生先运用自己的语言说明理由，以帮助学生加深

对所学结论的认识，逐步训练数学语言。

四、教学设计反思：

本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有

的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，以便提高学生的探索创新思维

和创造能力。首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生

猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望；教学过程中充

分利用学生手中的矩形实物：如书本，课桌等，让学生通过观察、测量和思考讨

论等活动，得出矩形性质，在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识；再

引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，开拓学生的思路，发展了学生的

思维能力，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形性质定

理，体验数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性。